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Docente
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LIVERANI CARLANGELO
(programma)
Spazi metrici. Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi, convergenza. Spazi metrici compatti. Spazi metrici completi. Lemma delle contrazioni. Spazi di Hilbert. Successioni ortonormali.
Equazioni differenziali. Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine, teorema di esistenza e unicità della soluzione. Alcune classi di equazioni del primo ordine. Prolungamento delle soluzioni e soluzione massimale. Dipendenza continua dai dati. Equazioni e sistemi differenziali lineari. Soluzione fondamentale. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni e sistemi a coefficienti costanti. Flusso associato a un campo di vettori. Insiemi alfa-limite e omega-limite. Stabilità di un punto di equilibrio secondo Liapunov. Criterio di linearizzazione. Funzioni e teorema di Liapunov.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Integrali multipli, teorema di Fubini, formula di cambiamento di variabile. Superfici e integrali di superficie. Formula di Gauss-Green nel piano e applicazioni. Formula di Stokes. Potenziale vettore.
Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier, serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel. Criteri di convergenza puntuale per le serie di Fourier delle funzioni regolari a tratti: casi di convergenza uniforme. Uguaglianza di Parseval. Fenomeno di Gibbs. Applicazione delle serie di Fourier alla soluzione dell’equazione del calore e delle onde su domini limitati.
Trasformata di Fourier. Trasformata di funzioni sommabili, proprietà albegriche e differenziali della trasformata. Lemma di Riemann-Lebesgue. Trasformata di una convoluzione e inversione della trasformata. Trasformata di funzioni a decrescenza rapida. La trasformata nella classe delle funzioni di quadrato sommabile e teorema di Plancherel. Teorema di Shannon. Applicazione della trasformata di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie, dell’equazione del calore e di quella delle onde su domini illimitati.
 C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2 , Seconda edizione, Zanichelli, 2016
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