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ZSIDO LASZLO
(
programma)
1. Equazioni e sistemi di equazioni diferenziali ordinari
La nozione di equazione differenziale:
Equazioni differenziali di ordine n, sistemi di equazioni differenziali del primo ordine, il sistema di n
equazioni differenziali del primo ordine equivalente ad una equazione differenziale di ordine n. Il
problema di Cauchy.
Alcune classi di equazioni differenziali del primo ordine:
Equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni
differenziali omogenee, equazioni differenziali di tipo Bernoulli, equazioni differenziali di tipo Riccati.
Teoremi di esistenza e unicit\'88 per il problema di Cauchy:
Funzioni parzialmente di Lipschitz e localmente parzialmente di Lipschitz. Il teorema di unicit\'88. Il
teorema di esistenza locale. Criteri di esistenza globale.
Equazioni differenziali lineari e sistemi di equazioni differenziali lineari:
Esistenza e unicit\'88 per sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine e per equazioni
differenziali lineari di ordine n. Il caso omogeneo: lo spazio vettoriale delle soluzioni, soluzione
fondamentale, il determinante di Wronsky. Il caso non omogeneo: il metodo della variazione delle
costanti\
Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti:
Caso omogeneo: il polinomio caratteristico, il calcolo di una soluzione fondamentale. Il caso non
omogeneo: il metodo della variazione delle costanti ed il metodo degli annichilatori. Equazioni
differenziali lineari riducibili a equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: equazioni
differenziali di tipo di Eulero.\
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti:
Richiami sulla teoria spettrale delle matrici quadratici: autovalori e autovettori, polinomio
caratteristico, sottospazi spettrali, calcolo dell'esponenziale in vettori di uno sottospazio spettrale.
Sistemi omogenei di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: il calcolo di
una soluzione fondamentale. Sistemi omogenei di equazioni differenziali lineari del primo ordine a
coefficienti costanti: il metodo della variazione delle costanti.
2. Integrazione secondo Riemann delle funzioni di pi\'9d variabili reali
Richiami sulla topologia di R\super n\nosupersub :
Interno, esterno, frontiera, chiusura; insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; funzioni reali continui su
insiemi compatti: esistenza di massimo e minimo, uniforme continuit\'88.
Integrazione secondo Riemann su rettangoli:
La definizione dell'integrabilit\'88 secondo Riemann per funzioni definite su un rettangolo usando
somme integrali. Criterio di integrabilit\'88 in termini di maggioranti e minoranti semplici. Propriet\'88
algebriche.
Misurabilit\'88 secondo Peano-Jordan ed integrazione su insiemi misurabili in R\super 2\nosupersub :
La definizione degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, caratterizzazione in termini della
frontiera. La misurabilit\'88 degli insiemi normali rispetto ad una asse. L'integrabilit\'88 delle funzioni
uniformamente continue su insiemi misurabili, il caso delle funzioni continue sulla chiusura di un
insieme misurabile.
Integrazione secondo Riemann in R\super 3\nosupersub :
La riproduzione della discussione precedente per funzioni di tre variabili reali: integrabilit\'88 su
parallelepipedi rettangolari, insiemi misurabili in R\super 3\nosupersub , insiemi normali,
integrabilit\'88 su insiemi misurabili.
Il teorema di riduzione:
Sezioni di insiemi piani e di insiemi nello spazio tridimensionale. Il teorema sulla riduzione del calcolo
di un integrale doppio o triplo all'integrazione di funzioni di meno variabili (ossia il teorema di Fubini
per integrali doppi e tripli). Integrazione su insiemi normali. Il calcolo del volume di un solido di
rotazione.
Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli:
Cambiamento lineare di variabili per integrali doppi e tripli. Il caso generale. Passaggio a coordinate
polari, a coordinate cilindriche e a coordinate sferiche.
Integrali impropri ed integrali dipendenti da parametri reali:
La convergenza degli integrali di funzioni positive, il criterio del confronto, la convergenza assoluta.
Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale.
3. Integrazione su curve e superficie, teoremi integrali
Richiami su curve ed integrali curvilinei:
La lunghezza delle curve, integrali rispetto al parametro arco (integrali curvilinei di prima specie),
l'integrale del lavoro ed integrali di forme differenziali di ordine 1 (integrali curvilinei di seconda
specie).
Il teorema integrale di Gauss-Green:
il teorema di Gauss-Green per l'integrale del lavoro sulla frontiera di un dominio piano (teorema del
rotore), il teorerema di Gauss-Green per il flusso attraverso la frontiera (teorema della divergenza).
Alcune applicazioni.
Superfici ed integrali di superficie:
La nozione di superficie nello spazio tridimensionale; piano tangente e vettore normale; l'area. Integrali
rispetto all'elemento d'area; il flusso di un campo vettoriale atraverso una superficie.
I teoremi integrali di Stokes e di Gauss-Ostrogradski:
Rotore e divergenza nello spazio tridimensionale. Il teorema di Stokes per l'integrale del lavoro sulla
frontiera di una superficie nello spazio (teorema del rotore). Il teorema di Gauss-Ostrogradski per il
flusso attraverso la frontiera di un solido tridimensionale (teorema della divergenza).
4. Elementi di Analisi di Fourier
Serie di Fourier:
Funzioni periodiche; polinomi trigonometrici. Il problema dello sviluppo in serie trigonometrica;
coefficienti di Fourier, i coefficienti della derivata e del prodotto con la variabile; il lemma di Riemann-
Lebesgue, la disuguaglianza di Bessel, il nucleo di Dirichlet.
La convergenza delle serie di Fourier:
La convergenza puntuale/uniforme della serie di Fourier di una funzione regolare a tratti. La
convergenza uniforme nel senso di Ces\'88ro della serie di Fourier di una funzione continua (teorema di
Fej\'8er). La completezza del sistema trigonometrico: la convergenza in media quadratica e l'identit\'88
di Parseval.
Trasformate di Fourier:
La trasformata di Fourier (per funzioni di una variabile reale) come caso limite della serie di Fourier.
La trasformata di Fourier della derivata e del prodotto con la variabile. Continuit\'88 ed annullamento
all'infinito (lemma di Riemann-Lebesgue).
L'inversione della trasformazione di Fourier:
La formula di inversione per funzioni due volte continuamente differenziabili e con supporto compatto.
La formula di inversione per funzioni due volte continuamente differenziabili e con le derivate
assolutamente sommabili. L'identit\'88 di Plancherel.
5. Una sinossi dell'integrazione secondo Lebesgue (con dimostrazioni schematiche):
Funzioni semicontinue:
Massimo limite e minimo limite di una successione e di una funzione (di una o pi\'9d variabili) in un
punto di accumulazione del dominio. Definizione di funzioni inferiormente e superiormente
semicontinue. Propriet\'88 di permanenza ed approssimazione con funzioni continue. Il teorema di Dini
sulla convergenza uniforme. Funzioni caratteristiche semicontinue.
Integrazione secondo Lebesgue:
L'integrale di una funzione semicontinua positiva; definizione dell'integrabilit\'88 di una funzione
positiva; l'integrabilit\'88 di una funzione reale. Insiemi misurabili secondo Lebesgue, insiemi di misura
nulla. Propriet\'88 di permanenza algebrica e teoremi di convergenza: il teorema della convergenza
monotona (Beppo-Levi) ed il teorema della convergenza dominata (Lebesgue). I spazi L\super
1\nosupersub e L\super 2\nosupersub e la loro completezza. Confronto con l'integrazione secondo
Riemann.
