Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Sistemi lineari ed algoritmo di Gauss-Jordan. Matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli. Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer. Spazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.
I numeri complessi. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio vettoriale reale e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Cenni a spazi vettoriali complessi. Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi. Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore. Endomorfismi. Diagonalizzabilità. Polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un endomorfismo. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni). La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza. Proiettori ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotto scalare standard in IR^n. Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3. Modulo del determinante è un volume. Matrici ortogonali speciali e non.

(1) G. Marini "Algebra Lineare e Geometria Euclidea" Dispense on-line pagina web del corso
(2) F. Flamini "Dispense su prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei" Dispense on-line pagina web del corso
(3) TESTO PER ALCUNI ARGOMENTI TEORIA + ESERCIZI: F. Flamini, A. Verra ``Matrici e vettori. Corso di base di Geometria e Algebra Lineare."; Carocci Editore, Collana: LE SCIENZE , (2008). Biblioteca Scientifica Tor Vergata

Numeri naturali, interi e razionali, numeri reali: proprietà e costruzione a partire dai numeri naturali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri complessi. Concetto di funzione. Funzioni monotone. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Logaritmo. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Definizione di successione. Successioni monotone. Limiti di funzioni di successioni. Massimo e minimo limite. Insiemi compatti. Numero “e”. Infiniti e infinitesimi: simboli o e O e loro proprietà. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Serie numeriche e loro convergenza. Criterio di Cauchy.
Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Proprietà delle funzioni continue ed invertibili sugli intervalli e sui compatti. Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione e teorema di Weierstrass sui massimi e minimi delle funzioni continue sui compatti. Derivata di una funzione. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, Hospital. Studio del grafico di funzioni reali di variabile reale; funzioni convesse;
Formula di Taylor e sue applicazioni.
Funzioni primitive; integrali indefiniti, finiti e impropri; teorema fondamentale del calcolo; integrali per sostituzione e per parti; calcolo di aree; criteri di integrabilità; criterio di confronto fra serie ed integrali impropri.
Numeri naturali, interi e razionali, numeri reali: proprietà e costruzione a partire dai numeri naturali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri complessi. Concetto di funzione. Funzioni monotone. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Logaritmo. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Definizione di successione. Successioni monotone. Limiti di funzioni di successioni. Massimo e minimo limite. Insiemi compatti. Numero “e”. Infiniti e infinitesimi: simboli o e O e loro proprietà. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Serie numeriche e loro convergenza. Criterio di Cauchy.
Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Proprietà delle funzioni continue ed invertibili sugli intervalli e sui compatti. Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione e teorema di Weierstrass sui massimi e minimi delle funzioni continue sui compatti. Derivata di una funzione. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, Hospital. Studio del grafico di funzioni reali di variabile reale; funzioni convesse;
Formula di Taylor e sue applicazioni.
Funzioni primitive; integrali indefiniti, finiti e impropri; teorema fondamentale del calcolo; integrali per sostituzione e per parti; calcolo di aree; criteri di integrabilità; criterio di confronto fra serie ed integrali impropri.

Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, “Analisi Matematica”, McGraw Hill Italia

Operatori autoaggiunti e matrici rappresentative in basi ortonormali. Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti
Spazi affini e spazi cartesiani euclidei. Punti e rette nel piano cartesiano IR^2. Formule di geometria affine ed euclidea. Circonferenze.
Punti, rette e piani nello spazio cartesiano IR^3. Formule di geometria affine ed euclidea. Sfere. Circonferenze sezionali.
Raggi riflessi e raggi rifratti. Fondamenti di geometria proiettiva. Proiezione stereografica. Trasformazioni proiettive. Trasformazioni affini/euclidee.Cambiamenti di riferimento affine/euclideo. Trasformazioni prospettiche. Quaternioni e rotazioni in IR^3

(1) G. Marini "Algebra Lineare e Geometria Euclidea", Dispense on-line pagina web del corso
(2) F. Flamini "Geometria Proiettiva", Dispense on-line pagina web del corso
(3) F. Flamini "Trasformazioni Geometriche", Dispense on-line pagina web del corso
(4) M. A. Picardello - L. Zsidò "Algebra lineare, elementi di geometria analitica ed aspetti matematici della prospettiva", Note provvisorie on-line, pagina web del corso

Le misure: lunghezza, tempo, massa - Moto rettilineo: velocità media e istantanea, accelerazione - Vettori - Moto in due e tre dimensioni: moto dei proiettili, moto circolare uniforme - Forza e moto: leggi di Newton e applicazioni, attrito, velocità limite - Energia cinetica e lavoro: forza gravitazionale, forza elastica, forza generica variabile - Energia potenziale e conservazione dell'energia - Centro di massa e quantità di moto: sistemi di particelle, urti in una e due dimensioni, sistemi a massa variabile - Rotazione: variabili, accelerazione angolare costante, momento d’inerzia - Rotolamento, momento torcente e momento angolare: corpo rigido, conservazione del momento angolare - Equilibrio ed elasticità - Gravitazione: legge di gravitazione di Newton, leggi di Keplero - I fluidi - Le oscillazioni: moto armonico semplice, smorzato e forzato - Onde - Temperatura, calore e primo principio della termodinamica - Teoria cinetica dei gas - Entropia e secondo principio della termodinamica

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker “Fondamenti di Fisica: Meccanica, Onde, Termodinamica”

Vettori e algebra: Operatore Nabla - Gradiente, Divergenza, Rotore - Campi Scalari - Superfici di livello - Campi Vettoriali - Linee di forza - Campi Conservativi - Flusso di un vettore - Tubo di flusso - Teorema della divergenza - Teorema di Stokes - Campi Solenoidali

Elettrostatica: Forze elettriche - Cariche elettriche - Isolanti e conduttori - Il modello microscopico dell'atomo - Induzione elettrostatica - Elettroscopio a foglie - Legge di Coulomb - Il campo elettrico - Il potenziale elettrostatico - Distribuzione discreta di cariche - Dipolo elettrico - Momento di dipolo - Distribuzione continua di cariche - Flusso del campo elettrico - Teorema di Gauss - Prima equazione di Maxwell - Le equazioni fondamentali del campo Elettrostatico

Conduttori: Teorema di Coulomb - Lo schermo elettrostatico - Gabbia di Faraday - Potere delle punte - Capacità di un conduttore - Condensatore elettrostatico - Sistemi di condensatori - Energia del campo elettrostatico - Energia elettrostatica di un condensatore - Generatori elettrostatici - Generatore di Van der Graaf

Corrente elettrica stazionaria: Corrente elettrica - Densità di corrente - Conservazione della carica elettrica - Equazione di continuità - Prima legge di Kirchhoff - Resistenza elettrica - Legge di Ohm - Superconduttori - Forma locale della legge di Ohm - Legge di Joule - L'effetto Joule - Configurazioni di resistenze elettriche - Generatore elettrico - Forza elettromotrice - Circuiti in corrente continua - Legge di Ohm generalizzata - Seconda legge di Kirchhoff - Partitore resistivo - Corrente quasi stazionaria - Il circuito RC

Magnetismo: Proprietà dei magneti - Il campo di induzione magnetica - Seconda formula di Laplace - Forza di Lorentz - Moto di una particella in un campo di induzione magnetica - Legge di Biot e Savart - Prima formula di Laplace - L'effetto Hall - L'esperienza di Thomson - Forze agenti fra circuiti paralleli - Spira circolare percorsa da corrente - Momento magnetico - Il teorema di equivalenza di Ampere - Il Solenoide - Proprietà del campo magnetico nel caso stazionario - Seconda equazione di Maxwell - Teorema della circuitazione di Ampere - Quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario - Le equazioni fondamentali dell'Elettrostatica e della Magnetostatica nel vuoto - Trappole magnetiche - Campo magnetico Terrestre e fasce di van Allen

Dielettrici: Condensatore piano con dielettrico - Costante dielettrica e Rigidità dielettrica - La Polarizzazione elettrica - Il vettore polarizzazione elettrica - Le equazioni fondamentali dell'Elettrostatica in presenza di dielettrici - Il vettore Induzione Dielettrica

Magnetismo nella materia: Rapporto fra momento magnetico e momento angolare orbitale dell'elettrone - Le correnti atomiche microscopiche - Polarizzazione magnetica - Le equazioni fondamentali della Magnetostatica in presenza di materia - Paramagnetismo - Diamagnetismo - L'effetto Meissner - Ferromagnetismo - Ciclo di isteresi - Magneti permanenti ed Elettromagneti

Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo: Gli esperimenti di Faraday - Legge di Faraday-Neumann - Forza elettromotrice indotta - Campo elettrico nel caso non stazionario - Terza equazione di Maxwell nel caso non stazionario - Quarta equazione di Maxwell nel caso non stazionario - Autoinduzione e induttanza - Forza elettromotrice autoindotta - Il circuito RL

Correnti alternate: L'alternatore - Forza elettromotrice alternata - Valore efficace della f.e.m. e della corrente alternata - Gli elementi circuitali fondamentali in corrente alternata - Il circuito RLC - Il metodo simbolico - Il circuito LC - Trasmissione dell'energia elettrica a distanza - Trasformatore statico - La corrente trifase

Onde elettromagnetiche: Le equazioni di Maxwell - Le equazioni delle onde elettromagnetiche - L'onda elettromagnetica piana - L'onda monocromatica - Lo spettro elettromagnetico: onde radio, microonde, raggi infrarossi, luce visibile, raggi ultravioletti, raggi X, raggi gamma - Trasmissione dei segnali attraverso le onde elettromagnetiche - Il circuito oscillante - Il circuito di sintonia

Fisica II: Elettromagnetismo e Ottica.
di Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini

Introduzione ai computer e alla programmazione. Introduzione alle applicazioni Java. Nozione di programmazione ad oggetti: classi e oggetti. Il linguaggio Java. Tipi di dati, variabili, operatori, stringhe. Controllo del flusso: istruzioni di selezione e istruzioni di iterazione. Metodi. Array. Classi e oggetti. Variabili di classe e di istanza. Packages. Ereditarietà. Polimorfismo. File e stream.

W. Savitch. Programmazione con Java - Pearson Education

Spazi di probabilità. Probabilità condizionata. Formula delle probabilità totali. Formula di Bayes. Indipendenza tra eventi. Cenni di calcolo combinatorio. Introduzione alle variabili aleatorie. Funzione di distribuzione. Variabili aleatorie discrete e distribuzioni discrete di uso comune (ipergeometrica, binomiale, geometrica, binomiale negativa, Poisson). Indipendenza tra variabili aleatorie discrete. Speranza matematica, momenti, varianza e covarianza per variabili aleatorie discrete. Disuguaglianza di Chebicev. Retta di regressione. Variabili aleatorie continue e distribuzioni continue di uso comune (uniforme, esponenziale, normale, Gamma). Processo di Poisson. Speranza matematica, momenti e varianza per variabili aleatorie continue. Legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale. Approssimazione normale.

Catene di Markov (la trattazione sarà ristretta al caso di stati finiti): definizioni introduttive e proprietà. Esempio della rovina del giocatore. Matrici di transizione e distribuzioni congiunte a più tempi. Classificazioni degli stati: stati transitori e ricorrenti. Classi chiuse e irriducibili. Catene irriducibili e catene regolari. Distribuzioni invarianti (o stazionarie). Teorema di Markov-Kakutani. Teorema di Markov. Condizione sufficiente per la regolarità di catene irriducibili. Distribuzioni reversibili. Unicità della distribuzione invariante per catene irriducibili. Proprietà delle distribuzioni stazionarie per gli stati transitori. Probabilità di passaggio per un insieme (e relativo sistema di equazioni). Tempi medi di ingresso nella classe degli stati ricorrenti (e relativo sistema di equazioni).

Note del docente

Spazi di probabilità. Probabilità condizionali, eventi indipendenti.
Probabilità uniformi, elementi di calcolo
combinatorio. Variabili aleatorie (v.a.) discrete e loro leggi. Leggi
congiunte. V.a. indipendenti. Leggi binomiali, geometriche, di Poisson.
Cenni sui modelli continui. Leggi normali e leggi Gamma. Speranza
matematica. Momenti di una v.a., varianza, disuguaglianza di Chebyshev,
covarianza.
La legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale, approssimazione
normale.
Catene di Markov a stati finiti, loro distribuzioni invarianti e
risultati asintotici elementari.
Obiettivi formativi: completa comprensione degli argomenti del corso, con
la capacità di connettere perfettamente le idee matematiche di base,
risolvere problemi e comprendere enunciati e dimostrazioni di tutti i
risultati. Lo studente deve essere in grado di capire a fondo ed applicare
i contenuti ai corsi correlati.
Modalità d?esame: tipicamente l'esame finale avviene attraverso una prova
scritta ed una orale.

Note del docente

Richiami su serie e trasformata di Fourier.
Trasformata wavelet e sue proprietà. Le wavelets di Haar: definizione e proprietà .
Analisi in Multirisoluzione definizione ed esempi. Algoritmi di decomposizione e ricostruzione.
Costruzione di wavelets ortonormali. La famiglia di wavelets di I. Daubechies.
Compressione e denoising. Wavelets bidimensionali con struttura di prodotto tensoriale.
Applicazioni all’elaborazione di immagini. Esempi e visualizzazioni in MatLab.

Note fornite dal docente

Aritmetica di macchina e teoria dell'errore, indice di condizionamento di una funzione. Norme vettoriali e matriciali. Matrici hermitiane, matrici unitarie, autovalori e raggio spettrale di una matrice, teoremi per la localizzazione degli autovalori, sistemi lineari Ax=b, dove A e' una matrice nxn e b e' un vettore nx1. Dipendenza di x da A e b, numero di condizionamento di A e sua valutazione. Matrici elementari di Gauss e di Givens, metodi diretti per la risoluzione di Ax=b, il metodo di Gauss e le su varianti, il metodo di Givens, il metodo di Cholesky per sistem in cui A è definita positiva. Sistemi x=Px+q equivalenti ad Ax=b, metodi iterativi per la risoluzione di x=Px+q, condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza degli stessi. Metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel, Richardson-Eulero e Southwell. Cenni sulle tecniche di precondizionamento per aumentare la rapidità di convergenza dei metodi iterativi, i casi speciali in cui la matrice A e' strutturata o sparsa. L'algebra delle matrici circolanti associata alla trasformata discreta di Fourier. Precondizionatori circolanti per sistemi di Toeplitz.

appunti del docente