Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Teoria delle applicazioni fra insiemi.
Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e le loro proprietà generali. Teorema fondamentale dell’ Algebra.
Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi. Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore.
Funzioni reali di variabile reale. Dominio, codominio, immagine, ,Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa.
Funzioni lineari affini: grafico, coefficiente angolare ed intercetta; rette parallele, incidenti,perpendicolari; rette per un punto e rette per due punti. Esempi
Funzioni quadratiche:grafico radici e segno; applicazioni economiche. Esempi
Funzioni razionali ed irrazionali, intere e fratte: dominio e segno. Esempi
Funzioni esponenziali e logaritmiche. Esempi
Funzioni trigonometriche ed esempi.
Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà e teoremi di base; esempi vari.
Operazioni algebriche sui limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Il numero "e". Alcuni limiti notevoli.
Serie numeriche, e definizione di convergenza; serie geometrica e serie armonica.
Limite di una funzione, al finito ed all’infinito. Esempi vari.
Limiti sinistri e destri, teoremi di base sui limiti. Alcuni limiti notevoli.
Continuità delle funzioni; definizioni, teoremi di base: teorema della permanenza del segno, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi, teorema degli zeri; asintoto obliquo, definizione e proprietà.
Calcolo di alcuni limiti. Derivata ed interpretazione geometrica, derivata destra e sinistra, esempi di funzioni non derivabili.
Calcolo formale di alcune derivate, come log(x), e regole di calcolo delle derivate: somma, prodotto, composta. Legame tra il segno della derivata prima di una funzione ed “andamento” di una funzione. Esempi.
Massimi e minimi locali e globali. Esempi.
Concavità e convessità. Punti di flesso. Esempi
Polinomio di Taylor. Calcolo di alcuni limiti con il polinomio di Taylor. Esempi.
Teoremi di Rolle e di Lagrange. teorema di de L'Hopital e soluzione di alcune forme indeterminate. Studio grafico completo di funzioni. Esempi.
Definizione di primitiva di una funzione ed integrale indefinito. Esempi.
Integrale definito, teoremi della media integrale per funzioni limitate e per funzioni continue.
Teorema fondamentale del calcolo integrale, metodo di integrazione per parti e per sostituzione; esempi.
Spazi vettoriali, dipendenza lineare e rango (di un insieme di vettori). Esempi
Basi di spazi vettoriali; matrici, sistemi lineari in forma matriciale; operazioni sulle matrici, determinanti e matrice inversa.
Rango di matrice, Teorema di Kronecker, Teorema di Cramer, Reorema di Rouché-Capelli; sistemi omogenei. Esempi.
Matrici definite ed indefinite. Esempi di sistemi lineari e loro soluzione.
Funzioni reali di due variabili reali: domini, derivate parziali, punti stazionari; matrice Hessiana e condizioni di secondo ordine; punti dimassimo e minimo liberi; esempi.
Cenni di ottimizzazione vincolata; esempi.

C. Simon, L. Blume, Matematica Generale, Egea, 2007

Programma del corso:
Parte A)
Introduzione alla teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: numeri interi, razionali, reali e le loro proprietà generali. Piano Cartesiano. Topologia retta reali, insiemi aperti, chiusi. Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, punti di frontiera e di accumulazione.
Parte B)
Funzioni di una variabile reale: dominio, codominio,  grafico. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà.  Polinomi. Cenni sulle funzioni trigonometriche.  Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà. Asintoti orizzontali verticali e obliqui.  Unicita' del limite. Funzioni continue. Rapporto incrementale, derivata da un punto di vista  geometrico, differenziale di una funzione. Calcolo formale delle derivate. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno, teorema di Fermat. Funzioni derivabili: definizione, esempi.  Derivate di ordine superiore. Definizione formale di primitiva. Concavità , convessità e flessi. Cenni sui polinomi di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hopital. Studio grafico di funzioni. Esempi. Cenni sulle serie numeriche: serie geometrica.
 Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, esempi vari. Decomposizione in fratti semplici. Calcolo di aree.
Parte D)
Spazi e sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare. Prodotto scalare. Norma di un vettore. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. Forma triangolare per una matrice quadrata. Il metodo di eliminazione di Gauss per sistemi lineari.  Torema di Kronecher. I teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Funzioni reali di due variabili: definizione, dominio, proprieta', esempi. Cenni sui limiti e continuita'  in due variabili. Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente, Hessiano, massimi e minimi liberi. Cenni al caso vincolato: Lagrangiana. 

Testo consigliato: Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati: Matematica per l'economia e l'azienda,   terza edizione settembre 2004, Egea editore.
Per gli esercizi: A. Bersani, F. Manzini, L. Mastroeni, Matematica Generale – Esercizi per i corsi del nuovo          ordinamento della Facoltà di Economia, Soc. Ed. Esculapio