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Docente
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BARTOLUCCI DANIELE
(programma)
1) Elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili.Richiami delle definizioni dei concetti topologici elementari nello spazio euclideo R^N: struttura di spazio vettoriale euclideo, prodotto scalare, norma, distanza e loro proprietà; palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti e chiusi, interno, esterno, frontiera di un insieme, punti di accumulazione.Limiti e continuita’ di successioni in R^n e di funzioni di piu’ variabili a valori scalari e vettoriali. Insiemi compatti, teorema di Weierstrass di esistenza di massimo e minimo assoluti di una funzione continua su un compatto. Derivate parziali e direzionali, gradiente di una funzione scalare di piu' variabili.Differenziabilita’ e differenziale di una funzione. Piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili. Esempi.(*) Condizione necessaria di differenziabilità (conseguenze della proprietà di essere differenziabile)-(*) Teorema del differenziale totale (condizione sufficiente di differenziabilità).Funzioni a valori vettoriali di una variabile: limiti, derivate, integrali secondo le componenti.Funzioni di più' variabili a valori vettoriali, vettori derivate parziali, matrice jacobiana.Teorema sul differenziale di una funzione composta, regola della catena per il calcolo delle derivate parziali.Teorema di inversione locale di funzioni da R^n in R^n.Derivate seconde, teorema di Schwarz sull' inversione dell' ordine di derivazione per le derivate miste.Estremi relativi (liberi) di funzioni scalari di piu’ variabili.(*) Criterio necessario (teorema di Fermat per funzioni di più' variabili).Punti di massimo, minimo, sella.(*) Formula di Taylor con resto in forma di Peano, risp. di Lagrange del primo ordine (i.e. definizione di differenziabilita' risp. teorema del valore medio).(**) Formula di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange del secondo ordine.(**) Richiami sulle forme quadratiche e sulle matrici (semi)definite positive e negative, applicazione a criteri sugli estremi liberi basati sulla matrice hessiana.[Funzioni convesse]2) Integrali doppi e tripli. Definizione di integrale doppio e triplo su rettangoli, risp. parallelepipedi. Integrabilita' delle funzioni continue. Insiemi di misura nulla (secondo Peano-Jordan) integrabilita' di funzioni discontinue su insieme di misura nulla in un rettangolo. Integrali su insieme limitati di funzioni continue. Misurabilita' di un insieme e misura (area, volume) degli insieme misurabili. Formule di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici rispetto a un asse, esempi, esercizi.Cambiamenti regolari di coordinate (diffeomorfismi), formule di cambiamento di variabile.Coordinate polari nel piano, cilindriche e sferiche nello spazio, solidi di rotazione, esempi, esercizi.Cenno agli integrali impropri, calcolo dell' integrale di Gauss ( della funzione e^{- x^2} su tutta la retta reale). Cenno su alcune nozioni fisiche, massa di un corpo piano o solido di densità' assegnata, baricentro, momento di inerzia (analoghe nozioni anche per gli integrali curvilinei e superficiali oggetto dei successivi capitoli).3) Curve e integrali curvilinei, forme differenziali.Parametrizzazioni, sostegno di una curva, curve regolari e regolari a tratti, curve cartesiane.Velocita' scalare, versore tangente, curve equivalenti, ascissa curvilinea. Curve rettificabili, lunghezza di una curva e suo calcolo per curve regolari di classe C^1, integrali curvilinei di prima specie di funzioni scalari.Cenni sul concetto e sul calcolo di curvatura [e torsione] per curve regolari.Insiemi aperti connessi.Integrali curvilinei di seconda specie di campi vettoriali, linguaggio delle forme differenziali.Forme differenziali chiuse (campi irrotazionali) ed esatte (campi conservativi).(*) Calcolo degli integrali curvilinei di forme esatte su curve conoscendo una primitiva e gli estremi della curva.(*) Condizione necessaria di esattezza (ogni forma esatta e' chiusa).(**) Condizioni necessarie e sufficienti di esattezza.(*) Teorema di Green nel piano (dimostrazione nel caso di insieme semplici rispetto agli assi).(*) Applicazione alla dimostrazione dell' invarianza per omotopia degli integrali di forme chiuse e a una condizione sufficiente di esattezza di una forma differenziale in R^2 in insiemi semplicemente connessi (i.e. in tali insiemi ogni forma chiusa e' esatta). Campi radiali.Calcolo di primitive di una forma esatta, metodo degli integrali indefiniti.4) Superfici, integrali superficiali e Analisi vettoriale. Parametrizzazioni, superfici regolari, superfici cartesiane.Prodotto vettoriale fondamentale, versore normale, area di una superficie, integrali di superficie di prima specie.Superfici con bordo. Superfici orientabili, orientazione di una superficie.Integrali di superficie di seconda specie di campi vettoriali (flussi di campi vettoriali attraverso superfici orientate).Gradiente di di un campo scalare, divergenza e rotore di un campo vettoriale.(*) Teorema della divergenza o di Gauss-Green e applicazioni.Teorema di Stokes o del rotore.5) Funzioni implicite, Massimi e Minimi vincolati. Concetto di funzione implicita.(*) Teorema di Dini o delle funzioni implicite in due dimensioni. Esempi.Teorema di Dini in piu’ dimensioni e cenni al caso dei sistemi e alle varietà' in R^n di dimensione k (e codimensione m=n-k).Estremi vincolati di funzioni di due e tre variabili con un vincolo, estremi vincolati di funzioni di tre variabili con due vincoli. Cenno al caso generale di funzioni con n variabili ed m vincoli.(**) Metodo dei moltiplicator
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