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Mutua da
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8037535 ANALISI MATEMATICA I in Ingegneria Elettronica L-8 5 FIDALEO FRANCESCO
(programma)
1. numeri reali
– Numeri naturali, interi, razionali, costruzione dei numeri reali; principio di
induzione.
– Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
– Potenze, radici e logaritmi.
– Cenni di calcolo combinatorio: Permutazioni, Disposizioni, Combinazioni,binomio di Newton.
2. numeri complessi
– Definizione, rappresentazione cartesiana.
– Rappresentazione polare, esponenziale complesso: formula di Eulero, radici n–esime dell’unita.
– Formula risolvente dell’equazione di 2 grado e soluzioni di semplici equazioni algebriche e non algebriche in campo complesso.
3. funzioni reali di una variabile
– Dominio, immagine e grafico.
– Funzioni monotone e funzioni invertibili.
– Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
4. successioni
– Limite di una successione: definizione e proprietà.
– Successioni monotone, numero di Nepero.
– Limite superiore e inferiore, principali proprietà.
– Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass, successioni di Cauchy.
5. limiti di funzioni
– Richiami di topologia: intorni, intorni dei punti all'infinito, punti di accumulazioni, aperti, chiusi, chiusura, interno e frontiera di un insieme, insiemi compatti: teorema di Heine–Borel.
– Limite di una funzione: definizione e proprietà, teorema ponte.
– Infinitesimi, infiniti, confronti tra infinitesimi e infiniti, forme indeterminate,limiti notevoli, confronto all'infinito di potenze, logaritmi ed esponenziali.
– Il simbolo o.
6. funzioni continue
– Definizione, punti di discontinuità.
– Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.
– Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
– Continuità della funzione inversa.
– Uniforme continuità, teorema di Heine–Cantor.
7. calcolo differenziale per funzioni di una variabile
– Derivabilità e retta tangente, differenziale, equivalenza con il concetto di differenziabilità.
– Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
– Estremi locali e derivate.
– Teorema di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
– Derivate successive e convessità (cenni).
– Studio del grafico di funzioni.
– Teorema di de L’Hopital.
– Funzioni Lipschitziane e connessione con la derivabilità (cenni).
8. integrale di riemann
– Definizione di integrale di Riemann, proprietà, condizioni di integrabilità.
– Classi di funzioni integrabili: integrabilità di funzioni continue e monotone.
– Teorema della media e della media pesata per gli integrali.
– Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
– Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione.
– Integrazione delle funzioni razionali: fratti semplici, sostituzioni speciali.
9. integrali impropri
– Definizione di integrabilità in senso improprio.
– Integrali impropri di funzioni continue positive: teorema del confronto e del
confronto asintotico.
– Assoluta integrabilità in senso improprio.
10. polinomi di taylor
– Definizioni, teorema di Taylor per il resto.
– Formula integrale del resto e formula di Lagrange.
– Calcolo dei polinomi di Taylor di funzioni elementari.
– Applicazioni al calcolo dei limiti e ad approssimazioni di numeri irrazionali.
11. calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili
– Limiti e continuità.
– Derivate parziali e definizione di gradiente, significato geometrico.
– Derivate direzionali e derivata debole, differenziale e derivata forte, varietà tangente.
– Teorema del differenziale totale.
– Differenziabilità di funzioni composte: regola della catena.
– Funzioni a valori vettoriali, matrice Jacobiana.
– Applicazioni all’analisi vettoriale (cenni): (iper)superfici di livello, varietà normale.
– Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale.
12. introduzione alle equazioni differenziali alle derivate ordinarie
– Equazioni differenziali di ordine n risolte rispetto alla derivata di ordine più alto: trasformazione in un sistema differenziale del primo ordine, teoremi di Peano e di Cauchy (senza dimostrazione).
– Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
– L’equazione differenziale lineare del primo ordine: formula risolvente.
– Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e non omogenee, equazione omogenea associata, polinomio caratteristico.
– Soluzioni di equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: soluzione dell’equazione omogenea associata e ricerca di una soluzione particolare dell’equazione data col metodo degli annichilatori.
 Testi consigliati:
(1) M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli Analisi Matematica, McGraw–Hill, Milano.
(2) E. Callegari Quesiti di analisi matematica, Aracne, Roma (per gli esercizi).
(3) T. M. Apostol Calcolo, volumi I, III, Boringhieri, Torino.
(4) P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica 1, Liguori, Napoli.
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