Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

PROGRAMMA:
- Numeri reali
- Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
- Potenze, radici e logaritmi.

- Funzioni reali di una variabile
- Dominio, immagine e grafico
- Funzioni monotone e funzioni invertibili
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Successioni
- Limite di una successione: definizione e proprietà
- Successioni monotone
- Successioni infinitesime, infinite e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli
- Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
- Il principio di induzione

Limiti di funzioni reali
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
- Limite di una funzione: definizione e proprietà
- Infinitesimi, infiniti e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli

Continuità
- Funzioni continue
- Punti di discontinuità
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
- Teorema degli zeri
- Continuità della funzione inversa
- Uniforme continuità

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Derivabilità e retta tangente,
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
- Estremi locali e derivate
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
- Monotonia e derivate
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni
- Derivate successive; concavità e convessita
- Studio del grafico di funzioni
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti

Integrali
- Definizione di integrale di Riemann, proprietà
- Classi di funzioni integrabili
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrabilità in senso improprio
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
- Assoluta integrabilità in senso improprio

Equazioni differenziali ordinarie

- Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
e problema di Cauchy
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e
non omogenee
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico

Numeri complessi
- Definizione
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
- Radici n-sime complesse

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
- Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
- Limiti e continuità in Rn
- Derivate parziali e direzionali
- Differenziabilità e piano tangente, gradiente
- Teorema del differenziale totale

Teoria
• C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
• P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori 
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007
• Esercizi
• B. P. Demidovich. Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol. 1 (parte I e II), Liguori
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli 2001 
M. Bramanti. Esercitazioni di Analisi Mat. 1.
• M. Amar, A.M. Bersani. Analisi Matematica 1 Esercizi, La Dotta.

E. Giusti, Esercizi di Analisi Matematica 1, Boringhieri.

ondamenti

Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni.
I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.

Funzioni di variabile reale e successioni

Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria.
Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.

I numeri complessi

Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre.
Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.

Limiti e funzioni continue

La nozione di limite.
Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau.
Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi.
Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali.
Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa.
Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.

Derivate e studio di funzioni

Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore.
Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari.
Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy.
Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange.
Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche.
Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.

Integrali

Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann.
Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone.
Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi.
Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.

Cenni sulle equazioni differenziali

Equazioni differenziabili a variabili separabili.
Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

1. numeri reali
– Numeri naturali, interi, razionali, costruzione dei numeri reali; principio di
induzione.
– Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
– Potenze, radici e logaritmi.
– Cenni di calcolo combinatorio: Permutazioni, Disposizioni, Combinazioni,binomio di Newton.
2. numeri complessi
– Definizione, rappresentazione cartesiana.
– Rappresentazione polare, esponenziale complesso: formula di Eulero, radici n–esime dell’unita.
– Formula risolvente dell’equazione di 2 grado e soluzioni di semplici equazioni algebriche e non algebriche in campo complesso.
3. funzioni reali di una variabile
– Dominio, immagine e grafico.
– Funzioni monotone e funzioni invertibili.
– Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
4. successioni
– Limite di una successione: definizione e proprietà.
– Successioni monotone, numero di Nepero.
– Limite superiore e inferiore, principali proprietà.
– Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass, successioni di Cauchy.
5. limiti di funzioni
– Richiami di topologia: intorni, intorni dei punti all'infinito, punti di accumulazioni, aperti, chiusi, chiusura, interno e frontiera di un insieme, insiemi compatti: teorema di Heine–Borel.
– Limite di una funzione: definizione e proprietà, teorema ponte.
– Infinitesimi, infiniti, confronti tra infinitesimi e infiniti, forme indeterminate,limiti notevoli, confronto all'infinito di potenze, logaritmi ed esponenziali.
– Il simbolo o.
6. funzioni continue
– Definizione, punti di discontinuità.
– Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.
– Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
– Continuità della funzione inversa.
– Uniforme continuità, teorema di Heine–Cantor.
7. calcolo differenziale per funzioni di una variabile
– Derivabilità e retta tangente, differenziale, equivalenza con il concetto di differenziabilità.
– Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
– Estremi locali e derivate.
– Teorema di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
– Derivate successive e convessità (cenni).
– Studio del grafico di funzioni.
– Teorema di de L’Hopital.
– Funzioni Lipschitziane e connessione con la derivabilità (cenni).
8. integrale di riemann
– Definizione di integrale di Riemann, proprietà, condizioni di integrabilità.
– Classi di funzioni integrabili: integrabilità di funzioni continue e monotone.
– Teorema della media e della media pesata per gli integrali.
– Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
– Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione.
– Integrazione delle funzioni razionali: fratti semplici, sostituzioni speciali.
9. integrali impropri
– Definizione di integrabilità in senso improprio.
– Integrali impropri di funzioni continue positive: teorema del confronto e del
confronto asintotico.
– Assoluta integrabilità in senso improprio.
10. polinomi di taylor
– Definizioni, teorema di Taylor per il resto.
– Formula integrale del resto e formula di Lagrange.
– Calcolo dei polinomi di Taylor di funzioni elementari.
– Applicazioni al calcolo dei limiti e ad approssimazioni di numeri irrazionali.
11. calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili
– Limiti e continuità.
– Derivate parziali e definizione di gradiente, significato geometrico.
– Derivate direzionali e derivata debole, differenziale e derivata forte, varietà tangente.
– Teorema del differenziale totale.
– Differenziabilità di funzioni composte: regola della catena.
– Funzioni a valori vettoriali, matrice Jacobiana.
– Applicazioni all’analisi vettoriale (cenni): (iper)superfici di livello, varietà normale.
– Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale.
12. introduzione alle equazioni differenziali alle derivate ordinarie
– Equazioni differenziali di ordine n risolte rispetto alla derivata di ordine più alto: trasformazione in un sistema differenziale del primo ordine, teoremi di Peano e di Cauchy (senza dimostrazione).
– Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
– L’equazione differenziale lineare del primo ordine: formula risolvente.
– Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e non omogenee, equazione omogenea associata, polinomio caratteristico.
– Soluzioni di equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: soluzione dell’equazione omogenea associata e ricerca di una soluzione particolare dell’equazione data col metodo degli annichilatori.

Testi consigliati:
(1) M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw–
Hill, Milano.
(2) E. Callegari: Quesiti di analisi matematica, Aracne, Roma (per gli esercizi).
(3) T. M. Apostol: Calcolo, volumi I, III, Boringhieri, Torino.
(4) P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 1, Liguori, Napoli.
(5) C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1 Seconda edizione, Zanichelli,
Bologna.