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Docente
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ARTALE MARIA
(programma)
PROGRAMMA:
Nozioni preliminari: insiemi numerici, sistemi di riferimento affini e cartesiani sulla retta nel piano e nello spazio, orientazioni della retta, del piano e dello spazio, angoli nel piano e nello spazio.
Sistemi lineari: risoluzione dei sistemi lineari a scala, il metodo di eliminazione di Gauss e la risoluzione dei sistemi lineari compatibili. Algebra delle matrici: matrici invertibili.
Spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Lo spazio vettoriale dei segmenti orientati centrati nell'origine.
L'algoritmo di Gauss per selezionare una base da un sistema di generatori. Sottospazi e sottovarietà affini.Intersezione e somma di sottospazi: somme dirette e formula di Grassmann.
Determinante; prime applicazioni geometriche della nozione di determinante. Digressione sulle permutazioni. Proprietà che definiscono la funzione determinante e applicazioni al calcolo della matrice inversa, teorema di Cramer. Autovalori e autovettori.
Trasformazioni lineari: matrice associata ad una trasformazione lineare, trasformazioni lineari iniettive,suriettive e biiettive. Cambiamenti di base per uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Problema della diagonalizzazione delle trasformazioni lineari.
Condizioni analitiche di appartenenza e parallelismo. Equazioni cartesiane e parametriche delle sottovarietà affini. Geometria Affine.Lo spazio affine e lo spazio dei vettori geometrici.Equazioni cartesiane di rette e piani nello spazio affine ordinario. Parametri direttori di una retta e parametri di giacitura di un piano.Condizioni analitiche di appartenenza e parallelismo. La geometria analitica del piano e dello spazio affine. Fasci e stelle di rette e piani. Risoluzione geometrica di alcuni problemi.
Spazi vettoriali metrici. Prodotto scalare nello spazio dei vettori geometrici. Prodotto scalare canonico.
Matrici ortogonali e cambiamenti di base ortonormali. Proiezioni ortogonali. Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi ortogonali e complementi ortogonali. Il prodotto hermitiano canonico. Matrici unitarie e cambiamenti di base ortonormali.
Geometria Euclidea. Espressioni analitiche per misure di distanze e di angoli. Condizioni di ortogonalità.
Rappresentazione analitica di alcune curve del piano definite facendo uso di distanze e angoli. Aree e volumi. Circonferenze e sfere. Rette e piani tangenti.
Affinità e isometrie: cambiamenti di coordinate cartesiane affini nello spazio e nel piano; cambiamenti di coordinate cartesiane ortogonali monometriche nello spazio e nel piano. Matrici hermitiane e unitarie.
Teorema di diagonalizzazione e teorema spettrale per le matrici hermitiane. Matrici unitarie.Forme quadratiche reali in una e due variabili. Problemi generali sulle forme quadratiche. Criteri perchè una matrice simmetrica reale sia definita (semidefinita) positiva. Segnatura di una forma quadratica.
Invarianti per congruenza. Forma canonica affine e metrica di una forma quadratica.
Riduzione delle coniche a forma canonica.Cenni sulla classificazione delle quadriche.
 Testi base:
M.Artale, Dispense del corso di Geometria e Algebra A.A. 2013-2014, Appunti ed esercizi del corso.
Testi consigliati:
M.Abate,Geometria McGraw-Hill.
M.Abate, C.de Fabritiis, Esercizi di Geometria, McGraw-Hill.
S.Abeasis, Algebra lineare e Geometria, Zanichelli.
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