|
Docente
|
GEATTI LAURA
(programma)
La prima parte del programma vertera' sulla teoria della misura e dell'integrazione
secondo Lebesgue, sulle misure prodotto e Teorema di Fubini-Tonelli; tratteremo infine alcune
applicazioni di questa teoria.
La seconda parte del programma sara' così articolata: Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos
e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato.
Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni
olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di
potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di
funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di
potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il
principio dell'unicità per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Molteplicità degli zeri di funzioni
olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del
massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati,
sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolarita'. Residui, Funzioni meromorfe,
principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui.
Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.
 Dispense di C. Rea: Analisi reale e complessa; "Measure and Integral: An
Introduction to Real Analysis", Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund ,Marcel Dekker, 1977;
"Complex Analysis", Ian Stewart, David Tall ,Cambridge University Press, 1990; Testi ed esercizi
distribuiti durante il corso.
|
