Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

PROGRAMMA:
- Numeri reali
- Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
- Potenze, radici e logaritmi.

- Funzioni reali di una variabile
- Dominio, immagine e grafico
- Funzioni monotone e funzioni invertibili
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Successioni
- Limite di una successione: definizione e proprietà
- Successioni monotone
- Successioni infinitesime, infinite e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli
- Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
- Il principio di induzione

Limiti di funzioni reali
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
- Limite di una funzione: definizione e proprietà
- Infinitesimi, infiniti e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli

Continuità
- Funzioni continue
- Punti di discontinuità
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
- Teorema degli zeri
- Continuità della funzione inversa
- Uniforme continuità

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Derivabilità e retta tangente,
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
- Estremi locali e derivate
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
- Monotonia e derivate
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni
- Derivate successive; concavità e convessita
- Studio del grafico di funzioni
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti

Integrali
- Definizione di integrale di Riemann, proprietà
- Classi di funzioni integrabili
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrabilità in senso improprio
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
- Assoluta integrabilità in senso improprio

Equazioni differenziali ordinarie

- Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
e problema di Cauchy
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e
non omogenee
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico

Numeri complessi
- Definizione
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
- Radici n-sime complesse

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
- Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
- Limiti e continuità in Rn
- Derivate parziali e direzionali
- Differenziabilità e piano tangente, gradiente
- Teorema del differenziale totale

Teoria
• C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
• P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori 
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007
• Esercizi
• B. P. Demidovich. Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol. 1 (parte I e II), Liguori
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli 2001 
M. Bramanti. Esercitazioni di Analisi Mat. 1.
• M. Amar, A.M. Bersani. Analisi Matematica 1 Esercizi, La Dotta.

E. Giusti, Esercizi di Analisi Matematica 1, Boringhieri.

Fondamenti

Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni.
I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.

Funzioni di variabile reale e successioni

Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria.
Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.

I numeri complessi

Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre.
Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.

Limiti e funzioni continue

La nozione di limite.
Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau.
Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi.
Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali.
Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa.
Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.

Derivate e studio di funzioni

Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore.
Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari.
Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy.
Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange.
Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche.
Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.

Integrali

Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann.
Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone.
Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi.
Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.

Cenni sulle equazioni differenziali

Equazioni differenziabili a variabili separabili.
Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

PARTE PRIMA

- Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, numeri reali.
- Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore.
- Nozioni generali sulle funzioni di variabile reale. Funzioni elementari.
Introduzione allo studio qualitativo delle funzioni.
- Successioni. Il principio di induzione. Numeri fattoriali e coefficenti binomiali.
- Limiti di successioni: definizione e proprietà. Soluzione di alcune
forme indeterminate.
- Teoremi di permanenza del segno e di confronto.
- Successioni monotone. Il numero di Nepero.
- Sottosuccessioni. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme indeterminate.
- Funzioni continue. Punti di discontinuità.
- Teorema degli zeri.
- Il Teorema di Weierstrass.
- La funzione inversa.
- Derivate: definizioni e proprietà. Interpretazione geometrica, differenziabilità, retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo.
- Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e applicazioni. Studio della monotonia, estremi relativi, punti stazionari.
- Derivate seconde e convessità. Studio del grafico.


PARTE SECONDA

- Il Teorema di L'Hopital. Polinomio di Taylor e sue proprietà. Applicazioni al calcolo dei limiti.
- Inversione dell'operazione di derivazione e calcolo di aree:
l'integrale di Riemann.
- Integrali definiti e indefiniti. Integrabilità delle funzioni monotone.
- Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione integrale.
- Integrazioni per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni
razionali.
- Integrali impropri; criteri di convergenza.


PARTE TERZA

- Numeri complessi. Forma cartesiana, trigonometrica, esponenziale. Operazioni elementari con i numeri complessi.
- Radici n-sime, Teorema fondamentale dell'Algebra.
- Equazioni differenziali del primo ordine omogenee e non omogenee, equazioni di Bernoulli e problema di Cauchy.
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee e problema di Cauchy.
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico.

TEORIA:

-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Ed. (1998)


ESERCIZI:

-Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 1a, Liguori Ed. (1994)
-Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 2a, Liguori Ed. (1995)

o alternativamente,

-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo1, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo2, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo3, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo4, Liguori Ed. (2009)

Numeri reali.
Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni reali di una variabile. Dominio, immagine e grafico. Funzioni monotone e funzioni invertibili. Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche
Successioni.
Limite di una successione: definizione e proprietà. Successioni monotone. Successioni infinitesime, infinite e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli. Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass. Il principio di induzione.
Limiti di funzioni reali.
Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale. Limite di una funzione: definizione e proprietà. Infinitesimi, infiniti e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli.
Continuità.
Funzioni continue. Punti di discontinuità. Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Derivabilità e retta tangente. Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione. Estremi locali e derivate. Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy. Monotonia e derivate. Teorema di de L'Hopital e applicazioni. Derivate successive; concavità e convessità.
Studio del grafico di funzioni.
Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti.
Integrali.
Definizione di integrale di Riemann, proprietà. Classi di funzioni integrabili. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrabilità in senso improprio. Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze. Assoluta integrabilità in senso improprio.
Equazioni differenziali ordinarie.
Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e problema di Cauchy. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico
Numeri complessi.
Definizione. Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari. Radici n-sime complesse.

http://www.mat.uniroma2.it/~isola/teaching/AnalisiUno/AMUnoProgramma.pdf

Teoria
1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007
2. C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992 (1ed), Zanichelli 2015 (2ed)
3. P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori

Esercizi
4. B. P. Demidovich. Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
5. P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol. 1 (parte I e II), Liguori
6. S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli 2001