Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

parte 1:
-) richiami sulla topologia di R^n e sull'integrale di Riemann,
-) la misura di Lebesgue,
-) funzioni misurabili secondo Lebesgue,
-) integrale di Lebesgue,
-) integrazione su prodotti cartesiani,
-) cambiamento di variabile negli integrali,
-) rudimenti sugli spazi Lp.

1) Richard L Wheeden; Antoni Zygmund: Measure and integral : an introduction to real analysis. Boca Raton, FL : CRC Press, Taylor & Francis Group, [2015]
2) Donald L. Cohn: "Measure Theory". Springer, 2013.
3) Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.

Numeri complessi. Funzioni derivabili in senso complesso. Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni olomorfe elementari. Serie di potenze complesse.
Integrali complessi. Lemma di Goursat. Teorema di Cauchy per domini convessi. Formula integrale di Cauchy. Sviluppabilita' locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'Algebra. Principio di unicita' per funzioni olomorfe. Principio del massimo modulo. Lemma di Schwarz. Automorfismi olomorfi del disco. Teorema di convergenza di Weierstrass.
Serie di Laurent. Singolarita’ isolate. Formula di Cauchy per anelli. Sviluppo in serie di Laurent di funzioni olomorfe su anelli. Classificazione delle singolarita’. Teorema di Casorati-Weierstrass. Automorfismi olomorfi della sfera di Riemann e del piano complesso. Funzioni meromorfe. Forma generale del teorema di Cauchy (cenni). Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Principio dell'argomento. Teorema di Rouche'. Teorema della mappa di Riemann (cenni).

1) Donald Sarason, Notes on complex function theory, A.M.S. 2007.
2) Henri Cartan, Elementary theory of analytic functions of one and several variables, Dover Public. Inc., 1995.