Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Spazi di probabilità. Probabilità condizionata. Formula delle probabilità totali. Formula di Bayes. Indipendenza tra eventi. Cenni di calcolo combinatorio. Introduzione alle variabili aleatorie. Funzione di distribuzione. Variabili aleatorie discrete e distribuzioni discrete di uso comune (ipergeometrica, binomiale, geometrica, binomiale negativa, Poisson). Indipendenza tra variabili aleatorie discrete. Speranza matematica, momenti, varianza e covarianza per variabili aleatorie discrete. Disuguaglianza di Chebicev. Retta di regressione. Variabili aleatorie continue e distribuzioni continue di uso comune (uniforme, esponenziale, normale, Gamma). Processo di Poisson. Speranza matematica, momenti e varianza per variabili aleatorie continue. Legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale. Approssimazione normale.

Catene di Markov (la trattazione sarà ristretta al caso di stati finiti): definizioni introduttive e proprietà. Esempio della rovina del giocatore. Matrici di transizione e distribuzioni congiunte a più tempi. Classificazioni degli stati: stati transitori e ricorrenti. Classi chiuse e irriducibili. Catene irriducibili e catene regolari. Distribuzioni invarianti (o stazionarie). Teorema di Markov-Kakutani. Teorema di Markov. Condizione sufficiente per la regolarità di catene irriducibili. Distribuzioni reversibili. Unicità della distribuzione invariante per catene irriducibili. Proprietà delle distribuzioni stazionarie per gli stati transitori. Probabilità di passaggio per un insieme (e relativo sistema di equazioni). Tempi medi di ingresso nella classe degli stati ricorrenti (e relativo sistema di equazioni).

Note del docente

Spazi di probabilità. Probabilità condizionali, eventi indipendenti.
Probabilità uniformi, elementi di calcolo
combinatorio. Variabili aleatorie (v.a.) discrete e loro leggi. Leggi
congiunte. V.a. indipendenti. Leggi binomiali, geometriche, di Poisson.
Cenni sui modelli continui. Leggi normali e leggi Gamma. Speranza
matematica. Momenti di una v.a., varianza, disuguaglianza di Chebyshev,
covarianza.
La legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale, approssimazione
normale.
Catene di Markov a stati finiti, loro distribuzioni invarianti e
risultati asintotici elementari.
Obiettivi formativi: completa comprensione degli argomenti del corso, con
la capacità di connettere perfettamente le idee matematiche di base,
risolvere problemi e comprendere enunciati e dimostrazioni di tutti i
risultati. Lo studente deve essere in grado di capire a fondo ed applicare
i contenuti ai corsi correlati.
Modalità d?esame: tipicamente l'esame finale avviene attraverso una prova
scritta ed una orale.

Note del docente