Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

- I numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: relazione d'rodine e l'assioma di continuità.
- Funzioni: grafico, composizione ed inversione, il grafico della funzione inversa. Funzioni limitate, massimi e minimi. Funzioni monotone, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche. Esempi di funzioni elementari.
- Limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti notevoli.
- Continuita`: teorema della permanenza del segno, dei valori intermedi, continuità della funzione inversa e teorema di Weierstrass.
- Derivabilita`. Definizione, proprieta` algebriche e derivate delle funzioni elementari.
Teorema del valor medio. I teoremi di Rolle, Lagrange e la caratterizzazione della monotonia tramite il segno della derivata. Determinazione di massimi e minimi locali.
- Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Il resto di Lagrange.
- Integrale di Riemann. L'integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti e decomposizione in fratti semplici e integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili all'integrazione di funzioni razionali.
Integrali impropri: il criterio del confronto asintotico; convergenza assoluta.
- Serie numeriche, definizione di base ed esempi. Criteri: confronto e confronto asintotico; radice; rapporto; confronto integrale; Leibniz . Successioni di funzioni: convergenza
uniforme. Le serie di potenze e la serie di Taylor.
- Numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici di un'eqazione polinomiale.
- Equazioni differenziali. Cenni al teorema di esistenza ed unicita` e proprieta` delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili del primo ordine. Equazioni differenziali differenziali lineari: proprietà` generali e soluzioni esplicite delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Applicazione al caso dell’oscillatore armonico: smorzato, forzato e risonante. Cenni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e soluzione di sistemi a coefficienti costanti diagonalizzabili. Il caso degli oscillatori armonici accoppiati.

Un qualunque testo di Analisi Matematica che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio
M. Bramanti C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1 e 2, Zanichelli.
Un qualunque testo di Esercizi che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio
E. Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica Vol.1 e Vol. 2, Bollati-Boringhieri