Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

0. Richiami di statistica descrittiva: set di dati, statistiche descrittive, moda, media, statistiche dell’'ordinamento, mediana, quantili, percentili, varianza e deviazione standard, skewness e kurtosis, covarianza e correlazione, tabelle di frequenza, grafici e grafici a torta, grafici a scatola e valori anomali, istogrammi, stime di densità col metodo del kernel, distribuzione empirica di un set di dati, PP-plots e QQ-plots, dalla statistica empirica alla statistica inferenziale, la necessità di un calcolo delle probabilità.

1. Spazi di probabilità: esiti di fenomeni ed esperimenti aleatori, eventi, σ-algebre di eventi, probabilità, probabilità di Dirac, probabilità di Bernoulli, probabilità uniforme discreta, densità di probabilità discrete e continue, densità binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson, densità uniforme continua, densità esponenziale, densità Gaussiana, eventi indipendenti, condizionamento di eventi, probabilità condizionate, teorema della probabilità totale, teorema di Bayes.

2. Variabili Aleatorie: distribuzione e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria, mediana, quantili, moda, variabili aleatorie discrete, variabili aleatorie di Dirac, di Bernoulli, di Rademacher, variabile aleatoria uniforme discreta, variabili aleatorie binomiale, e ipergeometrica, variabili aleatorie geometrica e di Poisson, variabili aleatorie continue e assolutamente continue, densità di una variabile aleatoria assolutamente continua, variabile aleatoria uniforme continua, variabili aleatorie esponenziale e Gaussiana.

3. Momenti di una variabile aleatoria: momento del primo ordine (speranza), momenti di ordine superiore, varianza, skewness, e kurtosis, disuguaglianze di Markov, di Tchebychev, di Holder e di Minkowski, spazi di variabili aleatorie.

4. Vettori aleatori: distribuzione congiunta e marginale, funzione di distribuzione di un vettore aleatorio, vettori aleatori assolutamente continui, densità di un vettore aleatorio assolutamente continuo, densità marginale, momenti di un vettore aleatorio, speranza di un vettore aleatorio, matrice di varianza-covarianza di un vettore aleatorio, distribuzioni Gaussiane multi-variate.

5. Variabili aleatorie indipendenti e condizionate: modello d'informazione, variabili aleatorie indipendenti, condizionamento di variabili aleatorie rispetto all'informazione disponibile, speranza condizionata, speranza condizionata e regressione lineare, speranza condizionata per variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane.

6. Modi di convergenza di una successione di variabili aleatorie: convergenza quasi certa, convergenza in probabilità, convergenza in media e in media quadratica, convergenza in distribuzione, Leggi dei Grandi Numeri, Teorema del Limite Centrale.

7. Basi d'inferenza statistica: popolazioni e campioni, taglia di un campione, campioni aleatori, campioni indipendenti e non indipendenti, campione aleatorio semplice, il ruolo delle Leggi dei Grandi Numeri e del Teorema del Limite Centrale.

8. Stimatori puntuali: stimatori parametrici corretti e distorti, errore quadratico medio, stimatori consistenti e sufficienti, media campionaria, varianza campionaria, altri stimatori puntuali, distribuzioni di stimatori puntuali, distribuzione Gamma, distribuzione di Student, distribuzione Chi-quadro, indipendenza tra media e varianza campionaria di un campione aleatorio semplice Gaussiano.

9. Costruzione di stimatori puntuali: metodo dei momenti e metodo di massima verosimiglianza, proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza.

10. Stimatori intervallari: intervalli di confidenza, intervalli di confidenza per la media di una popolazione, intervalli di confidenza per la varianza di una popolazione, intervalli di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni, intervalli di predizione.

11. Test d'ipotesi: fondamenti concettuali di un test d'ipotesi, ipotesi nulle e alternative, tipi d'errore, regioni di rigetto e p-value, test d'ipotesi per la media di una popolazione, test d'ipotesi per la varianza di una popolazione, test d'ipotesi per la differenza tra le medie di due popolazioni, test di "aleatorietà", test di normalità, analisi della varianza (ANOVA).

12. Regressioni: modello di regressione lineare semplice, stimatori dei parametri del modello e loro proprietà, teorema di Gauss-Markov, analisi dei residui per l'adeguatezza del modello di regressione lineare, problema di predizione, regressione logistica semplice, modello di regressione lineare multipla, informazione di Akaike e informazione di Bayes.

13. Introduzione all'analisi di serie storiche: serie storiche e processi stocastici, processi stocastici stazionari ed ergodici, white noise e random walk, il ruolo della regressione lineare nell'analisi di serie storiche, serie storiche di dati economico-finanziari.

1) S.M. Ross, Probabilità e Statistica per l'’Ingegneria e le Scienze - Terza Edizione, Apogeo (2015).

2) Note (in Inglese) redatte dall'istruttore verranno fornite su tutti gli argomenti del corso.

00. Elementi Introduttivi di Statistica: popolazioni e insiemi di dati, statistiche su una popolazione, statistiche d'ordine,
media campionaria, moda campionaria, mediana campionaria, quantili, percentili, varianza campionaria e deviazione standard,
covarianza campionaria, tabelle di frequenza, grafici e grafici a torta, istogrammi, grafici di probabilità.

01. Spazi di probabilità: eventi, s-algebra di eventi, probabilità, eventi indipendenti, condizionamento rispetto a eventi.

02. Variabili aleatoria: distribuzione e funzione di distribuzione di una variabile aleatoria, mediana, quantili, moda,
variabili aleatorie discrete, continue e assolutamente continue, densità di una variabile aleatoria assolutamente continua,
principali distribuzioni di probabilità e le loro proprietà.

03. Momenti di una variabile aleatoria: speranza, momenti di ordine superiore, varianza, asimmetria e curtosi, disuguaglianze classiche.

04. Vettori aleatori: distribuzione e funzione di distribuzione congiunta e marginale, densità dei vettori aleatori, matrice di (auto)-covarianza,
distribuzioni gaussiane multivariate.

05. Le variabili aleatorie indipendenti: modello d'informazione, condizionamento di variabili aleatorie date le informazioni disponibili,
speranza condizionata, regressione lineare e speranza condizionata, regressione lineare per variabili aleatorie congiuntamente normalmente distribuite.

06. Modi di convergenza di una successione di variabili aleatorie: convergenza quasi certa, convergenza in probabilità, in media, in media quadratica,
convergenza in distribuzione, le leggi dei grandi numeri, il teorema del limite centrale.

07. Fondamenti di Statistica Inferenziale: popolazione e campioni, inferenza statistica, stimatori, stima puntuale, stima intervallare,
test di ipotesi, analisi della varianza, regressione e correlazione.

08. Stima puntuale: distorsione, errore quadratico medio, consistenza, sufficienza, media campionaria, varianza campionaria, media e varianza campionaria per una popolazione normale,
metodo dei momenti, stima di massima verosimiglianza, tecniche per la massimizzazione della verosimiglianza.

09. Stima intervallare: intervalli di confidenza, intervalli di confidenza per una popolazione normale, intervalli di confidenza asintotici.

10. Test d'ipotesi: idee fondamentali nella costruzione dei test d'ipotesi, ipotesi statistiche e loro rifiuto in favore delle alternative, tipi di errori nei test d'ipotesi,
le regioni e le probabbilità di rifiuto, i principali test stazionarietà e normalità.

11. Analisi della varianza (ANOVA): analisi fattoriale singola, analisi fattoriale multipla, ANOVA a due fattori.

12. Regressione e correlazione: semplice modello di regressione lineare, la stima dei parametri del modello, inferenza circa i coefficienti di regressione,
il problema della predizione, correlazione, valutazione dell'adeguatezza del modello, analisi di regressione multipla, regressione logistica.

13. Caso da studio: analisi statistica e calibrazione di un modello per l'Indice Composito Standard and Poor 500.

Testi adottati

01 - J. L. Davore, B. N. Kenneth, Modern Mathematical Statistics with Applications. Springer, 2012.
02 - Instructor’s notes will be provided for many topics of the course.

Testi consigliati

01- P. Billingsley, Probability and measure - 2nd edition. Wiley series in Probability and Mathematical Statistics, 1986.
02 - S. M. Ross, Introductory Statistics - 3rd edition. Elsevier, 2010.
03 - A. Papoulis, Probability and Statistics – Prentice-Hall International Editions, 1990.
05 - F. Jürgen, W. K. Härdle, C. M. Wolfgang Hafner, Statistics of Financial Markets: an introduction. Springer, 2011.