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8067262 ALGEBRA COMMUTATIVA in Matematica Pura e Applicata LM-40 GAVARINI FABIO
(programma)
Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso.
FONDAMENTI di TEORIA degli ANELLI (commutativi unitari):
- richiami di teoria degli anelli: anelli (commutativi unitari), ideali, quozienti, morfismi, Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo, prodotti diretti;
- operazioni sugli ideali, ideali massimali, radicale di Jacobson, radicale nilpotente; anelli locali, anelli semilocali; ideali primi, dimensione di Krull di un anello;
- estensione e contrazione di ideali tramite un morfismo.
MODULI (su anelli commutativi unitari):
- moduli, sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; successioni esatte, moduli di morfismi, modulo duale;
- moduli liberi, basi di un modulo; i moduli su un campo sono tutti liberi, dimensione di un modulo su un campo; rango di un modulo libero; Lemma di Nakayama;
- elementi di torsione; proprietà notevoli dei moduli su un D.I.P.;
- prodotto tensoriale tra moduli; cambiamenti di anello di base, restrizione ed estensione di scalari; anelli e moduli di frazioni; algebre su un anello.
NOETHERIANITA` e ARTINIANITA`:
- condizioni sulle catene per moduli e anelli, noetherianità e artinianità, serie di composizione, lunghezza di un anello;
- anelli notheriani e anelli artiniani, proprietà fondamentali; Teorema della Base di Hilbert, Teorema degli Zeri di Hilbert; decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano; caratterizzazione degli anelli artiniani; teorema di struttura per gli anelli artiniani.
SPETTRO PRIMO di un ANELLO:
- lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski; funtorialità dello spettro primo;
- relazioni tra proprietà algebriche di un anello e proprietà topologiche del suo spettro primo;
- spazi topologici noetheriani, caratterizzazione degli anelli il cui spettro primo sia noetheriano.
TEORIA delle CATEGORIE:
- categorie, funtori, trasformazioni naturali; equivalenze tra categorie; aggiunzione tra funtori;
- funtori rappresentabili e loro rappresentazioni; Lemma di Yoneda;
- oggetti finali e oggetti iniziali; prodotti e coprodotti; diagrammi, coni e coconi, limiti e colimiti; limiti diretti e limiti inversi.
 [1] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduzione a l'algebra commutativa”, Feltrinelli, Milano, 1981
[2] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduction to Commutative Algebra”,
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969.
[3] - C. A. Finocchiaro, “"Lo spettro primo di un anello”, dispense disponibili sul sito del docente.
[4] - J. Goedecke, “"Category Theory”" - https://www.dpmms.cam.ac.uk/~jg352/pdf/CategoryTheoryNotes.pdf
[5] - S. Lang, "Algebra”, revised Third Edition, Graduate Texts in Mathema-tics 211, Springer-Verlag New York, Inc, 2002.
[6] - M. Lanini, "Appunti Corso Algebra 3 a.a. 2017-2018” -
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYXJ0aW5hbGFuaW5pNXxneDozMTgwNjgwZjgwNTNmZGJh
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