| MATHEMATICS
(obiettivi)
In relazione alle quattro aree tematiche del corso (vedi Programma del corso) gli obiettivi di apprendimento finale sono:
Linear Algebra
Conoscere le proprietà di base degli spazi vettoriali astratti e delle trasformazioni lineari. Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi. Essere in grado di determinare autovalori e autovettori di una matrice. Matrici simmetriche. Conoscere la nozione di proiettori e di matrice idempotente. Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Calculus
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) . Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari. Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale. Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
Optimization
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori. Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili. Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili. Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
Probabilità
Saper derivare le proprietà delle principali distribuzioni discrete e (assolutamente) continue. Conoscenza dei teoremi limite fondamentali: legge (debole) dei grandi numeri e teorema centrale del limite. Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
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Codice
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8011190 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
| Modulo: LINEAR ALGEBRA AND PROBABILITY
(obiettivi)
Linear Algebra
Conoscere le proprietà di base degli spazi vettoriali astratti e delle trasformazioni lineari. Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi. Essere in grado di determinare autovalori e autovettori di una matrice. Matrici simmetriche. Conoscere la nozione di proiettori e di matrice idempotente. Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Probabilità
Saper derivare le proprietà delle principali distribuzioni discrete e (assolutamente) continue. Conoscenza dei teoremi limite fondamentali: legge (debole) dei grandi numeri e teorema centrale del limite. Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
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Codice
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M-2338 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
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Crediti
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6
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Settore scientifico disciplinare
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MAT/06
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Ore Aula
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36
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Ore Studio
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-
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Attività formativa
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Attività formative caratterizzanti
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Canale Unico
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Docente
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GIBILISCO PAOLO
(programma)
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Analisi Matematica
Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie.
Ottimizzazione
Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
 C.P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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- |
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
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| Modulo: CALCULUS AND OPTIMIZATION
(obiettivi)
Calculus
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) . Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari. Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale. Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
Optimization
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori. Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili. Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili. Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
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Codice
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M-2337 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
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Crediti
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6
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Settore scientifico disciplinare
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SECS-S/06
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Ore Aula
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36
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Ore Studio
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-
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Attività formativa
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Attività formative caratterizzanti
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Canale Unico
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Docente
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GIBILISCO PAOLO
(programma)
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Analisi Matematica
Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie.
Ottimizzazione
Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
C.P Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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- |
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
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