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Docente
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CIRIZA ELEONORA BEATRIZ
(programma)
NUMERI COMPLESSI: Operazioni di somma e prodotto. Il coniugato. Rappresentazione Geometrica. Forma trigonometrica.
POLINOMI Operazioni tra polinomi. Radici di un polinomio. Teorema fondamentale del’algebra. Radici di un polinomio reale. Radice n-esima di un numero complesso.
VETTORI lo spazio delle n-uple reali e complesse rispettivamente. Addizione di vettori e moltiplicazione per uno scalare.
MATRICI Somma di matrici e moltiplicazione per uno scalare. matrice quadrata, nulla, identita, diagonale, scalare, triangolare superiore, triangolare inferiore, trasposta, simmetrica, antisimmetrica. Prodotto di matrici: riga per collona. Matrici inversa. Operazioni elementari sulle righe. Riduzione. Rango.
DETERMINANTE. Definizione assiomatica. Teorema di Binet. Rango di una matrice. Propriet`a del determinante. Teorema di Laplace. Applicazione del determinante al calcolo dell’inversa di una matrice.
SPAZI VETTORIALI Assiomi di definizione. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari, indipendenza lineare, insieme di generatori, base, dimensione. Componenti di un vettore rispetto a una base. Rango.
Somma e intersezione di sottospazi di uno spazio vettoriale. Somma diretta. Formula di Grassmann.
SISTEMI LINEARI Equazione lineare. Sistema lineare di m equazioni in n incognite. Sistema omogeneo. Soluzione di un sistema di equazioni lineari. Teorema di Rouch ́e-Capelli. Tecniche di calcolo. Sistemi con incognite vettoriale. Calcolo della inversa.
GEOMETRIA ANALITICA Rette e pian nello spazio. Prodotto scalare nel piano e nello spazio. Prodotto vettoriale nello spazio. Orientazione. Proiezione. Area, Volume.
Equazione cartesiana e parametrica di una retta nel piano. Retta per due punti. Rette parallele e ortogonali. Distanza fra due rette, distanza da un punto a una retta. Circonferenza.
Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio. Retta per due punti. Posizione relativa tra rette. Condizioni di parallelismo e ortogonalita’ tra due rette, tra due piani, tra una retta e un piano. Intersezione. Rette sghembe e complanari. Sfera, circonferenza. Distanza: fra due punti, distanza da un punto a una retta, da un punto a un piano, fra due piani, fra due rette.
APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Rango di un’applicazione lineare. Applicazioni iniettive, surgettive e bigettive. Teorema della dimensione.
Matrice rappresentativa di una applicazione lineare.
ENDOMORFISMI Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili. Polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton. Autospazio, molteplicita` algebrica, molteplicita` geometrica di un autovalore. Criterio di diagonalizzazione. Invarianti per coniugio di una matrice.
SPAZI EUCLIDEI Prodotto scalare su uno spazio vettoriale. Ortogonalita`, ortonormalita’. Basi ortogonali (Gram-Schmidt). Suplemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale. Matrice della proiezione ortogonale. Formula di Parseval. Teorema di Pitagora. Applicazoni lineari su spazi metrici. L’applicazione aggiunta. Applicazioni autoaggiunte o simmetriche. Teorema spetrale. Trasformazioni unitarie, trasformazioni ortogonali.
 Nella pagina web della docente si possono trovare il programma del corso, un diario delle lezioni, delle dispense sulla teoria (che non sostituiscono la bibliografia ma guidano la lettura dei testi di riferimento) e una lista di esercizi (che aiutano alla comprensione della teoria e che contiene anche esercizi della tipologia del compito scritto).
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