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Docente
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SORRENTINO ALFONSO
(programma)
Spazi metrici e normati e le loro proprietà topologiche. Completezza, connessione e compattezza e proprietà relative. Teorema delle contrazioni in uno spazio metrico completo. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Teorema di Ascoli-Arzelà.
Serie di funzioni. Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Convergenza totale. Criterio di Cauchy sulla convergenza uniforme di successioni e di serie di funzioni. Serie di potenze, insieme di convergenza e raggio di convergenza. Teorema di Abel. Funzioni analitiche.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali scalari e vettoriali: derivate parziali e direzionali, differenziabilità, condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Gradiente e matrice jacobiana. Differenziale delle funzioni composte. Derivate successive, teorema di Schwarz. Richiami sulle forme quadratiche in R^N. Formula di Taylor per funzioni di più variabili con resto in forma di Peano o di Lagrange. Massimi e minimi liberi per funzioni scalari di più variabili, criteri basati sul segno della matrice Hessiana.
Curve in R^N, lunghezza di una curva, parametrizzazione naturale. Integrali curvilinei di prima specie o rispetto alla lunghezza d’ arco. Cenni sulla curvatura con e senza segno di curve piane e nello spazio. Campi vettoriali, forme differenziali e loro integrali curvilinei di seconda specie. Forme chiuse ed esatte e loro relazioni, insiemi semplicemente connessi, invarianza per omotopia degli integrali curvilinei di forme chiuse.
Introduzione alle superfici in R^N. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici cartesiane e superfici di rotazione.
Teorema di Dini della funzioni implicite in due dimensioni. Teorema delle funzioni implicite nel caso generale. Teorema della funzione inversa, invertibilità locale e globale. Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile in R^N, equivalenza delle diverse definizioni, spazio tangente e normale. Punti di estremo vincolato di una funzione. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.
 N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, “Lezioni di Analisi matematica due”, ed. Zanichelli
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