Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

- I numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: relazione d'rodine e l'assioma di continuità.
- Funzioni: grafico, composizione ed inversione, il grafico della funzione inversa. Funzioni limitate, massimi e minimi. Funzioni monotone, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche. Esempi di funzioni elementari.
- Limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti notevoli.
- Continuita`: teorema della permanenza del segno, dei valori intermedi, continuità della funzione inversa e teorema di Weierstrass.
- Derivabilita`. Definizione, proprieta` algebriche e derivate delle funzioni elementari.
Teorema del valor medio. I teoremi di Rolle, Lagrange e la caratterizzazione della monotonia tramite il segno della derivata. Determinazione di massimi e minimi locali.
- Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Il resto di Lagrange.
- Integrale di Riemann. L'integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti e decomposizione in fratti semplici e integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili all'integrazione di funzioni razionali.
Integrali impropri: il criterio del confronto asintotico; convergenza assoluta.
- Serie numeriche, definizione di base ed esempi. Criteri: confronto e confronto asintotico; radice; rapporto; confronto integrale; Leibniz . Successioni di funzioni: convergenza
uniforme. Le serie di potenze e la serie di Taylor.
- Numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici di un'eqazione polinomiale.
- Equazioni differenziali. Cenni al teorema di esistenza ed unicita` e proprieta` delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili del primo ordine. Equazioni differenziali differenziali lineari: proprietà` generali e soluzioni esplicite delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Applicazione al caso dell’oscillatore armonico: smorzato, forzato e risonante. Cenni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e soluzione di sistemi a coefficienti costanti diagonalizzabili. Il caso degli oscillatori armonici accoppiati.

Un qualunque testo di Analisi Matematica che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio
M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli. Epsilon 1 - Primo corso di analisi matematica, McGraw-Hill 2021.
Un qualunque testo di Esercizi che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio
A. Berretti. 1200 esercizi di analisi matematica 1, Universitalia, 2021.

- I numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: relazione d'rodine e l'assioma di continuità.
- Funzioni: grafico, composizione ed inversione, il grafico della funzione inversa. Funzioni limitate, massimi e minimi. Funzioni monotone, funzioni pari e dispari, funzioni periodiche. Esempi di funzioni elementari.
- Limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti notevoli.
- Continuita`: teorema della permanenza del segno, dei valori intermedi, continuità della funzione inversa e teorema di Weierstrass.
- Derivabilita`. Definizione, proprieta` algebriche e derivate delle funzioni elementari.
Teorema del valor medio. I teoremi di Rolle, Lagrange e la caratterizzazione della monotonia tramite il segno della derivata. Determinazione di massimi e minimi locali.
- Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Applicazione della formula di Taylor al calcolo dei limiti. Il resto di Lagrange.
- Integrale di Riemann. L'integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti e decomposizione in fratti semplici e integrazione delle funzioni razionali. Integrali riducibili all'integrazione di funzioni razionali.
Integrali impropri: il criterio del confronto asintotico; convergenza assoluta.
- Serie numeriche, definizione di base ed esempi. Criteri: confronto e confronto asintotico; radice; rapporto; confronto integrale; Leibniz . Successioni di funzioni: convergenza
uniforme. Le serie di potenze e la serie di Taylor.
- Numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici di un'eqazione polinomiale.
- Equazioni differenziali. Cenni al teorema di esistenza ed unicita` e proprieta` delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili del primo ordine. Equazioni differenziali differenziali lineari: proprietà` generali e soluzioni esplicite delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Applicazione al caso dell’oscillatore armonico: smorzato, forzato e risonante. Cenni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e soluzione di sistemi a coefficienti costanti diagonalizzabili. Il caso degli oscillatori armonici accoppiati.

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M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli. Epsilon 1 - Primo corso di analisi matematica, McGraw-Hill 2021.
Un qualunque testo di Esercizi che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio
A. Berretti. 1200 esercizi di analisi matematica 1, Universitalia, 2021.