| MATHEMATICS
(obiettivi)
Linear Algebra e Probabilità
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscere le proprietà di base degli spazi vettoriali astratti e delle trasformazioni lineari.
Saper derivare le proprietà delle principali distribuzioni discrete e (assolutamente) continue.
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Essere in grado di determinare autovalori e autovettori di una matrice.
Matrici simmetriche.
Conoscere la nozione di proiettori e di matrice idempotente.
Conoscenza dei teoremi limite fondamentali: legge (debole) dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Calculus e Optimization
OBIETTIVI FORMATIVI:
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari.
Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) .
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori.
Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili.
Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale.
Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Traduzione in termini matematici di problemi di ottimizzazione dalla vita reale.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi.
Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Come modellare situazioni economiche e finanziarie utilizzando modelli stocastici.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
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Codice
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8011190 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
| Modulo: LINEAR ALGEBRA AND PROBABILITY
(obiettivi)
LEARNING OUTCOMES:
Basic properties of abstract vector spaces and linear transformations.
How the main discrete and (absolutely) continuous distribution arise from real life problems and their properties.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To be able to determine eigenvalues and eigenvectors of a matrix.
Symmetric matrices.
Notions of projections and idempotent matrices.
Meaning of the basic limit theorems: (weak) law of large numbers and central limit theorem.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To know how to apply basic properties of matrix algebra with special emphasis on block matrices.
To know how to diagonalize a matrix (under suitable conditions).
Geometric meaning of conditional expectation and its applications to multivariate gaussian.
MAKING JUDGEMENTS:
How to model economic and financial situations using stochastic models.
COMMUNICATION SKILLS
To be able to present quantitative aspects of economic and financial models.
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Codice
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M-2338 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
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Crediti
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6
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Settore scientifico disciplinare
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MAT/06
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Ore Aula
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36
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Ore Studio
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-
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Attività formativa
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Attività formative caratterizzanti
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Canale Unico
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Docente
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GIBILISCO PAOLO
(programma)
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Analisi Matematica
Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie. Funzioni quasiconcave. Funzioni implicite. Il teorema della mappa contrattiva.
Ottimizzazione
Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
 C.P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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- |
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
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| Modulo: CALCULUS AND OPTIMIZATION
(obiettivi)
OBIETTIVI FORMATIVI:
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari.
Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) .
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori.
Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili.
Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale.
Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Traduzione in termini matematici di problemi di ottimizzazione dalla vita reale.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi.
Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Come modellare situazioni economiche e finanziarie utilizzando modelli stocastici.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
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Codice
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M-2337 |
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Lingua
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ENG |
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Tipo di attestato
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Attestato di profitto |
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Crediti
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6
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Settore scientifico disciplinare
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SECS-S/06
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Ore Aula
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36
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Ore Studio
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-
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Attività formativa
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Attività formative caratterizzanti
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Canale Unico
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Docente
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GIBILISCO PAOLO
(programma)
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Analisi Matematica
Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie. Funzioni quasiconcave. Funzioni implicite. Il teorema della mappa contrattiva.
Ottimizzazione
Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
C.P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
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Date di inizio e termine delle attività didattiche
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Modalità di erogazione
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Tradizionale
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Modalità di frequenza
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Non obbligatoria
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Metodi di valutazione
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Prova scritta
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