Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Teoria dell'integrazione
Definizione di Primitiva e integrale di una funzione. Integrali di funzioni elementari.
Integrazione per sostituzione, per parti e del rapporto di polinomi.
Costruzione dell'integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale di Riemann, Integrale definito, Teorema Fondamentale del Calcolo (con dimostrazione). Applicazioni del TFC
Calcolo di Aree. Integrale Improprio. Teorema del Valore Medio.
Algebra Lineare
Matrici e Vettori: definizione, operazioni con matrici e vettori, interpretazione geometrica diveettori, combinazioni lineari di vettori. Ogni vettore in R^n è una combinazione lineare di vettori standard (con dimostrazione).
Prodotto Matrice-vettore, prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Il prodotto tra matrici non è commutativo (esempi). Inversa di una matrice.
Unicità dell'inversa di una matrice (con dim.) Inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice (con i cofattori). Proprietà dei determinanti.
Teorma: una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è zero. Proprietà dell'inversa (con dimostrazione). Matrice dei cofattori. CAlcolo dell'inversa di una matrice.
Matrici speciali: diagonali e triangolari.
Definizione di equazione lineare e sistema di equazioni lineari. Espressione matriciale di unsistema di equazioni lineari. Soluzione di un sistema di eq uazioni lineari: consistenza, inconsistenza e numero di soluzioni. Teorema: un sistema omogeneo è sempre consistente (con dim.). Operazioni elementari per righe, forma a scalini.
Dipendenza e indipendenza lineare di verrori. Rango di una matrice. Metodi per il calcolo del rango: algoritmo di eliminazione di Gauss e teorema di Kronecker.
Proposizione: Dato un insieme di vettori v_1, ..., v_n in R^k e un vettore b in R^k che è combinazione lineare di v_1, ..., v_n, la matrice V e la matrice tilde V hanno lo stesso rango(con dim). Teorema di Rouché-Capelli (enunciato e interpretazione). Sistemi parametrici.
Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema lineare; equazione parametrica e cartesiana di una retta per due punti; e per un punto nella direzione v; equazione parametrica del piano per un punto e parallelo a due vettori; equazione point-normal di un piano in R^3. Autovalori e Autovettori di una matrice: definizione e calcolo.
Ottimizzazione di funzioni di due variabili
Funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, gradiente, matrice Hessiana. Punti stazionari, concavità e convessità. Piano tangente e ottimizzazione di funzioni di due variabili.

Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.

Proprietà di base delle funzioni.
Insiemistica. Insiemi: unione, intersezione, differenza, complemento. Costruzione intuitiva degli insiemi dei numeri: naturali, interi, razionali, reali.
Funzioni di valore reale.
Funzioni lineari, quadratiche e polinomiali. Funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Dominio, immagine di una funzione. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Successioni.
Definizione del limite di una successione, unicità del limite di una successione (con dimostrazione), successioni monotone. Esistenza del limite di una successione monotona e limitata. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli. Serie.
Definizione formale ed esempi. Serie geometriche: definizione, condizioni di convergenza (con dimostrazione).
Limite delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione formale. Unicità del limite. Teorema di confronto.
Continuità di funzioni di una variabile reale.
Definizione e principali teoremi.
Caratterizzazione dei punti di discontinuità di una funzione: salti e discontinuità rimovibili e essenziali.
Derivata di una funzione reale di una variabile reale. Condizioni necessarie per derivabilità (con dimostrazione). Derivata della funzione inversa.
Massimi e minimi di una funzione: condizioni necessarie e sufficienti.
Retta tangente e approssimazione di Taylor al primo ordine.
Funzioni convesse e concave. Condizioni del secondo ordine per massimi e minimi.

Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.