Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

PROGRAMMA:
- Numeri reali
- Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
- Potenze, radici e logaritmi.

- Funzioni reali di una variabile
- Dominio, immagine e grafico
- Funzioni monotone e funzioni invertibili
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Successioni
- Limite di una successione: definizione e proprietà
- Successioni monotone
- Successioni infinitesime, infinite e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli
- Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
- Il principio di induzione

Limiti di funzioni reali
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
- Limite di una funzione: definizione e proprietà
- Infinitesimi, infiniti e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli

Continuità
- Funzioni continue
- Punti di discontinuità
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
- Teorema degli zeri
- Continuità della funzione inversa
- Uniforme continuità

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Derivabilità e retta tangente,
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
- Estremi locali e derivate
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
- Monotonia e derivate
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni
- Derivate successive; concavità e convessita
- Studio del grafico di funzioni
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti

Integrali
- Definizione di integrale di Riemann, proprietà
- Classi di funzioni integrabili
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrabilità in senso improprio
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
- Assoluta integrabilità in senso improprio

Equazioni differenziali ordinarie

- Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
e problema di Cauchy
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e
non omogenee
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico

Numeri complessi
- Definizione
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
- Radici n-sime complesse

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
- Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
- Limiti e continuità in Rn
- Derivate parziali e direzionali
- Differenziabilità e piano tangente, gradiente
- Teorema del differenziale totale

Teoria
• C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
• P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori 
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007
• Esercizi
• B. P. Demidovich. Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol. 1 (parte I e II), Liguori
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli 2001 
M. Bramanti. Esercitazioni di Analisi Mat. 1.
• M. Amar, A.M. Bersani. Analisi Matematica 1 Esercizi, La Dotta.

E. Giusti, Esercizi di Analisi Matematica 1, Boringhieri.

Fondamenti

Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni.
I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.

Funzioni di variabile reale e successioni

Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria.
Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.

I numeri complessi

Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre.
Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.

Limiti e funzioni continue

La nozione di limite.
Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau.
Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi.
Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali.
Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa.
Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.

Derivate e studio di funzioni

Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore.
Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari.
Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy.
Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange.
Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche.
Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.

Integrali

Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann.
Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone.
Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi.
Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.

Cenni sulle equazioni differenziali

Equazioni differenziabili a variabili separabili.
Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

PARTE PRIMA

- Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, numeri reali.
- Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore.
- Nozioni generali sulle funzioni di variabile reale. Funzioni elementari.
Introduzione allo studio qualitativo delle funzioni.
- Successioni. Il principio di induzione. Numeri fattoriali e coefficenti binomiali.
- Limiti di successioni: definizione e proprietà. Soluzione di alcune
forme indeterminate.
- Teoremi di permanenza del segno e di confronto.
- Successioni monotone. Il numero di Nepero.
- Sottosuccessioni. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme indeterminate.
- Funzioni continue. Punti di discontinuità.
- Teorema degli zeri.
- Il Teorema di Weierstrass.
- La funzione inversa.
- Derivate: definizioni e proprietà. Interpretazione geometrica, differenziabilità, retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo.
- Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e applicazioni. Studio della monotonia, estremi relativi, punti stazionari.
- Derivate seconde e convessità. Studio del grafico.


PARTE SECONDA

- Il Teorema di L'Hopital. Polinomio di Taylor e sue proprietà. Applicazioni al calcolo dei limiti.
- Inversione dell'operazione di derivazione e calcolo di aree:
l'integrale di Riemann.
- Integrali definiti e indefiniti. Integrabilità delle funzioni monotone.
- Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione integrale.
- Integrazioni per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni
razionali.
- Integrali impropri; criteri di convergenza.


PARTE TERZA

- Numeri complessi. Forma cartesiana, trigonometrica, esponenziale. Operazioni elementari con i numeri complessi.
- Radici n-sime, Teorema fondamentale dell'Algebra.
- Equazioni differenziali del primo ordine omogenee e non omogenee, equazioni di Bernoulli e problema di Cauchy.
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee e problema di Cauchy.
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico.

TEORIA:

-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Ed. (1998)


ESERCIZI:

-Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 1a, Liguori Ed. (1994)
-Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 2a, Liguori Ed. (1995)

o alternativamente,

-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo1, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo2, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo3, Liguori Ed. (2009)
-Marcellini-Sbordone, Esercizi di matematica, Vol. I, Tomo4, Liguori Ed. (2009)