Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

- Cenni di teoria degli insiemi. Numeri reali e loro proprietà.
- Estremo superiore e inferiore e loro proprietà.
- Nozioni di base: dominio, immagine, grafico.
- Funzioni monotone e funzioni invertibili.
- Richiami sulle funzioni elementari.
- Limiti di successioni: definizione e proprietà.
- Il principio di induzione.
- Successioni monotone.
- Successioni infinitesime, infinite e confronti.
- Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e.
- Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.


- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale.
- Limite di una funzione: definizione e proprietà.
- Infinitesimi, infiniti e confronti.
- Forme indeterminate, limiti notevoli.
- Funzioni continue. Punti di discontinuità.
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
- Teorema degli zeri.
- Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità.

- Derivabilità e retta tangente.
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
- Estremi locali e derivate.
- Teorema di Fermat, Rolle, Lagrange e di Cauchy.
- Monotonia e derivate.
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni.
- Derivate successive; concavità e convessità.
- Studio del grafico di funzioni.
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti.

- Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà.
- Classi di funzioni integrabili.
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
- Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione.
- Integrazione delle funzioni razionali.
- Integrabilità in senso improprio.
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze.
- Assoluta integrabilità in senso improprio.

- Equazioni differenziali lineari del primo ordine a variabili separabili e problema di Cauchy.
- Equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee e non omogenee e problema di Cauchy.
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.
- Applicazione all' equazione dell' oscillatore armonico.

- Definizione.
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari.
- Radici n-sime complesse.

Note delle lezioni e appunti reperibili all'indirizzo
http://www.mat.uniroma2.it/~bartoluc/APPAMI/ING18-19/AppAMI-1819.html

PROGRAMMA:
- Numeri reali
- Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
- Potenze, radici e logaritmi.

- Funzioni reali di una variabile
- Dominio, immagine e grafico
- Funzioni monotone e funzioni invertibili
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche

Successioni
- Limite di una successione: definizione e proprietà
- Successioni monotone
- Successioni infinitesime, infinite e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli
- Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
- Il principio di induzione

Limiti di funzioni reali
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
- Limite di una funzione: definizione e proprietà
- Infinitesimi, infiniti e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli

Continuità
- Funzioni continue
- Punti di discontinuità
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
- Teorema degli zeri
- Continuità della funzione inversa
- Uniforme continuità

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Derivabilità e retta tangente,
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
- Estremi locali e derivate
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
- Monotonia e derivate
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni
- Derivate successive; concavità e convessita
- Studio del grafico di funzioni
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti

Integrali
- Definizione di integrale di Riemann, proprietà
- Classi di funzioni integrabili
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrabilità in senso improprio
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
- Assoluta integrabilità in senso improprio

Equazioni differenziali ordinarie

- Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
e problema di Cauchy
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e
non omogenee
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico

Numeri complessi
- Definizione
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
- Radici n-sime complesse

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
- Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
- Limiti e continuità in Rn
- Derivate parziali e direzionali
- Differenziabilità e piano tangente, gradiente
- Teorema del differenziale totale

Teoria
• C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
• P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli. Analisi Matematica, McGraw-Hill 2007
• Esercizi
• B. P. Demidovich. Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
• P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica, vol. 1 (parte I e II), Liguori
• S. Salsa, A. Squellati. Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli 2001
M. Bramanti. Esercitazioni di Analisi Mat. 1.
• M. Amar, A.M. Bersani. Analisi Matematica 1 Esercizi, La Dotta.

Insiemi numerici: naturali, interi, reali, complessi e loro proprietà.
Funzioni elementari di variabile reale e loro grafici.
Successioni e loro limiti.
Limiti di funzioni e continuità.
Calcolo differenziale e proprietà delle funzioni derivabili.
Approssimazione locale, polinomio di Taylor e sue applicazioni.
Studio del grafico di funzioni.
Integrale di Riemann e teorema fondamentale del calcolo. Integrali impropri.
Equazioni differenziali lineari del primo e seco

- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
- A. Languasco, Analisi Matematica 1, Hoepli
- M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill
- B. P. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
Ulteriori esercizi con le soluzioni svolte verrano forniti durante il corso per aiutare gli
studenti nella preparazione della prova scritta.

Fondamenti

Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni.
I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.

Funzioni di variabile reale e successioni

Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria.
Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.

I numeri complessi

Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre.
Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.

Limiti e funzioni continue

La nozione di limite.
Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau.
Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi.
Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali.
Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa.
Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.

Derivate e studio di funzioni

Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore.
Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari.
Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy.
Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange.
Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche.
Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.

Integrali

Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann.
Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone.
Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi.
Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.

Cenni sulle equazioni differenziali

Equazioni differenziabili a variabili separabili.
Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Alberto Berretti - “Analisi Matematica 1”, UniversItalia, ISBN 978-88-3293-165-5.

Insiemi numerici. Numeri reali e loro proprietà. Assioma di completezza. Estremo superiore e inferiore. Numeri complessi e loro proprietà. Forma cartesiana e trigonometrica. Radici n-esime.

Funzioni: nozioni di base, dominio, immagine, funzione inversa. Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse.

Successioni, limiti di successioni. Calcolo di limiti, forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero e. Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Il teorema di completezza di Cauchy.

Limiti e continuità per funzioni di una variabile. Teoremi sulle funzioni continue.

Derivata: definizione, interpretazione geometrica. Calcolo delle derivate, derivate delle funzioni elementari. Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi e minimi e della convessità delle funzioni. Studio del grafico di funzioni. Teorema di De L’Hopital, formula di Taylor. Applicazioni al calcolo di limiti.

Integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali. Formula di integrazione per sostituzione e per parti. Integrali impropri.

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

TEORIA:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Ed. (1998)
M. Bertsch - R. Dal Passo - L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill (2011)

ESERCIZI:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 1a, Liguori Ed. (1994)
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. I, parte 2a, Liguori Ed. (1995)

Numeri reali, numeri complessi, e funzioni elementari (potenze, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche) (2 settimane).
Successioni numeriche (2 settimane).
Limiti e continuita' per funzioni reali di variabile reale (3 settimane).
Il concetto di derivata e applicazioni; sviluppi di Taylor (3 settimane).
L'integrale definito; il teorema fondamentale del calcolo; integrali impropri (3 settimane).
Equazioni differenziali: formule di risoluzione in casi semplici (2 settimane).

Un qualunque testo di teoria che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio:
1) C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992 (1ed), Zanichelli 2015 (2ed),
o 2) o 3) o 4) nella bibliografia di riferimento.
Un qualunque testo di esercizi che tratti gli argomenti del corso. Ad esempio:
5) Esercizi proposti (con soluzione) sulla pagina web del corso,
o 6) o 7) o 8) nella bibliografia di riferimento.