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Docente
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KOWALZIG NIELS
(programma)
1. Cenni di algebra astratta
1.1 Operazioni di un insieme (interne e esterne). Applicazioni iniettive, suriettive, biiet-
tive. Iniettivita` a e suriettivita` di applicazioni composte. Compatibilita` con intersezione
ed unione di insiemi 1.2 Proprieta` associativa e commutativa, elemento neutro, elementi
invertibili. 1.3 Unicita` dell'elemento neutro e dell'inverso di un elemento. 1.4 Strutture
algebriche: anelli, campi, gruppi, semigruppi, monoidi. Sottogruppi di matrici. Estensio-
ne di Q mediante \sqrt{n}, i numeri complessi C come estensione di R. 1.5 Cenni sui polinomi e sulle equazioni algebriche: teorema delle radici razionali, regola di Ruffini, teorema fondamentale dell'algebra. 1.6 Esempi: anelli e campi numerici, operazioni insiemistiche, operazioni fra matrici. Permutazioni.
2. Spazi vettoriali
2.1 Definizione e proprieta` elementari. Spazio delle n-uple e delle matrici reali. Spazio
dei polinomi reali. 2.2 Vettori geometrici liberi e applicati. 2.3 Legge di semplificazione
della somma, legge di annullamento del prodotto. 2.4 Sottospazi vettoriali: intersezione,
somma e somma diretta. 2.5 Combinazioni lineari e insiemi generatori, spazi finitamente
generati. 2.6 Dipendenza e indipendenza lineare, insiemi liberi e legati, lemma di Steinitz.
2.7 Basi e componenti. Basi canoniche di R^n e R^{m,n}. 2.8 Equipotenza delle basi e dimensione. Formula di Grassmann. 2.9 Metodo degli scarti successivi e del completamento ad una base. Determinare una base per riduzione.
3. Spazi metrici
3.1 Prodotto scalare e norma di un vettore. 3.2 Il prodotto scalare canonico di Rn.
3.3 Lunghezze, angoli e proiezioni in Rn. 3.4 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; disuguaglianza triangolare; teorema di Pitagora. 3.5 Insiemi ortogonali e ortonormali: definizione e proprieta`. 3.6 Basi ortonormali e metodo di Gram-Schmidt. 3.7 Complemento ortogonale di un sottospazio. 3.8 Teorema della dimensione fra sottospazio e suo complemento ortogonale. Lo spazio generato dalle righe di un sistema omogeneo come complemento ortogonale dello spazio delle soluzioni.
4. Matrici
4.1 Matrici diagonali, triangolari, ridotte, fortemente ridotte, simmetriche. 4.2 Determinante
di matrici. 4.3 Sviluppo di Laplace del determinante di una matrice quadrata. 4.4 Calcolo
del determinante con il metodo di Gauss. 4.5 Prodotto righe per colonne e sue proprieta`.
4.6 Matrice trasposta, matrice dei cofattori, matrice inversa. 4.7 Calcolo dell'inversa con
il metodo di Gauss-Jordan. Matrice dei cofattori, teorema di Laplace sull'inversa di una
matrice. 4.8 Rango di una matrice e indipendenza lineare. 4.9 Teorema degli orlati.
5. Sistemi di equazioni lineari
5.1 Generalita`. Sistemi equivalenti ed operazioni elementari su un sistema. 5.2 Esame dei
casi piu` semplici. 5.3 Sistemi ridotti e a scala, soluzione per sostituzione. 5.4 Risoluzione
di un sistema lineare generale per riduzione e con il metodo di Gauss-Jordan. 5.5 Teorema
di Rouche'-Capelli. 5.6 Teorema di Cramer.
6. Applicazioni lineari
6.1 Applicazioni lineari; matrici rappresentative. 6.2 Nucleo, immagine e teorema della
dimensione. 6.3 Endomorfismi: autovalori, autovettori, autospazi. 6.4 Ricerca degli auto-
valori: polinomio caratteristico, molteplicita` algebrica e geometrica. 6.5 Il gruppo lineare,
il gruppo ortogonale, il gruppo ortogonale speciale. 6.6 Matrici simili e loro polinomio
caratteristico. Traccia di una matrice. 6.7 Matrice del cambiamento di base. Vettori e
matrici rappresentative di endomorfismi espressi in basi diverse. 6.8 Endomorfismi semplici. Matrici diagonali, diagonalizzabili, diagonalizzanti. 6.9 Diagonalizzabilita` di una
matrice in campo reale: criteri. Matrici simmetriche e diagonalizzabilita` ortogonale.
7. Elementi di geometria analitica
7.1 Geometria di R^2: Rette nel piano, equazioni parametriche e cartesiane, intersezione di
due rette. Determinante ed area di un triangolo. Distanza fra due punti e distanza punto-
retta. Circonferenze, equazioni della retta tangente. 7.2 Geometria di R^3: Rette e piani
nello spazio tridimensionale; relazioni di incidenza. Prodotto vettoriale, prodotto misto
e loro proprieta`. Volume di un parallelepipedo. Distanze fra due punti, fra punto-piano,
fra piano-piano e fra due rette sghembe.
8. Sezioni coniche
8.1 Ellisse, parabola e iperbole. Equazioni canoniche e cambi di coordinate. 8.2 Basi
ortonormali e rotazioni. Matrici ortogonali. Roto-traslazioni. 8.3 Definizione algebrica
di una conica e matrici associate. Riduzione in forma canonica. 8.4 Invarianti di una
conica. Classificazione delle coniche. 8.5 Centro risp. vertice ed assi di simmetria di una
conica.
 Slides ed appunti del corso.
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