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Docente
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PRESTINI ELENA
(programma)
Spazi di Hilbert.Spazi vettoriali dotati di prodotto interno: R_n, C_n, l_2, L_2 [0,1]. Disuguaglianza di Cauchy in R_n, C_n, l_2. Convessita` della funzione esponenziale e disuguaglianza di Holder. Disuguaglianza di Cauchy in L_2.Convergenza in norma e convergenza per coordinate in R_n, C_n, l_2 .Convergenza in norma e convergenza puntuale in L_2 [0,1]. Spazi metrici. Completezza. Separabilita`. Spazi di Hilbert. Continuita` del prodotto interno. Sottospazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni. Rappresentazione dei funzionali lineari continui. Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Teorema di rappresentazione di Riesz. Formula di Parseval. Trasformazioni lineari tra spazi di Hilbert.Funzioni di variabile complessa: serie di potenze e funzioni olomorfe.Serie di funzioni. Convergenza semplice e uniforme. Serie di potenze. Cerchio di convergenza. Funzioni olomorfe. Esempi: esponenziale, seno e coseno. Proprieta` elementari. Integrazione lungo cammini. Teorema dell’indice. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali di funzioni di variabile reale. Riflessione totale, fibre ottiche.Serie di potenze nel campo reale. Derivabilita` e integrabilita` termine a termine. Sviluppabilita` in serie di Taylor di funzioni reali di variabile reale. Serie di Fourier. Serie di Fourier sull’intervallo [0,1]. Teorema del Dirichlet. Serie di Fourier dell’onda quadra. Fenomeno di Gibbs. Onde sonore. Spettro elettromagnetico. Serie di Fourier sull’intervallo [0,T]. Trasformata di Fourier. Formula di inversione. Trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare. Principio di indeterminazione. Frange di interferenza. Impulso unitario, delta di Dirac e trasformata di Fourier. Teorema di campionamento.Trasformata di Fourier discreta (DFT). Trasformata rapida di Fourier (FFT). Diffrazione all’infinito e il modello matematico di base della cristallografia.
 Rudin W., Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill, New York
Prestini E., Applicazioni dell’analisi armonica, 1996 Hoepli, Milano
Prestini E., The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World, 2004, Birkhauser, Boston
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