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Docente
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SALVATORE PAOLO
(programma)
Sistemi lineari (omogenei e non). Soluzioni. Compatibilità. Matrice dei coefficienti e matrice completa.
Risoluzione dei sistemi lineari con l'eliminazione di Gauss. Operazioni elementari sulle matrici. Matrici a scala.
Spazi vettoriali reali. Esempi: spazi vettoriali numerici, soluzioni di un sistema lineare omogeneo, spazi di matrici, spazi di polinomi e di funzioni.
Lo spazio vettoriale dei vettori applicati nell'origine nel piano e nello spazio.
Indipendenza lineare di vettori. Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. Basi di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto ad una base fissata.
Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Eliminazione di Gauss all'indietro. Estrazione di un insieme di vettori numerici linearmente indipendenti.
Sottospazi vettoriali. Rango di una matrice. Rango per righe e rango per colonne.
Teorema di Rouche-Capelli. Basi di un sottospazio vettoriale. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali.
Formula di Grassmann. Basi della somma e dell'intersezione di sottospazi vettoriali. Somma diretta. rodotto di matrici. Le matrici invertibili sono le matrici di rango massimo.
Matrice inversa del prodotto. Matrici trasposte. Matrice del cambiamento di base.
Determinanti. Permutazioni e loro segno. Proprieta' e calcolo del determinante. Sviluppo di Laplace. Formula della matrice inversa. Formula di Cramer. Teorema dell'orlato.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Isomorfismi e composizioni.
Matrice associata ad un'applicazione lineare. Teorema della dimensione.
Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane delle rette nel piano.
Equazioni parametriche e cartesiani di rette e piani nello spazio. Parallelismo di rette e piani.
Posizioni relative di due rette nello spazio. Prodotto scalare di vettori numerici. Angoli e ortogonalita' tra rette e vettori. Distanza di due punti.
Piani e rette ortogonali tra loro. Distanza tra punto e retta o piano. Prodotto vettore.
Autovalori e autovettori. Autospazi.
Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica. Diagonalizzazione.
Spazi vettoriali metrici. Complemento ortogonale.
Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale.
Matrice della proiezione ortogonale. Teorema di Pitagora. Applicazione aggiunta.
Teorema spettrale: diagonalizzazione degli operatori autoaggiunti. Decomposizione spettrale. Matrici ortogonali.
 Lay, Linear algebra and its applications; Apostol, Calculus vol. 1,2
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