Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Numeri naturali, interi e razionali, numeri reali: proprietà e costruzione a partire dai numeri naturali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri complessi. Concetto di funzione. Funzioni monotone. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Logaritmo. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Definizione di successione. Successioni monotone. Limiti di funzioni di successioni. Massimo e minimo limite. Insiemi compatti. Numero “e”. Infiniti e infinitesimi: simboli o e O e loro proprietà. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Serie numeriche e loro convergenza. Criterio di Cauchy. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del rapporto, della radice e delle somme diadiche. Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Riordinamento e teorema di Riemann. Serie di potenze.
Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Proprietà delle funzioni continue ed invertibili sugli intervalli e sui compatti. Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione e teorema di Weierstrass sui massimi e minimi delle funzioni continue sui compatti. Derivata di una funzione. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, Hospital. Studio del grafico di funzioni reali di variabile reale; funzioni convesse;
Formula di Taylor e sue applicazioni. Serie di potenze; serie di Taylor.

Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, “Analisi Matematica”, McGraw Hill Italia

Sistemi lineari e matrici. Metodi risolutivi e algoritmo di Gauss-Jordan. Matrici ed operazioni tra matrici. Rango di una matrice. Determinanti. Regola di Sarrus e Teorema di Laplace Spazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Operatori lineari. Diagonalizzabilità di operatori lineari: polinomio caratteristico. Teorema di Hamilton-Cayley. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica. Cenni sulla triangolarizzazione e forma canonica di Jordan. Spazi cartesiani. Elementi di geometria affine nel piano cartesiano R2 e nello spazio cartesiano R3: punti, rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, interpretazione geometrica dei relativi coefficienti, formule di geometria affine. Elementi di geometria Euclidea: prodotto scalare canonico sullo spazio vettoriale Rn delle n-ple reali, ortogonalità, angoli, norma, distanza. Proiezioni ortogonali. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Interpretazione geometrica del modulo del determinante: volumi. Diagonalizzazione di operatori autoaggiunti (o matrici simmetriche). Geometria Euclidea nel piano cartesiano R2 e nello spazio cartesiano R3: formule di geometria euclidea Alcune isometrie ed affinità notevoli nel piano cartesiano R2 e nello spazio cartesiano R3: traslazioni, rotazioni, riflessioni, dilatazioni.

1. G. Marini, Note del corso di geometria a.a. 2013/14, a cura del Prof. G. Marini, reperibili al sito http://www.mat.uniroma2.it/~marini/STM_home_geometria.html
2. F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore, 2007.
3. M. Abate. - Geometria, McGraw-Hill, 1996.
PARTE ESERCIZI
1. Materiale on-line su pagina web docente http://www.mat.uniroma2.it/~flamini/
2. Esercizi svolti del testo “F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore, 2008” , reperibili gratuitamente al sito http://www.carocci.it
3. G.Anichini, G.Conti, R.Paoletti “Algebra Lineare e Geometria Analitica. Eserciziario"; Pearson Italia, 2013.
ALTRI TESTI CONSIGLIATI
- Tom M. Apostol - Calcolo. Vol 2 - Geometria, Ed. Boringhieri.
- Serge Lang - Algebre Lineare, Ed. Boringhieri.
- Web page of Prof. Gavarini http://www.mat.uniroma2.it/~gavarini/
- Web page of Prof.ssa Geatti http://www.mat.uniroma2.it/~geatti/
- Web page of Prof. Letizia http://www.mat.uniroma2.it/~letizia/
- Web page of Prof. Marini http://www.mat.uniroma2.it/~marini/

Introduzione ai computer e alla programmazione. Introduzione alle applicazioni Java. Nozione di programmazione ad oggetti: classi e oggetti. Il linguaggio Java. Tipi di dati, variabili, operatori, stringhe. Controllo del flusso: istruzioni di selezione e istruzioni di iterazione. Metodi. Array. Classi e oggetti. Variabili di classe e di istanza. Packages. Ereditarietà. Polimorfismo.

W. Savitch. Programmazione con Java - Pearson Education

Affinità, similitudini e movimenti: traslazioni, omotetie, scalings, simmetrie, ribaltamenti,
riflessioni, rotazioni, glissoriflessioni. Geometria proiettiva e descrittiva: Piano e spazio proiettivi. Coordinate
omogenee. Equazioni omogenee di rette e piani. Cambiamenti di coordinate omogenee. Proiettività.
Proiezioni. Teorema di Desargues. Proiezione centrale: punti, rette e piani. Proiezioni ortogonali di
Monge. Rappresentazioni di oggetti in assonometria: punti, rette e piani. Assonometria obliqua e ortogonale.
Per tutti i tipi di proiezione, condizioni di parallelismo di rette e di piani, condizione di appartenenza di una
retta a un piano, condizione di complanarità di rette non parallele, appartenenza di un punto ad una retta.

1. G. Marini, Note del corso di geometria a.a. 2013/14, a cura del Prof. G. Marini, reperibili al sito http://www.mat.uniroma2.it/~marini/STM_home_geometria.html
2. F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore, 2007.
3. M. Abate. - Geometria, McGraw-Hill, 1996.
EXERCISES
1. Materiale on-line su pagina web docente http://www.mat.uniroma2.it/~flamini/
2. Esercizi svolti del testo “F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore, 2008” , reperibili gratuitamente al sito http://www.carocci.it
3. G.Anichini, G.Conti, R.Paoletti “Algebra Lineare e Geometria Analitica. Eserciziario";Pearson Italia, 2013.
FURTHER READINGS
- Tom M. Apostol - Calcolo. Vol 2 - Geometria, Ed. Boringhieri.
- Serge Lang - Algebre Lineare, Ed. Boringhieri.
- Web page of Prof. Gavarini http://www.mat.uniroma2.it/~gavarini/
- Web page of Prof.ssa Geatti http://www.mat.uniroma2.it/~geatti/

Richiami di analisi statistica degli errori; rappresentazione dello spazio-tempo; descrizione del movimento di punti materiali, casi notevoli; individuazione e descrizione delle cause del movimento, campi e collegamenti con le proprietà della materia, potenziali; lavoro ed energia; caratteristiche dello spazio-tempo, simmetrie e leggi di conservazione; oltre la schematizzazione del punto materiale: sistemi complessi, viscosità e attriti, fluidi, sistemi gassosi; estensione delle leggi di conservazione dell’energia; complessità e freccia del tempo, descrizione dei sistemi complessi per grandezze medie.

David Halliday , Robert Resnick, Jearl Walker “Fondamenti di Fisica: Meccanica, Termologia”

Funzioni primitive; integrali indefiniti, finiti e impropri; teorema fondamentale del calcolo; integrali per sostituzione e per parti; calcolo di aree; criteri di integrabilità; criterio di confronto fra serie ed integrali impropri.
Serie di funzioni; convergenza puntuale, uniforme e convergenza totale delle serie di funzioni.
Funzioni reali di più variabili: definizioni fondamentali di topologia in R^2; limiti e continuità in più
variabili; derivate parziali e differenziale; derivazione delle funzioni composte (regola della catena); derivate successive;massimi e minimi liberi; studio della natura dei punti critici. Funzioni di più variabili a valori vettoriali: trasformazioni di coordinate; coordinate polari nel piano e coordinate sferiche nello spazio. Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrazione multipla in R2 e R3; calcolo di integrali doppi o tripli mediante formule di riduzione; integrazione in coordinate polari e in coordinate sferiche. Curve e loro parametrizzazione: arco di curva continua e regolare; lunghezza di un arco di curva, parametro arco.
Tempo permettendo: integrali curvilinei; lavoro di un campo di forze; parametrizzazione di superficie regolari; integrali di superficie.
Visualizzazione di argomenti tipici del Calcolo tramite Matlab.

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (seconda edizione), McGraw-Hill.

Cariche elettriche e proprietà, isolanti e conduttori; legge di Coulomb. Campo elettrico statico, sovrapposizione e conservatività; campi elettrici di distribuzioni di cariche: casi notevoli; moto di particelle cariche in un campo elettrico uniforme. Potenziale elettrico ed energia potenziale; potenziale dovuto a distribuzioni di cariche: casi notevoli. Legge di Gauss. Capacità elettrica; calcolo della capacità elettrica: casi notevoli. Energia immagazzinata in un condensatore carico; densità di energia del campo elettrico. Condensatori e dielettrici; l’aspetto atomico. Differenza di potenziale e corrente elettrica, densità di corrente; resistenza, legge di Ohm e interpretazione microscopica; lavoro elettrico; forza elettromotrice. Leggi di Kirchhoff; circuiti dissipativi (RC). Campi magnetici; forza di Lorentz; moto di una carica in campo magnetico uniforme; forza magnetica su un conduttore percorso da corrente; momento torcente su una spira percorsa da corrente in un campo magnetico uniforme. Legge di Biot-Savart e casi notevoli. Forza magnetica tra correnti stazionarie. Legge di Ampere. Legge di Gauss per i campi magnetici. Le equazioni di Maxwell nel caso stazionario. Caso non stazionario: flusso magnetico e induzione; legge di Lenz; fem indotta e campi elettrici indotti. Corrente di spostamento. Le equazioni di Maxwell nel caso non stazionario. Autoinduttanza; circuiti RL; energia associata al campo magnetico; mutua induttanza. Oscillazioni nei circuiti LC. Oscillazioni smorzate nei circuiti RLC; analogia tra sistemi elettrici e meccanici.
Moto ondulatorio; onde elastiche, caratteristiche principali ed esempi. Energia associata alla perturbazione e intensità dell’onda. Legge generale di propagazione, equazione d’onda; onde sinusoidali; sovrapposizione e interferenza; riflessione e trasmissione; onde sinusoidali, velocità di propagazione, esempi; battimenti; onde stazionarie. Onde di forma qualunque: teorema di Fourier e analisi armonica (cenni). Onde elettromagnetiche; le equazioni di Maxwell e gli esperimenti di Hertz; equazione d’onda; onde em piane; energia trasportata da un’onda em, intensità; spettro em. Polarizzazione. Ottica geometrica e sua validità; riflessione e rifrazione; il principio di Huygens. Immagini formate da specchi (piani, sferici); immagini formate per rifrazione; lenti sottili; sistemi ottici: esempi. Interferenza; condizioni per l’interferenza; l’esperimento di Young. Cambiamenti di fase dovuti a riflessione; interferenza su pellicole sottili. Diffrazione; diffrazione da singola e doppia fenditura; diffrazione attraverso un foro circolare: risoluzione. Reticoli di diffrazione.

Note del docente

Spazi lineari normati. Norma L2 e ortogonalità. Successioni di Cauchy e completezza. Norma uniforme.
Convergenza uniforme e convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni. Integrale di Lebesgue e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali multipli e Teorema di Fubini. Norme Lp. Densita’ delle funzioni continue in Lp. Densita’ delle funzioni C1 a tratti negli spazi Lp. Inclusioni fra spazi Lp. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi, identita’ di Parseval e sviluppi ortonormali. Proiezioni ortogonali e migliore approssimazione nella norma hilbertiana.

Appunti forniti dal docente