Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Numeri reali, approccio assiomatico. Numeri naturali e principio di induzione. Numeri interi relativi e numeri razionali. Numerabilità di Z e Q e non numerabilità di R. Numeri complessi e loro operazioni. Topologia della retta reale. Estremo superiore e inferiore. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni: limiti di successioni, principali teoremi sui limiti, il numero e. Funzioni di una variabile: funzioni elementari, limiti di funzioni e studio di alcuni limiti notevoli, limite superiore e limite inferiore. Proprietà fondamentali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi. Calcolo differenziale: definizione di derivata e prime proprietà. Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Teoremi di de l’Hopital. Funzioni convesse e loro principali proprietà.

Enrico Giusti, ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri.

INSIEMI. Insiemi e operazioni tra insiemi. Relazioni. Funzioni. I numeri naturali e il principio di induzione. Cardinalità di insiemi. Calcolo combinatorio.
NUMERI. Numeri interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione in Z. Numeri razionali. Numeri di Fibonacci. Congruenze. Risoluzione di congruenze lineari e il teorema cinese del resto. Funzione di Eulero. Teorema di Eulero. Numeri primi. Numerazioni in basi diverse. Numeri complessi.
POLINOMI. Funzioni polinomiali e polinomi. Divisione tra polinomi. MCD e fattorizzazione. Questioni di irriducibilità. Polinomi ciclotomici. La formula di Cardano. Polinomi simmetrici.
ANELLI. Definizioni ed esempi. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anelli quoziente. Teorema di omomorfismo tra anelli.
GRUPPI. Definizione ed esempi. Sottogruppi. Il gruppo simmetrico. Relazione di coniugio. Gruppi diedrali. Classi laterali modulo un sottogruppo e teorema di Lagrange. Isomorfismo tra gruppi e Teorema di Cayley. Omomorfismi. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Teorema fondamentale di omomorfismo tra gruppi.

“ Algebra: un approccio algoritmico” G.M. Piacentini Cattaneo, Zanichelli

Esercitazioni di Algebra 1

Algebra: un approccio algoritmico” G.M. Piacentini Cattaneo, Zanichelli

1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema
di Steinitz. Basi. Dimensione. Somme di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli
automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'.
Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi omogenei. Sistemi equivalenti.
Sistemi ridotti e normali. Risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione di Gauss. Matrici ed applicazioni lineari.
Applicazioni lineari definite da matrici. Prodotto tra matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata non degenere. Matrici ortogonali. Formule di cambiamento di basi in uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinanti e loro applicazioni allo studio
dei sistemi lineari.
Sviluppo di un determinante con la regola di Laplace. Teorema di Binet. Metodo
di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. Teorema degli orlati.
Caratterizzazione del rango di una matrice mediante i determinanti: minori fondamentali. Teorema di Cramer. Calcolo della inversa di una matrice quadrata non degenere su un campo.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati.
Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Sistemi lineari di equazioni di sottospazi.
Equazioni parametriche dei sottospazi. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi. Sottospazi paralleli, sghembi e incidenti. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle.
Affinità. Cambiamenti di coordinate. Orientazioni di uno spazio affine reale. Spazi euclidei. Prodotti scalari euclidei. L'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Il gruppo delle isometrie. Ortogonalità. Sistemi di coordinate cartesiane ortonormali. Angoli e loro funzioni trigonometriche. Distanze tra sottospazi. Prodotti vettoriali. Calcolo di aree e volumi.
3. Elementi di storia

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri.
Appunti disponibili sul sito del docente.
Altri testi consigliati: E. Sernesi, Geometria 1, Ed. Bollati-Boringhieri.
Serge Lang, Algebra lineare, Ed. Bollati-Boringhieri.

richiami sul gruppo fondamentale, sul Teorema di Seifert-Van Kampen e sui
rivestimenti. Omologia simpliciale e omologia singolare.
Successione di Mayer-Vietoris. Omologia dei CW complessi. Caratteristica
di Eulero Poincare'. Esempi ed applicazioni (spazio proiettivo
reale e complesso, varieta' notevoli). Teorema dei coefficientii
universali. Coomologia. Prodotto Cup. Dualita' di Poincare'

Hatcher A., Algebraic Topology
Massey W.S., A basic course in Algebraic topology

Polinomio di Taylor e applicazioni. Formula di Taylor e stime del
resto. Uniforme continuità. Integrazione secondo Riemann. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali
impropri. Serie numeriche e criteri di convergenza. Equazioni
differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a
coefficienti costanti. Equazioni differenziali a variabili separabili.
Introduzione agli spazi metrici e agli spazi normati. Convergenza puntuale
e uniforme per successioni di funzioni. Compattezza in R^n. Teorema delle
contrazioni in spazi metrici completi.

Enrico Giusti, ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri

GEOMETRIA AFFINE E PROIETTIVA
Luoghi geometrici. Spazio complesso. Spazi proiettivi.
Sottospazi. Regola di Grassmann. Proiettività. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee.
Teorema fondamentale delle proiettività e dei riferimenti. La nozione di birapporto. Spazio
proiettivo duale. Teoremi di Pappo e Desargues. Relazioni tra geometria affine e geometria
proiettiva. Complessificazione di uno spazio proiettivo reale

- C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri (1994).
- E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri (2000).
- Y. Katznelson e Y. R. Katznelson, A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society (2008).
- S. Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri (2014).
- Teachers’ notes.

Il Corso è la prosecuzione del Corso GEOMETRIA 1 CON ELEMENTI DI STORIA 1, e con esso costituisce un’introduzione all’Algebra Lineare e alla Geometria Analitica.

ALGEBRA LINEARE.
Richiami su spazi euclidei. Autovalori e autovettori. Polinomi di matrici e applicazioni lineari. Polinomio caratteristico. Diagonalizzabilità. Sottospazi invarianti. Polinomio minimo. Teorema di Cayley-Hamilton. Dualità e l’operatore aggiunto. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti. Forme quadratiche e Teorema di Sylvester. Operatori ortogonali ed unitari. Operatori definiti positivi. Decomposizione polare. Decomposizioni in sottospazi invarianti. Forma canonica di Jordan e applicazioni.
GEOMETRIA AFFINE E PROIETTIVA (questa parte sarà svolta dal Codocente).
Luoghi geometrici. Spazio complesso. Spazi proiettivi.
Sottospazi. Regola di Grassmann. Proiettività. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee.
Teorema fondamentale delle proiettività e dei riferimenti. La nozione di birapporto. Spazio
proiettivo duale. Teoremi di Pappo e Desargues. Relazioni tra geometria affine e geometria
proiettiva. Complessificazione di uno spazio proiettivo reale.

CONICHE.
Classificazione euclidea, coniche a centro, eccentricità’ ed equazione polare. Classificazione affine e classificazione proiettiva.

ELEMENTI DI STORIA.
Argomenti scelti sulla sviluppo storico degli argomenti trattati nel corso.

- C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri (1994).
- E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri (2000).
- Y. Katznelson e Y. R. Katznelson, A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society (2008).
- S. Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri (2014).
- Appunti a cura dei Docenti.

Introduzione ai computer e alla programmazione. Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Analisi degli algoritmi e implementazione in C di selectionsort, bubblesort, insertionsort e mergesort. Stringhe e algoritmi su analisi del testo. Le strutture. I puntatori e le strutture auto-referenzianti.
Strutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprietà. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondità di grafi non diretti.

Automi a stati finiti deterministici e non deterministici. Teorema di equivalenza tra i due modelli. Espressioni regolari. Teorema di equivalenza tra espressioni regolari e automi a stati finiti. Proprietà di chiusura dei linguaggi regolari. Minimizzazione di automi. Cenni su automi a pila. Macchine di Turing e calcolabilità. Tesi di Turing-Church.

H.Deitel,P.Deitel
Il linguaggio C-Fondamenti e Tecniche di Programmazione
Pearson Education.

J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman. Automi, linguaggi e calcolabilità.
Pearson Education.

Introduzione ai computer e alla programmazione. Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Analisi degli algoritmi e implementazione in C di selectionsort, bubblesort, insertionsort e mergesort. Stringhe e algoritmi su analisi del testo. Le strutture. I puntatori e le strutture auto-referenzianti.
Strutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprietà. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondità di grafi non diretti.

Automi a stati finiti deterministici e non deterministici. Teorema di equivalenza tra i due modelli. Espressioni regolari. Teorema di equivalenza tra espressioni regolari e automi a stati finiti. Proprietà di chiusura dei linguaggi regolari. Minimizzazione di automi. Cenni su automi a pila. Macchine di Turing e calcolabilità. Tesi di Turing-Church.

H.Deitel,P.Deitel
Il linguaggio C-Fondamenti e Tecniche di Programmazione
Pearson Education.
J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman. Automi, linguaggi e calcolabilità.
Pearson Education.

La teoria dei gruppi, anelli e campi

Artin, M: Abstract Algebra, 2nd ed, Addison-Wesley, 2010.

Dummit, D. and Foote, R.: Abstract Algebra, 3rd ed, 2003.

Schoof, R. and Van Geemen, B.: Dispense di Algebra, Pavia 2001.

Meccanica del punto e di sistemi di punti materiali. Relatività ristretta. Meccanica dei Fluidi. Termodinamica.

Mazzoldi Nigro Voci "Fisica" volume I seconda ed. (ISBN 9788879591379):capitoli 1, 2, 3, 4.1-12, 5, 8.1-9, 9.1-8, 10.1-9, 11.1-7, 11.10, 12.1-12. Per la parte di relatività suggerisco di vedere anche i capitoli 4 e 5 di "Gravity" di Hartle.

Richiami e complementi sugli spazi R^N, gli spazi metrici e normati e le funzioni continue tra di essi. Completezza, connessione e compattezza e proprieta’ relative.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili a valori scalari o vettoriali.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali scalari e vettoriali: derivate parziali e direzionali, differenziabilità, condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Gradiente e matrice jacobiana . Differenziale delle funzioni composte. Derivate successive, teorema di Schwarz. Richiami sulle forme quadratiche in R^N. Formula di Taylor per funzioni di piu’ variabili con resto in forma di Peano o di Lagrange.
Massimi e minimi liberi per funzioni scalari di più variabili, criteri basati sul segno della matrice hessiana.
Curve in R^N, lunghezza di una curva, parametrizzazione naturale. Integrali curvilinei di prima specie o rispetto alla lunghezza d’ arco. Cenni sulla curvatura con e senza segno di curve piane e nello spazio. Campi vettoriali, forme differenziali e loro integrali curvilinei di seconda specie. Forme chiuse ed esatte e loro relazioni, insiemi semplicemente connessi, invarianza per omotopia degli integrali curvilinei di forme chiuse.
Teorema di Dini delle funzioni implicite in due dimensioni.
Teorema delle funzioni implicite nel caso generale di più vincoli (con dimostrazione completa).
Teorema della funzione inversa, invertibilità locale e globale.
Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile in R^N, equivalenza delle diverse definizioni, spazio tangente e normale, metodo dei moltiplicatori di Lagrange per lo studio dei massimi e minimi vincolati.
Integrazione di Riemann in più variabili e misura di Peano-Jordan, formule di riduzione, cenno agli integrali multipli impropri, calcolo dell’ integrale di Gauss. Teorema di Green e della divergenza nel piano.
Partizioni dell’ unità e teorema di cambio di variabili per integrali multipli (con dimostrazione completa).
Introduzione ad alcuni spazi normati di dimensione infinita, in particolare spazi di funzioni continue e cenni sul calcolo differenziale in spazi di Banach.

Fusco, Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica due, ed. Liguori
Giusti Analisi Matematica 2, terza edizione, ed. Boringhieri
Appunti integrativi a cura del docente.

Spazi metrici. Spazi topologici. Funzioni continue tra spazi
topologici. Topologia indotta. Topologia quoziente. Azione di
gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff. Spazi
connessi. Varieta' topologiche. Classificazione delle superfici.
Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni continue. Il
gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale delle sfere.

C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli.

Studio qualitativo delle equazioni differenziali ordinarie. Moti
unidimensionali: trattazione del caso conservativo e di quello
dissipativo. Punti di equilibrio e stabilità. Modello di
Lotka-Volterra e di un orologio, attrattori.

La meccanica celeste come ulteriore esempio di introduzione di modelli
matematici di fenomeni naturali. Moti centrali. Legge di gravitazione
universale come soluzione del problema inverso di Keplero. Problema
dei due corpi e di Calogero.

Moti relativi. Forze apparenti in sistemi non inerziali. Generalità
sui sistemi meccanici. Equazioni cardinali. Corpo rigido: cinematica
e dinamica.

Sistemi vincolati. Vincoli ideali, principio di D'Alembert.
Equazioni di Lagrange. Costanti del moto per sistemi Lagrangiani.
Formulazione variazionale della meccanica Lagrangiana.

Introduzione alla meccanica Hamiltoniana. Parentesi di Poisson.
Teoremi di Liouville per il flusso Hamiltoniano e (in cenni)
a proposito dei sistemi integrabili.

Note reperibili in rete, redatte dai prof. G. Benfatto,
A. Giorgilli, C. Liverani e, in parte, dal docente.
I riferimenti più adatti per ciascun argomento saranno
indicati sul diario delle lezioni, reperibile
al sito dedicato al corso:
http://www.mat.uniroma2.it/~locatell/FM1/index.html

Spazi di probabilità. Probabilità condizionali, eventi indipendenti,
elementi di calcolo combinatorio.

Modelli discreti, variabili aleatorie (v.a.) discrete e loro leggi; leggi
congiunte, v.a. indipendenti. Leggi binomiali, geometriche, di Poisson.
Speranza matematica, momenti e varianza. Disuguaglianza di Chebyshev.
Covarianza. Funzioni di ripartizione.

Modelli continui: leggi normali, gamma, beta. Speranza matematica, momenti
e varianza. Densità congiunte, indipendenza, calcolo di leggi.
Distribuzione e densità condizionale. Funzioni caratteristiche, leggi
normali multivariate.

Convergenza di variabili aleatorie. La legge dei grandi numeri e sue
applicazioni. Il teorema Limite Centrale e prime applicazioni.

Catene di Markov a stati discreti. Classificazione degli stati. Problemi
di assorbimento. Probabilità invarianti e teoremi limite.

P. Baldi: Calcolo delle Probabilità. Seconda edizione.
McGraw-Hill, 2011.

1) Spazi metrici(*).

La funzione distanza da un insieme. Spazi metrici completi.
Teorema del punto fisso per contrazioni.
Caratterizzazione degli spazi metrici compatti.
Teorema di Ascoli-Arzelà.



2) Equazioni differenziali.

Richiami sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine
e sulle equazioni a variabili separabili.
Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine in forma normale.
Teorema di esistenza e unicità di Picard
e teorema di esistenza di Peano.
Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati.
Prolungamento di soluzioni.
Esistenza e unicità del prolungamento massimale.
Teorema di prolungabilità. Prolungabilità in presenza
di una maggiorazione a priori nel caso della striscia(*). Equazioni
di tipo particolare, ad esempio di Bernoulli.
Globalità delle soluzioni massimali
in ipotesi di sublinearità del campo di vettori. Prolungabilità
di soluzioni che restano in un compatto.
Sistemi differenziali lineari. Struttura affine dello spazio delle soluzioni.
Matrici fondamentali di soluzioni(*). Dimensione dello spazio delle soluzioni
del sistema omogeneo. Sistemi lineari
a coefficienti costanti(*). Formula di variazioni delle costanti arbitrarie.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Soluzioni fondamentali(*),
matrice wronskiana (*).
Equazioni differenziali di ordine n e riduzione di esse a un sistema del primo ordine.
Equazioni a coefficienti costanti: equazione caratteristica
e sistema fondamentale di soluzioni dell'omogenea.
Ricerca di soluzioni particolari con termini noti di tipo speciale
(metodo degli annichilatori).
Flusso di un campo regolare.
Continuità e proprietà di semigruppo del flusso.
Punti di equilibrio. Classificazione degli equilibri.
Analisi degli equilibri di sistemi lineari autonomi bidimensionali(*).
Funzioni di Liapunov(*). Teorema di stabilità di Liapunov(*).
Criterio di instabilità(*).
Metodo della linearizzazione(*).



3) Successioni e serie di funzioni.

Richiami sulle successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme
e relazioni con continuità, derivata e integrale.
Serie di funzioni.
Generalità sulle serie di funzioni.
Convergenza puntuale,
convergenza uniforme
e relazioni con continuità, derivata e integrale.
Convergenza totale. Criterio di Cauchy sulla convergenza
uniforme di successioni e di serie di funzioni.
Serie di potenze, insieme di convergenza e raggio di convergenza.
Teorema di Abel(*). Funzioni analitiche.
Serie di Fourier. Funzioni periodiche.
Sviluppi in serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.
Convergenza puntuale e convergenza uniforme della serie di Fourier.



4) Calcolo differenziale e integrale in più variabili.

Superfici. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale.
Superfici cartesiane e superfici di rotazione.
Parametrizzazioni equivalenti e area di una porzione di superficie regolare.
Calcolo delle aree di alcune porzioni di superfici regolari.
Integrale di una funzione continua su una porzione di superficie regolare.
Teoremi della divergenza nel piano e nello spazio, e di Stokes.
Formula di Gauss-Green nel piano. Applicazione al calcolo di aree.
Soluzione del problema isoperimetrico nel piano.
Insiemi semplicemente connessi(*).
Varietà differenziabili immerse in spazi euclidei(*).
Spazio tangente e spazio normale in un punto(*).
Punti di estremo vincolato di una funzione, e metodo dei moltiplicatori
di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.

Nota: si intende che le parti segnate da (*), in particolare tutte le
parti del primo capitolo (spazi metrici) saranno svolte se non già
fatte precedentemente in altri corsi, e a seconda del tempo a disposizione.

Autori: C.D. Pagani, S. Salsa

Titolo: Analisi Matematica, Vol. 2

Casa Editrice Masson

Curve differenziabili. Lunghezza di un arco di curve e parametro arco. Curvatura
e torsione. Formule di Frenet. Teorema di esistenza e unicita’.
Superfici regolari nello spazio. Forme differenziali. Piano tangente. Prima forma
quadratica fondamentale. Area di una superficie regolare. Mappa di Gauss.
Seconda forma quadratica fondamentale. Il Theorema Egregium di Gauss. Formule
di Gauss-Weingarten. Teorema di esistenza e unicita’. Geodetiche. Il teorema di
Gauss-Bonnet. Qualche teorema di classificazione.
Quadriche. Superficie rigate. Superficie di rotazione.

M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Ed. Springer Italia.
M.M. Lipschutz, Geometria differenziale, Ed. Schaum.

Curve differenziabili. Lunghezza di un arco di curve e parametro arco. Curvatura
e torsione. Formule di Frenet. Teorema di esistenza e unicita’.
Superfici regolari nello spazio. Forme differenziali. Piano tangente. Prima forma
quadratica fondamentale. Area di una superficie regolare. Mappa di Gauss.
Seconda forma quadratica fondamentale. Il Theorema Egregium di Gauss. Formule
di Gauss-Weingarten. Teorema di esistenza e unicita’. Geodetiche. Il teorema di
Gauss-Bonnet. Qualche teorema di classificazione.
Quadriche. Superficie rigate. Superficie di rotazione

M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Ed. Springer Italia.
M.M. Lipschutz, Geometria differenziale, Ed. Schaum.

Il corso verte sull'apprendimento della programmazione di
algoritmi matematici in MATLAB. In particolare si elaboreranno programmi
in MATLAB sui seguenti argomenti: 1. Aspetti algoritmici 2. Algebra
lineare, vettori, matrici 3. Funzioni, input e output 4. For, while,
break, if, switch 5. Grafica 2D e 3D 6. Esempi: integrali e successioni
7. Serie di Taylor e di Fourier 8. Soluzione di ODE 9. Fast Fourier
Transform (FFT).

Dispense fornite dal docente, tutorial disponibile sul sito di MATLAB: https://it.mathworks.com/help/matlab/ , "Introduzione all'uso di Matlab per il Calcolo Scientifico" (http://www1.mate.polimi.it/CN/Dispense/index.php3)

Il corso illustra i principi della traduzione di modelli matematici in problemi aritmetici
risolubili con mezzi automatici. Aritmetica in virgola mobile e analisi dell’errore. Algebra lineare
numerica: metodi diretti e metodi iterativi per sistemi lineari. Approssimazione di soluzioni di
equazioni non lineari. Approssimazione e interpolazione polinomiale e splines. Integrazione numerica. Cenni al
trattamento numerico di equazioni differenziali ordinarie

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna, 1988
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer 2008

parte 1:
-) richiami sulla topologia di R^n e sull'integrale di Riemann,
-) la misura di Lebesgue,
-) funzioni misurabili secondo Lebesgue,
-) integrale di Lebesgue,
-) integrazione su prodotti cartesiani,
-) cambiamento di variabile negli integrali,
-) rudimenti sugli spazi Lp.

1) Richard L Wheeden; Antoni Zygmund: Measure and integral : an introduction to real analysis. Boca Raton, FL : CRC Press, Taylor & Francis Group, [2015]
2) Donald L. Cohn: "Measure Theory". Springer, 2013.
3) Dispense Analisi reale e complessa di Claudio Rea.

Numeri complessi. Funzioni derivabili in senso complesso. Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni olomorfe elementari. Serie di potenze complesse.
Integrali complessi. Lemma di Goursat. Teorema di Cauchy per domini convessi. Formula integrale di Cauchy. Sviluppabilita' locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'Algebra. Principio di unicita' per funzioni olomorfe. Principio del massimo modulo. Lemma di Schwarz. Automorfismi olomorfi del disco. Teorema di convergenza di Weierstrass.
Serie di Laurent. Singolarita’ isolate. Formula di Cauchy per anelli. Sviluppo in serie di Laurent di funzioni olomorfe su anelli. Classificazione delle singolarita’. Teorema di Casorati-Weierstrass. Automorfismi olomorfi della sfera di Riemann e del piano complesso. Funzioni meromorfe. Forma generale del teorema di Cauchy (cenni). Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Principio dell'argomento. Teorema di Rouche'. Teorema della mappa di Riemann (cenni).

1) Donald Sarason, Notes on complex function theory, A.M.S. 2007.
2) Henri Cartan, Elementary theory of analytic functions of one and several variables, Dover Public. Inc., 1995.

Prerequisiti:
FISICA 1, Campi vettoriali, calcolo differenziale ed integrale in R3, teoremi di Stokes e della divergenza
Il campo elettrico (leggi di Coulomb e Gauss), il potenziale elettrostatico. I Campo elettrico in presenza di materiali dielettrici (cenni). Correnti continue e la legge di Ohm (cenni). Il campo magnetico nel vuoto, la legge di Laplace e di Ampere e il potenziale vettore. Le sorgenti dei campi: cariche ferme e in movimento. l’equazione di continuità. Il caso non stazionario: induzione elettrica e magnetica, il campo elettromagnetico e le equazioni di Maxwell. Potenziali elettromagnetici. Onde elettromagnetiche. Ottica fisica, l'interferenza e la diffrazione della luce. Richiami di Relatività Ristretta: trasformazioni di Lorentz, dinamica quadrivettoriale, covarianza delle equazioni di Maxwell.
Equazione di D’Alembert per i campi e per i potenziali.

Mazzoldi Nigro Voci: Fisica II - Edises;

Misura di una grandezza fisica: misura diretta e misura indiretta. Grandezze fondamentali e derivate. Sistemi di unità di misura. Cambiamenti di unità di misura. Caratteristiche degli strumenti di misura. Misure di lunghezza, di tempo e di massa. Incertezze casuali ed incertezze sistematiche. Stima delle incertezze delle misure. Cifre significative. Propagazione degli errori. Errore relativo. Circuiti elettrici. Elementi passivi, generatori di corrente e di tensione. Principi di Kirchhoff. Strumenti di misura in corrente continua. Il multimetro digitale. Introduzione all’analisi statistica dei dati sperimentali. Stime di parametri. Verifica di ipotesi. Test statistici. Grafici.

Argomenti delle esercitazioni:
1. Studio del periodo di un pendolo semplice
2. Moto di un proiettile: strumento balistico.
3. Moti oscillatori con molle.
4. Studio della legge di Boyle e di Gay Lussac
5. Misura del calore specifico di una sostanza solida
6. Studio della carica e scarica di un condensatore
7. Studio di fenomeni di diffrazione della luce

V. Canale, “Fisica in laboratorio. Meccanica e Termodinamica, Aracne ed. (2007)
M. Severi, "Introduzione all'Esperimentazione di Fisica", Zanichelli ed. (1986).
M. Loreti, "Teoria degli errori e fondamenti di statistica", Zanichelli ed. (1998).
J.R.Taylor, " Introduzione all' analisi degli errori ", Zanichelli ed. (1982).
R. Cervellati, D. Malosti, “Elettronica. Esercitazioni per il laboratorio di fisica”, Euroma La Goliardica ed (1986).

Lʼequazione di diffusione: Generalità. Questioni di unicità. Il principio di
massimo. La soluzione fondamentale. Passeggiata aleatoria simmetrica e moto Browniano
- Diffusione con trasporto e reazione. Il problema di Cauchy globale.
Equazione di Laplace: generalità. Funzioni armoniche nel discreto e nel continuo, proprietà
di media e principio di massimo. Formula di Poisson. Disuguaglianza di Harnack e Teorema
di Liouville. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Formule di rappresentazione di
Green. Cenni al problema esterno. Equazioni del primo ordine: equazione lineare del
trasporto. Modelli non lineari e metodo delle caratteristiche. Onde di shock e condizione di
Rankine-Hugoniot. Problema dellʼunicità e cenni alla condizione di entropia. Trasformata di
Fourier di funzioni continue. Formula di inversione. Teorema di Plancherel. Applicazioni alla
soluzione di equazioni alle derivate parziali.
Equazione delle onde: Corda vibrante - Formula di DʼAlembert – Effetti di dissipazione e
dispersione – Pacchetti dʼonda e velocità di gruppo – Equazione delle onde in più di una
dimensione –Soluzione fondamentale in 3 dimensioni – Formula di Kirchoff

S. Salsa: Equazioni a derivate parziali - Springer-Verlag Italia