Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Numeri naturali e principio di induzione. Numeri interi relativi e numeri
razionali. Numeri reali. Numerabilita' di Z e Q e non numerabilita' di R.
Numeri complessi. Topologia della retta reale. Estremo superiore e
inferiore. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni elementari e loro
principali proprieta'. Successioni: limiti di successioni, principali
teoremi sui limiti, teoremi di confronto e teoremi algebrici, successioni
monotone, massimo e minimo limite, il numero e. Limiti di funzioni reali e
studio di alcuni limiti notevoli. Limite superiore e limite inferiore.
Proprieta' fondamentali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass e
teorema dei valori intermedi. Calcolo differenziale: definizione di
derivata e prime proprieta'. Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange e di
Cauchy. Teoremi di de l'Hopital. Funzioni convesse e loro principali
proprieta'.

Enrico Giusti, ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri

In questo corso discuteremo la teoria degli insiemi, certi aspetti della teoria elementare dei numeri, e la teoria di base dei gruppi e degli anelli
Per ulteriori informazioni si veda la pagina web del corso.

Artin, M. : Abstract Algebra, 2nd ed, Addison-Wesley, 2010.
Dummit, D. and Foote, R.: Abstract Algebra, 3rd ed, 2003.
Schoof, R. and Van Geemen, B.: Dispense di Algebra, Pavia 2001.

1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi. Dimensione. Somme di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi omogenei. Sistemi equivalenti. Sistemi ridotti e normali. Risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione di Gauss. Matrici ed applicazioni lineari. Applicazioni lineari definite da matrici. Prodotto tra matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata non degenere. Matrici ortogonali. Formule di cambiamento di basi in uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinanti e loro applicazioni allo studio dei sistemi lineari. Sviluppo di un determinante con la regola di Laplace. Teorema di Binet. Metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. Teorema degli orlati.
Caratterizzazione del rango di una matrice mediante i determinanti: minori fondamentali. Teorema di Cramer. Calcolo della inversa di una matrice quadrata non degenere su un campo. 2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Sistemi lineari di equazioni di sottospazi. Equazioni parametriche dei sottospazi. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi. Sottospazi paralleli, sghembi e incidenti. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Cambiamenti di coordinate. Orientazioni di uno spazio affine reale. Spazi euclidei. Prodotti scalari euclidei. L'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Il gruppo delle isometrie. Ortogonalità. Sistemi di coordinate cartesiane ortonormali. Angoli e loro funzioni trigonometriche. Distanze tra sottospazi. Prodotti vettoriali. Calcolo di aree e volumi.
3. Elementi di storia

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri. Appunti disponibili sul sito del docente. Altri testi consigliati: E. Sernesi, Geometria 1, Ed. Bollati-Boringhieri

Determinanti e loro applicazioni allo studio dei sistemi lineari. Sviluppo di un determinante con la regola di Laplace. Teorema di Binet. Metodo di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. Teorema degli orlati.
Caratterizzazione del rango di una matrice mediante i determinanti: minori fondamentali. Teorema di Cramer. Calcolo della inversa di una matrice quadrata non degenere su un campo. Spazi euclidei. Prodotti scalari euclidei. L'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Il gruppo delle isometrie. Ortogonalità. Sistemi di coordinate cartesiane ortonormali. Angoli e loro funzioni trigonometriche. Distanze tra sottospazi. Prodotti vettoriali. Calcolo di aree e volumi.

Polinomio di Taylor e applicazioni. Stima del resto del polinomio di Taylor.
Uniforme continuita'. Integrazione secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali impropri. Serie numeriche. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Introduzione agli spazi metrici e agli spazi normati. Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni.
Compattezza in R^n. Teorema delle contrazioni in uno spazio metrico completo.

Enrico Giusti, ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri.

1.-Algebra lineare.
Quoziente di uno spazio vettoriale per un suo sottospazio. Spazio duale di uno
spazio vettoriale. Diagonalizzazione di un endomorfismo di uno spazio vettori-
ale. Autovettori e autovalori. Il Teorema di Hamilton Cayley. Forma canonica di
Jordan. Prodotti scalari e hermitiani e forme quadratiche. Procedimenti di ortogo-
nalizzazione. Il Teorema di Jacobi. Forme quadratiche reali. Il criterio di Sylvester.
Il teorema di decomposizione spettrale.
2.-Geometria affine e proiettiva.
Luoghi geometrici. Spazio complesso. Spazi proiettivi. Sottospazi. Regola di
Grassmann. Proiettivita'. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee. Teorema
fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti. La nozione di birapporto. Spazio
proiettivo duale. Teoremi di Pappo e Desargues. Relazioni tra geometria affine e
geometria proiettiva. Complessificazione di uno spazio proiettivo reale. Coniche.
3.- Elementi di Storia.
Elementi dello sviluppo storico delle discipline algebriche e geometriche.

Testi base: C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri.
Appunti dalle lezioni disponibili in rete.
Altri testi consigliati:
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria, Ed. Springer Italia.
E. Sernesi, Geometria 1, Ed. Bollati-Boringhieri.
A. Franchetta e A. Morelli, Esercizi di geometria, Parte 1 e 2, Ed. Liguori (per
gli esercizi).

Introduzione ai computer e alla programmazione. Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Analisi degli algoritmi e implementazione in C di selectionsort, bubblesort, insertionsort e mergesort. Stringhe e algoritmi su analisi del testo. Le strutture. I puntatori e le strutture auto-referenzianti.
Strutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprieta'. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondità di grafi non diretti.

Automi a stati finiti deterministici e non deterministici. Teorema di equivalenza tra i due modelli. Espressioni regolari. Teorema di equivalenza tra espressioni regolari e automi a stati finiti. Proprieta' di chiusura dei linguaggi regolari. Minimizzazione di automi. Cenni su automi a pila. Macchine di Turing e calcolabilità. Tesi di Turing-Church.

• H.Deitel,P.Deitel
Il linguaggio C-Fondamenti e Tecniche di Programmazione
Pearson Education.
• J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman. Automi, linguaggi e calcolabilita'.
Pearson Education.

Introduzione ai computer e alla programmazione. Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Analisi degli algoritmi e implementazione in C di selectionsort, bubblesort, insertionsort e mergesort. Stringhe e algoritmi su analisi del testo. Le strutture. I puntatori e le strutture auto-referenzianti.
Strutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprieta'. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondita' di grafi non diretti.

Automi a stati finiti deterministici e non deterministici. Teorema di equivalenza tra i due modelli. Espressioni regolari. Teorema di equivalenza tra espressioni regolari e automi a stati finiti. Proprieta' di chiusura dei linguaggi regolari. Minimizzazione di automi. Cenni su automi a pila. Macchine di Turing e calcolabilita'. Tesi di Turing-Church.

• H.Deitel,P.Deitel
Il linguaggio C-Fondamenti e Tecniche di Programmazione
Pearson Education.
• J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman. Automi, linguaggi e calcolabilita'.
Pearson Education

ANELLI.
Teoremi di isomorfismo per anelli. Ideali principali. Ideali primi e ideali massimali.
Quozienti di anelli commutativi con unità rispetto a ideali massimali. Ideali primi e domini di integrità. Domini euclidei. Anello degli interi di Gauss. Domini principali. Domini a fattorizzazione unica. Polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica. Caratteristica di un dominio d’integrità. Sottocampi fondamentali.

GRUPPI.
Teoremi di isomorfismo. Automorfismi interni. Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori. Gruppi finiti: equazione delle classi..
Teorema di Burnside sul numero delle orbite di un G-insieme finito. Teorema di Cauchy. p-gruppi. Teoremi di Sylow. Prodotti diretti (interni ed esterni).
Commutatore di due elementi. Sottogruppo derivato. Gruppi risolubili. Non risolubilità del gruppo simmetrico su n elementi per n maggiore o uguale a 5.
Gruppi abeliani finiti.

ESTENSIONI DI CAMPI.
Definizione di estensione di campi. Grado di una estensione. Estensioni finite ed infinite. Estensioni finite di estensioni finite: legame tra i gradi.
Elementi algebrici ed elementi trascendenti su un campo. Estensioni semplici e loro costruzione. Campo dei numeri algebrici. Campo di spezzamento di un polinomio. Campi finiti. Costruzioni con riga e compasso. Impossibilità di alcune costruzioni classiche: duplicazione del cubo, quadratura del cerchio, trisezione dell’angolo. Gruppo di Galois di un’ estensione. Corrispondenza di Galois. Teorema di Abel-Ruffini.

G.M. Piacentini Cattaneo. “Algebra: un approccio algoritmico”
Decibel Zanichelli 1996

Richiami e complementi sugli spazi metrici e normati e le funzioni continue tra di essi; caratterizzazione della connessione di aperti in R^N; numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di un compatto, caratterizzazioni equivalenti della compattezza di sottoinsiemi di spazi metrici.
Limiti e continuita' per funzioni di più variabili a valori scalari o vettoriali.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali: derivate parziali, differenziabilita', condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Differenziale come operatore lineare, rappresentato dal gradiente per funzioni scalari, dalla matrice jacobiana per funzioni vettoriali di più variabili. Differenziale delle funzioni composte. Derivate successive, teorema di Schwarz.
Richiami sulle forme quadratiche in R^N. Massimi e minimi liberi per funzioni scalari di più variabili, criteri basati sul segno della matrice hessiana.
Curve in R^N, curve di classe C^1, regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, rettificabilita' delle curve di classe C^1, versore tangente di curve regolari, parametrizzazioni equivalenti, parametrizzazione naturale. Integrali curvilinei di prima specie o rispetto alla lunghezza d’arco. Cenni sulla curvatura con e senza segno di curve piane e nello spazio. Forme differenziali e loro integrali curvilinei di seconda specie. Forme chiuse ed esatte e loro relazioni, insiemi semplicemente connessi, invarianza per omotopia degli integrali curvilinei di forme chiuse.
Teorema delle funzioni implicite in due dimensioni. Teorema delle funzioni implicite nel caso generale di più vincoli, dimostrazione elementare e basata sul teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli. Teorema della funzione inversa, invertibilita' locale e globale.
* [ Introduzione alla nozione di sotto varietà differenziabile in R^N, equivalenza delle diverse definizioni, spazio tangente e normale, metodo dei moltiplicatori di Lagrange per lo studio dei massimi e minimi vincolati. ]
Integrazione di Riemann in piu' variabili e misura di Peano-Jordan, formule di riduzione, cenno agli integrali multipli impropri, calcolo dell’ integrale di Gauss. Teorema di Green e della divergenza nel piano.
Partizioni dell’ unita' e teorema di cambio di variabili per integrali multipli.
* [ Introduzione ad alcuni spazi normati di dimensione infinita. Spazio delle funzioni continue tra sottoinsiemi di spazi euclidei. Norma e convergenza uniforme, convergenza uniforme e totale per serie di funzioni. Teorema di Ascoli-Arzela'. Spazi di funzioni derivabili e integrabili. Operatori lineari continui tra spazi normati. Estensione della definizione di differenziabilita' ad applicazioni tra un aperto di uno spazio normato ad un altro. ]
*Questi argomenti sono solo introdotti e verranno ripresi in modo piu' sistematico nel corso di Analisi Matematica 4 e in corsi successivi.

Fusco, Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica due, ed. Liguori - Giusti Analisi Matematica 2, terza edizione, ed. Boringhieri - Appunti integrativi a cura del docente

Spazi metrici. Spazi topologici. Funzioni continue tra spazi topologici. Topologia indotta. Topologia
quoziente. Azione di gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff. Spazi connessi.
Varieta’ topologiche. Classificazione delle superfici. Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni
continue. Il gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale delle sfere.

C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli

introduzione ai modelli matematici di fenomeni naturali. Studio qualitativo delle equazioni differenziali ordinarie.Meccanica del punto materiale. Cinematica del punto in un riferimento dato. Dinamica di un punto materiale in un riferimento galileiano.Moti unidimensionali. Problema inverso. Equilibrio e stabilita'. Moti centrali. Problema di Keplero. Determinazione dell'orbita.Generalita' sui sistemi meccanici. Equazioni cardinali. Vincoli, sistemi vincolati. Cinematica rigida. Moti relativi. Moti rispetto a riferimenti non inerziali. Forze apparenti. Prime nozioni di statica e dinamica del corpo rigido. Sistemi Lagrangiani.

Spazi di probabilita'e loro proprieta'. Probabilita' condizionali, eventi indipendenti.
Probabilità uniformi, elementi di calcolo combinatorio.

Modelli discreti, variabili aleatorie (v.a.) discrete e loro leggi; v.a. indipendenti. Leggi binomiali, geometriche, di Poisson. Speranza matematica, momenti e varianza. Disuguaglianza di Chebyshev. Covarianza. Funzioni di ripartizione.

Modelli continui: leggi normali, gamma, beta. Speranza matematica, momenti e varianza. Densità congiunte, indipendenza, calcolo di leggi. Distribuzione e densità condizionale.

Funzioni caratteristiche, leggi normali multivariate. Convergenza di variabili aleatorie. La legge dei grandi numeri e sue applicazioni. Il teorema Limite Centrale e prime applicazioni.

Catene di Markov a stati discreti. Classificazione degli stati. Problemi di assorbimento. Probabilita' invarianti e teoremi limite.

P. Baldi: Calcolo delle Probabilita'. Seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.

Spazi metrici. La funzione distanza da un insieme. Spazi metrici completi. Il lemma
delle contrazioni. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Compattezza in spazi di funzioni
continue: teoremi di Ascoli-Arzelà e Dini.
Equazioni differenziali. Richiami sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine e sulle
equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine in
forma normale. Teorema di esistenza e unicità di Picard. Lemma di Gronwall. Dipendenza
continua dai dati. Prolungamento di soluzioni. Esistenza e unicità del prolungamento massimale.
Teorema di prolungabilità. Prolungabilità in presenza di una maggiorazione a priori nel caso della
striscia. Equazioni di Bernoulli. Globalità delle soluzioni massimali in ipotesi di sublinearità del
campo di vettori. Prolungabilità di soluzioni massimali che restano in un compatto. Sistemi
differenziali lineari. Struttura affine dello spazio delle soluzioni. Matrici fondamentali di soluzioni.
Dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. Sistemi lineari a coefficienti
costanti: il caso di autovalori distinti. Formula di variazioni delle costanti arbitrarie. Equazioni
differenziali lineari di ordine n. Soluzioni fondamentali, matrice wronskiana e metodo della
variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni a coefficienti costanti: equazione caratteristica e
sistema fondamentale di soluzioni dell'omogenea. Equazioni di Eulero. Ricerca di soluzioni
particolari con termini noti di tipo speciale. Flusso di un campo regolare. Continuità e proprietà di
semigruppo del flusso. Punti di equilibrio. Classificazione degli equilibri. Analisi degli equilibri di
sistemi lineari autonomi bidimensionali. Funzioni di Liapunov. Teorema di stabilità di Liapunov.
Criteri per lo studio del bacino di attrazione di un punto di equilibrio asintoticamente stabile.
Criterio di instabilità. Metodo della linearizzazione. Applicazione al modello predatore-preda.
Serie di funzioni. Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza
uniforme e convergenza totale. Scambio di somma e derivata, di somma e integrale.
Serie di potenze. Funzioni analitiche. Serie di Fourier. Funzioni periodiche. Sviluppi in serie di
Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Convergenza puntuale e convergenza uniforme della serie di
Fourier. Determinazione della migliore costante in disuguaglianze di Poincaré.
Superfici. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici cartesiane e
superfici di rotazione. Parametrizzazioni equivalenti e area di una porzione di superficie regolare.
Calcolo delle aree di alcune porzioni di superfici regolari (sfera, cono, toro, paraboloide,
rotazione di una cicloide). Integrale di una funzione continua su una porzione di superficie
regolare.Teoremi di Gauss-Green e Stokes. Formula di Gauss-Green nel piano. Applicazione al
calcolo di aree. Soluzione del problema isoperimetrico nel piano.
Il teorema di Stokes nello spazio tridimensionale.
Insiemi semplicemente connessi. Punti di estremo vincolato. Varietà differenziabili immerse in
spazi euclidei. Spazio tangente e spazio normale in un punto. Punti di estremo vincolato di una
funzione su varietà. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo
vincolato. Applicazioni: disuguaglianze fra medie; interpretazione variazionale degli autovalori di
una matrice simmetrica.

Elementi di algebra tensoriale.
Curve differenziabili. Lunghezza di un arco di curve e parametro arco. Curvatura
e torsione. Formule di Frenet. Teorema di esistenza e unicita'.
Superfici regolari nello spazio. Forme differenziali. Piano tangente. Prima forma
quadratica fondamentale. Area di una superficie regolare. Mappa di Gauss. Seconda forma quadratica fondamentale. Il Theorema Egregium di Gauss. Formule
di Gauss{Weingarten. Teorema di esistenza e unicita'. Trasporto parallelo e geodetiche. Il teorema di Gauss-Bonnet. Qualche teorema di classificazione.
Quadriche. Superficie rigate. Superficie di rotazione.
Definizione di varieta' differenziabile. Fibrato tangente.

M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Ed. Springer Italia.
M.M. Lipschutz, Geometria differenziale, Ed. Schaum

Analisi numerica 1.
Il corso illustra i principi della traduzione di modelli matematici in problemi aritmetici risolubili con mezzi automatici. Argomenti trattati: aritmetica in virgola mobile e analisi dell’errore. Algebra lineare numerica: metodi diretti e metodi iterativi per sistemi lineari. Approssimazione di soluzioni di equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale e splines. Integrazione numerica. Cenni al trattamento numerico di equazioni differenziali ordinarie.

Laboratorio di calcolo 2.
Il corso verte sull'apprendimento della programmazione di algoritmi matematici in MATLAB.
In particolare si elaboreranno programmi in Matlab sui seguenti argomenti:
1. Aspetti algoritmici
2. Algebra lineare, vettori, matrici
3. Funzioni, input e output
4. For, while, break, if, switch
5. Grafica 2D e 3D
6. esempi: integrali e successioni
7. Serie di Taylor e di Fourier
8. Soluzione di ODE
9. Fast Fourier Transform (FFT)

Il corso illustra i principi della traduzione di modelli matematici in problemi aritmetici
risolubili con mezzi automatici. Aritmetica in virgola mobile e analisi dell’errore. Algebra lineare
numerica: metodi diretti e metodi iterativi per sistemi lineari. Approssimazione di soluzioni di
equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale e splines. Integrazione numerica. Cenni al
trattamento numerico di equazioni differenziali ordinarie.

La prima parte del programma vertera' sulla teoria della misura e dell'integrazione
secondo Lebesgue, sulle misure prodotto e Teorema di Fubini-Tonelli; tratteremo infine alcune
applicazioni di questa teoria.
La seconda parte del programma sara' così articolata: Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos
e logaritmo sui complessi. Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato.
Integrali curvilinei complessi. Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f(z)dz. Funzioni
olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di
potenze. Funzioni armoniche, armoniche coniugate. Teorema integrale di Cauchy, primitive di
funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di
potenze. Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra. Il
principio dell'unicità per funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Molteplicità degli zeri di funzioni
olomorfe. L'inversione delle funzioni olomorfe. Teorema dell'applicazione aperta. Principio del
massimo. Teorema di convergenza di Weierstrass. Teorema di Montel. Punti singolari isolati,
sviluppo in serie di Laurent, classificazione delle singolarita'. Residui, Funzioni meromorfe,
principio dell'argomento. Teorema dei residui. Calcolo di integrali col metodo dei residui.
Funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann.

Dispense di C. Rea: Analisi reale e complessa; "Measure and Integral: An
Introduction to Real Analysis", Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund ,Marcel Dekker, 1977;
"Complex Analysis", Ian Stewart, David Tall ,Cambridge University Press, 1990; Testi ed esercizi
distribuiti durante il corso.

Prerequisiti:
FISICA 1, Campi vettoriali, calcolo differenziale ed integrale in R3, teoremi di Stokes

Il campo elettrico, la legge di Coulomb, campo di una carica puntiforme e di una distribuzione continua di cariche. Il potenziale elettrostatico. Teorema di Gauss e equazione di Poisson. Conduttori in equilibrio elettrostatico, teorema di Ampere, schermo elettrostatico, condensatori nel vuoto e con un dielettrico. Correnti continue e legge di Ohm, leggi di Kirchoff. Il campo magnetico nel vuoto, forza di Lorentz e seconda formula elementare di Laplace, principio di equivalenza di Ampere. Le sorgenti del campo magnetico, prima formula elementare di Laplace e teorema della circuitazione di Ampere, potenziale vettore. Il caso non stazionario, induzione elettrica e magnetica, il campo elettromagnetico e le equazioni di Maxwell. Onde elettromagnetiche, equazione di D’Alembert per i campi e per i potenziali. Ottica fisica, interferenza e diffrazione della luce

Mazzoldi Nigro Voci: Fisica II - Edises;

Misura di una grandezza fisica: misura diretta e misura indiretta. Grandezze fondamentali e derivate. Sistemi di unita' di misura. Cambiamenti di unita' di misura. Incertezze casuali ed incertezze sistematiche. Caratteristiche degli strumenti di misura. Misure di lunghezza, di tempo e di massa. Stima delle incertezze delle misure. Cifre significative. Propagazione degli errori. Errore relativo. Circuiti elettrici. Elementi passivi, generatori di corrente e di tensione. Principi di Kirchhoff. Strumenti di misura in corrente continua. Il multimetro digitale. Introduzione all’analisi statistica dei dati sperimentali. Stime di parametri. Verifica di ipotesi. Test statistici. Grafici.


Argomenti delle esercitazioni:
1. Studio del periodo di un pendolo semplice
2. Moto di un proiettile: strumento balistico.
3. Moti oscillatori con molle.
4. Studio della legge di Boyle e di Gay Lussac
5. Misura del calore specifico di una sostanza solida
6. Studio della carica e scarica di un condensatore
7. Studio di fenomeni di diffrazione della luce

V. Canale, “Fisica in laboratorio. Meccanica e Termodinamica, Aracne ed. (2007)
M. Severi, "Introduzione all'Esperimentazione di Fisica", Zanichelli ed. (1986).
M. Loreti, "Teoria degli errori e fondamenti di statistica", Zanichelli ed. (1998).
J.R.Taylor, " Introduzione all' analisi degli errori ", Zanichelli ed. (1982).
R. Cervellati, D. Malosti, “Elettronica. Esercitazioni per il laboratorio di fisica”, Euroma La Goliardica ed (1986).

Introduzione alle equazioni differenziali della fisica matematica. Equazione di Laplace, equazione delle onde, equazione del calore. Esempi di modelli matematici di fenomeni fisici: campo elettrostatico, oscillazioni di una membrana, propagazione del calore.
Equazioni ellittiche, funzioni armoniche e loro proprieta’, funzione di Green, esempi di soluzioni del problema di Dirichelet. Equazioni iperboliche, equazione delle onde, la corda vibrante, formula di D’Alembert. Equazioni paraboliche, conduzione del calore, problema di Cauchy-Dirichelet.

Testo consigliato: A.V. Bitsadze, Equations of Mathematical Physics