Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Studieremo gli algoritmi più utilizzati in crittografia, in particolare:

- algoritmi simmetrici, in particolare Advanced Encryption Standard (AES).
- funzioni di hash
- algoritmi asimettrici basati su RSA, logaritmo discreto su campi finiti e su curve ellittiche.

Seguriemo principalmente il testo di Stinson e Paterson citato nella bibliografia.

Se il tempo lo permette, approfondiremo alcuni dei segunti argomenti:

- test di primalità e fattorizzazione di numeri interi
- curve ellittiche
- crittografia omomorfa
- crittografia post-quantistica basata su codici, reticoli e isogenie.

D. R. Stinson, M. Paterson, Cryptography, Theory and Practice, 4th Edition, Chapman and Hall/CRC, 2018

Il corso sarà articolato in due parti: la prima parte verterà primariamente su teoria delle categorie, mentre nella seconda applicheremo il linguaggio delle categorie allo studio di moduli ed algebre su un anello commutativo unitario ed eventualmente ad un'introduzione alla teoria delle rappresentazioni.

M. F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley 1969.
E.Riehl, Category Theory in Context, Courier Dover Publications, 2017.

PARTE I. Probabilità.
- Cenni di teoria della misura: algebre e sigma-algebre; spazi misurabili e funzioni misurabili; sigma-algebra generata da una funzione misurabile; misurabilità delle funzioni discrete; le proprietà delle funzioni misurabili.
- Spazi di probabilità e variabili aleatorie: definizioni che fanno uso della teoria della misura.
- Indipendenza tra eventi e tra sigma-algebre indipendenti.
- Variabili aleatorie (v.a.): sigma-algebra generata; v.a. dicrete e continue; richiami (aspettazione; momenti; varianza; disuguaglianze); aspettazione condizionale.
- Martingale: filtrazioni, processi adattati a tempo discreto; martingale, supermartingale e submartingale; le proprietà; la decomposizione di Doob ed il compensatore; le martingale trasformate.
- Tempi d'arresto: sigma-algebra degli eventi antecendenti; processo arrestati; il teorema d'arresto.

PARTE II. Modelli discreti per la finanza.
- Tassi di interesse: interesse composto, semplice, istantaneo. Aspetti dei mercati finanziari: la vendita allo scoperto; l'arbitraggio; le ipotesi di mercato. Prodotti derivati: contratti forward, opzioni. Le opzioni come strumenti finanziari per la gestione dei rischi. Il payoff di un'opzione. Il problema del prezzo e della copertura dell’opzione.
- Opzioni europee: il modello discreto per la descrizione dei mercati finanziari; la filtrazione e il processo dei prezzi di mercato; il fattore di sconto ed il processo dei prezzi scontati; strategie di gestione e portafoglio associato; strategie autofinanzianti e ammissibili; il primo teorema fondamentale dell'asset pricing; formula di parità call-put; mancanza di abitraggio nel modello binomale e del modello trinomiale; opzioni replicabili e prezzo “'di non arbitraggio”; la completezza del mercato ed il secondo teorema fondamentale dell'asset pricing.
- Il modello CRR (Cox, Ross e Rubinstein): formula esplicita del prezzo di opzioni con payoff dipendente dal sottostante a maturità e calcolo della copertura; formula backward del prezzo; come si usa nella pratica il modello; la volatilità; comportamento asintotico e convergenza alle formule di Black e Scholes; studio empirico della velocità di convergenza.
- Opzioni americane nei mercati completi: il processo-payoff; la formulazione backward del prezzo dell'opzione americana; payoff e prezzo scontati: formulazione backward del prezzo scontato dell'opzione americana in termini del processo di payoff scontato; il prezzo scontato dell'opzione americana come l'inviluppo di Snell del processo di payoff scontato; definizione formale di istante di esercizio ottimale e caratterizzazione matematica; opzione europea associata e relazione tra prezzo americano e prezzo europeo; caso dell'opzione call: uguaglianza tra prezzo americano ed europeo; la formula della funzione-prezzo della put americana nel modello CRR (versione backward e formulazione variazionale), le proprietà, comportamento qualitativo.
- Problemi numerici: implementazione al calcolatore del principio di programmazione dinamica per il calcolo del prezzo europeo e americano; nel caso della put americana nel modello CRR, si richiede il disegno del grafico della funzione-prezzo.

PARTE III. Metodi numerici per la finanza.
- Il metodo Monte Carlo: generalità; l'intervallo di fiducia come output standard; uso in finanza; simulazione del modello CRR.
- Problemi numerici da risolvere al calcolatore: stima del prezzo di call/put standard con il metodo Monte Carlo e studio empirico della velocità di convergenza al valore esatto; prezzo di call/put asiatiche con la tecnica Monte Carlo, confronto con il prezzo della call/put standard, formule di parità per la validazione del programma; prezzo di opzioni con barriere, formule di parità per la validazione del programma; copertura dinamica per opzioni europee; put americana: simulazione del tempo ottimale di esercizio e analisi statistiche; copertura dinamica della put americana.

P. Baldi, L. Caramellino: Appunti del corso (distribuiti dal docente).

Introduzione - richiami di teoria asintotica. Proprietà degli stimatori: principio di verosimiglianza, sufficienza, non-distorsione, efficienza. Teorema di Cramer-Rao, matrice di informazione di Fisher. Stimatore di massima verosimiglianza, proprietà asintotiche. Statistica Bayesiana. Test delle ipotesi e intervalli di confidenza. Il modello lineare, stimatori OLS e GLS. Statistica nonparametrica.

Wasserman, All of Statistics, Springer

Proprietà delle funzioni olomorfe: teorema di Runge, teorema di Mittag-Leffler. Ricoprimenti olomorfi. Teorema di uniformizzazione di Riemann e classificazione delle superfici di Riemann. Rudimenti di dinamica olomorfa. Omologia e coomologia tramite forme e integrazione. Applicazioni.

- dispense del docente

Algebre di matrici di bassa complessita' computazionale, metodi iterativi quasi-Newton per la minimizzazione di funzioni, metodi di tipo gradiente coniugato e tecniche di precondizionamento per sistemi lineari di grandi dimensioni, il caso delle matrici di Toeplitz, migliore approssimazione di una matrice e/o formule di dislocamento in algebre di bassa complessita'

Funzioni di matrici

Complessita' e iterazione numerica. Percorsi, matrici e algoritmi veloci nel calcolo numerico", D. Bertaccini, C. Di Fiore, P. Zellini

appunti dei docenti e per Di Fiore anche di suoi ex studenti

Algebre di matrici di bassa complessita' computazionale, metodi iterativi quasi-Newton per la minimizzazione di funzioni, metodi di tipo gradiente coniugato e tecniche di precondizionamento per sistemi lineari di grandi dimensioni, il caso delle matrici di Toeplitz, migliore approssimazione di una matrice e/o formule di dislocamento in algebre di bassa complessita'

Funzioni di matrici

Complessita' e iterazione numerica. Percorsi, matrici e algoritmi veloci nel calcolo numerico", D. Bertaccini, C. Di Fiore, P. Zellini

appunti dei docenti e per Di Fiore anche di suoi ex studenti


Esempi di problemi di calcolo delle variazioni. Minimizzazione di un funzionale integrale 
ove la funzione dipende dal tempo, dalla funzione da minimizzare e dalla sua derivata. 
Problemi di tipo isoperimetrico.
Calcolo delle variazioni per funzioni assolutamente continue. 
Curve di minima lunghezza.

P. Cannarsa, E. Giorgieri, M. E. Tessitore: Lecture notes in dynamic optimization, Texmat, 2004

Oggetti e loro caratteristiche.
L'interfaccia di una classe.
Invarianti e altri elementi di logica.
Creazione di oggetti.
Assegnazione, riferimento e struttura degli oggetti.
Strutture di controllo.
Astrazione.
Modello dinamico.
Ereditarietà e genericità.
Ricorsione.
Ereditarietà multipla.
Programmazione guidata dagli eventi ed agenti.

Bertrand Meyer
Touch of Class: Learning to Program Well with Objects and Contracts
Springer

Spazi topologici.
Spazi vettoriali topologici e topologie deboli.
Spazi Normati.
Cenni di teoria dell'integrazione alla Lebesgue.
Spazi di Hilbert e operatori.
Teoria spettrale per operatori su spazi di Hilbert.
Cenni alla teoria della C*-Algebre e delle algebre di von Neumann.
Applicazioni alla Meccanica Quantistica.

M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I and II, Springer
B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Springer
G. K. Pedersen, Analysis Now, GTM, Springer
A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Mir
W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill
Note del corso