Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Numeri naturali e assiomi di Peano. Principio di induzione. Numeri interi relativi e numeri razionali. Numeri reali. Numerabilita' di Z e Q e non numerabilita' di R. Disuguaglianza aritmetico-geometrica. Numeri complessi. Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Topologia della retta reale. Estremo superiore e inferiore. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Proprieta' principali delle funzioni elementari. Limiti di funzioni reali e studio di alcuni limiti notevoli. Limite superiore e limite inferiore. Definizione del numero di Nepero e sua irrazionalita'. Proprietà fondamentali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi. Infinitesimi, la notazione "o-piccolo" e il suo uso. Calcolo differenziale: definizione di derivata e prime proprieta'. Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy e di Darboux. Criterio di monotonia. Funzioni convesse e loro principali proprieta'. Teoremi di de l'Hopital e di Stolz-Cesaro. La successione dei numeri armonici e la costante di Eulero-Mascheroni. Successioni di Cauchy. Esistenza e unicita' del punto fisso per le contrazioni in R.

In questo corso discuteremo la teoria degli insiemi, certi aspetti della teoria elementare dei numeri,
e la teoria di base dei gruppi e degli anelli
Per ulteriori informazioni si veda la pagina web del corso:

http://www.mat.uniroma2.it/~eal/alg2014.html

1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema
di Steinitz. Basi. Dimensione. Somme di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.
Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli
automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'.
Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi omogenei. Sistemi equivalenti.
Sistemi ridotti e normali. Risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione di Gauss. Matrici ed applicazioni lineari.
Applicazioni lineari definite da matrici. Prodotto tra matrici. Matrice inversa di una matrice quadrata non degenere. Matrici ortogonali. Formule di cambiamento di basi in uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinanti e loro applicazioni allo studio
dei sistemi lineari.
Sviluppo di un determinante con la regola di Laplace. Teorema di Binet. Metodo
di eliminazione di Gauss per il calcolo del determinante. Teorema degli orlati.
Caratterizzazione del rango di una matrice mediante i determinanti: minori fondamentali. Teorema di Cramer. Calcolo della inversa di una matrice quadrata non degenere su un campo.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati.
Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Sistemi lineari di equazioni di sottospazi.
Equazioni parametriche dei sottospazi. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi. Sottospazi paralleli, sghembi e incidenti. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle.
Affinità. Cambiamenti di coordinate. Orientazioni di uno spazio affine reale. Spazi euclidei. Prodotti scalari euclidei. L'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Il gruppo delle isometrie. Ortogonalità. Sistemi di coordinate cartesiane ortonormali. Angoli e loro funzioni trigonometriche. Distanze tra sottospazi. Prodotti vettoriali. Calcolo di aree e volumi.
3. Elementi di storia

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri.
Appunti disponibili sul sito del docente.
Altri testi consigliati: E. Sernesi, Geometria 1, Ed. Bollati-Boringhieri.

Polinomio di Taylor e applicazioni. Uniforme continuità. Integrazione secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali impropri. Serie numeriche. Stima del resto del polinomio di Taylor: sviluppabilità in serie di Taylor. Esempi e risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali del prim’ordine. Equazioni del second’ordine lineari a coefficienti costanti. Spazi metrici e normati. Successioni e continuità in spazi metrici. Completezza e compattezza in spazi metrici. Teorema delle contrazioni. Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni

• Enrico Giusti, ANALISI MATEMATICA 1, Bollati Boringhieri

1.-Algebra lineare.
Spazi vettoriali quoziente. pazio duale di uno spazio vettoriale. Diagonalizzazione di un endomormo di uno spazio vettoriale. Autovettori e autovalori. Teorema di Hamilton Cayley. Forma canonica di Jordan. Prodotti scalari e hermitiani e forme quadratiche. Procedimenti di ortogonalizzazione. Il Teorema di Jacobi.
Forme quadratiche reali. Il criterio di Sylvester. Il teorema di decomposizione spettrale. S
2.-Geometria ane e proiettiva.
Spazio complesso. Spazi proiettivi. Sottospazi. Regola di Grassmann. Proiettivita'. Riferimenti proiettivi e coordinate omogenee. Teorema fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti. Il birapporto. Spazio proiettivo duale. Teoremi di Pappo e Desargues. Relazioni tra geometria affine e geometria proiettiva. Complessificazione di uno spazio proiettivo reale. Coniche.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Boringhieri.
Appunti dalle lezioni disponibili in rete.
Altri testi consigliati:
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria, Ed. Springer Italia.
E. Sernesi, Geometria 1, Ed. Bollati-Boringhieri.
A. Franchetta, Algebra lineare e geometria analitica, Ed. Liguori.
A. Franchetta e A. Morelli, Esercizi di geometria, Parte 1 e 2, Ed. Liguori (per
gli esercizi).

Introduzione ai computer e alla programmazione.Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Le strutture. I puntatori e le strutture autoreferenzianti.
La valutazione degli algoritmi e la complessità computazionale. Notazione asintotica. Upper bound e lower
bound. Il teorema fondamentale delle ricorrenze . Il problema dell'ordinamento: selectionsort, bubblesort, insertionsort, mergesort, heapsort e quicksort. Analisi degli algoritmi e implementazione in C. Calcolo del lower bound.
Stutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprieta'. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondità di grafi non diretti e diretti. Analisi della complessita' degli algoritmi di visita e loro proprietà. Cammini e grafi Euleriani: definizioni e proprieta'. Cammini e grafi hamiltoniani: definizione. Cenni sulle classi di complessità computazionale P e NP.

Testi di riferimento:

H.Deitel,P.Deitel
Il linguaggio C-Fondamenti e Tecniche di Programmazione
Pearson Education.
C. Demetrescu, I. Finocchi, G.F.Italiano
Algoritmi e Strutture Dati
McGraw-Hill

Introduzione ai computer e alla programmazione.Il linguaggio C: variabili e tipi di dati fondamentali. Istruzioni di input-output. Controllo del flusso. Operatori aritmetici, logici e relazionali. Le funzioni e il passaggio dei parametri. Le funzioni ricorsive. Gli array: definizioni e applicazioni. Media, mediana, moda. Problemi di ricerca e ordinamento su array. Le strutture. I puntatori e le strutture autoreferenzianti.
La valutazione degli algoritmi e la complessità computazionale. Notazione asintotica. Upper bound e lower
bound. Il teorema fondamentale delle ricorrenze . Il problema dell'ordinamento: selectionsort, bubblesort, insertionsort, mergesort, heapsort e quicksort. Analisi degli algoritmi e implementazione in C. Calcolo del lower bound.
Stutture dati elementari: liste, pile e code. Definizioni e loro implementazioni con strutture linkate.
Alberi: definizioni, notazioni e proprieta'. Implementazione con strutture linkate. Visita di alberi.
Alberi binari di ricerca: definizione e implementazione in C.
Grafi: definizioni e notazioni. Implementazioni con matrici di adiacenza e liste di adiacenza. Visite in ampiezza e in profondità di grafi non diretti e diretti. Analisi della complessita' degli algoritmi di visita e loro proprietà. Cammini e grafi Euleriani: definizioni e proprieta'. Cammini e grafi hamiltoniani: definizione. Cenni sulle classi di complessità computazionale P e NP.

Anelli.
I teoremi di isomorfismo tra anelli. Anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Domini euclidei. Anello degli interi di Gauss. Domini a fattorizzazione unica. Caratteristica di un dominio di integrità.

Gruppi.

Teoremi di isomorfismo per i gruppi. Azione di un gruppo su un insieme:orbite e stabilizzatori. Il Teorema di Cauchy e il Teorema di Sylow. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi risolubili. Classificazione dei gruppi abeliani finiti.

Campi e loro estensioni.

Estensioni di campi, campo di spezzamento di un polinomio. Campi finiti. Estensioni normali. Costruzioni con riga e compasso. Gruppi di Galois. Teorema di corrispondenza di Galois. Teorema di Abel-Ruffini. Teorema fondamentale dell’algebra. Trascendenza del numero e.

G.M. Piacentini Cattaneo ‘”Algebra, un approccio algoritmico” Ed. Decibel Zanichelli

Cinematica del punto. Moti relativi. Dinamica del punto. Lavoro ed energia, campi conservativi. Dinamica dei sistemi di punti, sistemi rigidi. Legge di gravitazione universale. Meccanica dei fluidi. Temperatura e calore, primo principio della termodinamica. Secondo principio, teorema di Carnot. Integrale di Clausius, entropia. Potenziali termodinamici.

I testi verranno comunicati dal docente all'inizio del Corso

Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili reali. Integrazione di Riemann in piu' variabili e misura di Peano-Jordan. Curve in R^n. Forme
differenziali. Teorema delle funzioni implicite.

Spazi metrici. Spazi topologici. Funzioni continue tra spazi
topologici. Topologia indotta. Topologia quoziente. Azione di
gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff.
Spazi connessi. Varieta' topologiche. Classificazione delle superfici.
Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni continue. Il
gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale della circonferenza.
Spazi di rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di
rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di orbite.
Teoremi di esistenza ed unicita' per spazi di rivestimento. Il
rivestimento universale.

C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli

Programma: Introduzione ai modelli matematici di fenomeni naturali. Studio qualitativo delle equazioni differenziali ordinarie.
Meccanica del punto materiale. Cinematica del punto in un riferimento dato. Dinamica di un punto materiale in un riferimento galileiano.
Moti unidimensionali. Problema inverso. Equilibrio e stabilità. Moti centrali. Problema di Keplero. Determinazione dell'orbita
Generalità sui sistemi meccanici. Equazioni cardinali. Vincoli, sistemi vincolati. Cinematica rigida. Moti relativi. Moti rispetto a riferimenti non inerziali. Forze apparenti. Prime nozioni di statica e dinamica del corpo rigido.
Sistemi Lagrangiani.

Prerequisiti: il corso presuppone la conoscenza delle nozioni di analisi matematica e di algebra lineare che sono state svolte nei corsi precedenti del corso di laurea o che vengono introdotte parallelamente negli altri corsi dello stesso semestre

Spazi di probabilita' e proprieta'. Probabilità condizionali, eventi indipendenti. Probabilita' uniformi, Elementi di calcolo combinatorio. Modelli discreti; variabili aleatorie (v.a.) discrete e leggi; v. a. indipendenti. Leggi binomiali, geometriche, di Poisson. Speranza matematica, momenti e varianza. Disuguaglianza di Chebyshev. Covarianza. Funzioni di ripartizione. Modelli continui: leggi normali e Gamma. Speranza matematica, momenti e varianza. Densita' congiunte, indipendenza, calcolo di leggi. Distribuzione e densita' condizionale. Funzioni caratteristiche, leggi normali multivariate. Convergenza di variabili aleatorie. La legge dei grandi numeri e applicazioni. Il teorema Limite Centrale. Catene di Markov a stati discreti. Calcolo di leggi congiunte. Classificazione degli stati. Problemi di assorbimento. Probabilita' invarianti e teoremi limite. Il corso prevede attività di tutorato.

Testi consigliati
P. Baldi: Calcolo delle Probabilita'. Seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.
P. Billingsley: Probability and measure. 2nd edition. Wiley series in Probability and Mathematical Statistics, 1986.

1. Spazi metrici. La funzione distanza da un insieme. Spazi metrici completi. Il lemma delle contrazioni. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Compattezza in spazi di funzioni continue: teoremi di Ascoli-Arzelà e Dini.
2. Equazioni differenziali.
a. Richiami sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine e sulle equazioni a variabili separabili.
b. Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicità di Picard. Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati.
c. Prolungamento di soluzioni. Esistenza e unicità del prolungamento massimale. Teorema di prolungabilità. Prolungabilità in presenza di una maggiorazione a priori nel caso della striscia. Equazioni di Bernoulli. Globalità delle soluzioni massimali in ipotesi di sublinearità del campo di vettori. Prolungabilità di soluzioni massimali che restano in un compatto.
d. Sistemi differenziali lineari. Struttura affine dello spazio delle soluzioni. Matrici fondamentali di soluzioni. Dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. Sistemi lineari a coefficienti costanti: il caso di autovalori distinti. Formula di variazioni delle costanti arbitrarie.
e. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Soluzioni fondamentali, matrice wronskiana e metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni a coefficienti costanti: equazione caratteristica e sistema fondamentale di soluzioni dell'omogenea. Equazioni di Eulero. Ricerca di soluzioni particolari con termini noti di tipo speciale.
f. Flusso di un campo regolare. Continuità e proprietà di semigruppo del flusso.
Punti di equilibrio. Classificazione degli equilibri. Analisi degli equilibri di sistemi lineari autonomi bidimensionali. Funzioni di Liapunov. Teorema di stabilità di Liapunov. Criteri per lo studio del bacino di attrazione di un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Criterio di instabilità. Metodo della linearizzazione. Applicazione al modello predatore-preda.
3. Serie di funzioni.
a. Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Scambio di somma e derivata, di somma e integrale.
b. Serie di potenze. Funzioni analitiche.
c. Serie di Fourier. Funzioni periodiche. Sviluppi in serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Convergenza puntuale e convergenza uniforme della serie di Fourier. Determinazione della migliore costante in disuguaglianze di Poincaré.
4. Superfici. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici cartesiane e superfici di rotazione. Parametrizzazioni equivalenti e area di una porzione di superficie regolare. Calcolo delle aree di alcune porzioni di superfici regolari (sfera, cono, toro, paraboloide, rotazione di una cicloide). Integrale di una funzione continua su una porzione di superficie regolare.
5. Teoremi di Gauss-Green e Stokes.
a. Formula di Gauss-Green nel piano. Applicazione al calcolo di aree. Soluzione del problema isoperimetrico nel piano.
b. Il teorema di Stokes nello spazio tridimensionale.
c. Insiemi semplicemente connessi.
6. Punti di estremo vincolato.
a. Varietà differenziabili immerse in spazi euclidei. Spazio tangente e spazio normale in un punto.
b. Punti di estremo vincolato di una funzione su varietà. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.
c. Applicazioni: disuguaglianze fra medie; interpretazione variazionale degli autovalori di una matrice simmetrica.

Curve differenziabili. Lunghezza di un arco di curve e parametro arco. Curvatura e torsione. Formule di Frenet. Teorema di esistenza e unicita'.
Superfici regolari nello spazio. Forme differenziali. Piano tangente. Prima forma fondamentale. Area di una superficie regolare. Mappa di Gauss. La seconda forma fondamentale. Il Theorema Egregium di Gauss. Formule di Gauss-Weingarten.
Teorema di esistenza e unicita'. Trasporto parallelo e geodetiche. Il teorema di Gauss-Bonnet. Qualche teorema di classificazione.
Algebra tensoriale. Quadriche.
Definizione di varieta' differenziabile.

M. Abate, F. Tovena, Curve e superfici, Ed. Springer Italia.
M.M. Lipschutz, Geometria differenziale, Ed. Schaum

Il corso verte sull'apprendimento della programmazione di algoritmi
matematici in MATLAB.
In particolare si elaboreranno programmi in Matlab sui seguenti argomenti:

1. Aspetti algoritmici

2. Algebra lineare, vettori, matrici

3. Funzioni, input e output

4. For, while, break, if, switch

5. Grafica 2D e 3D

6. esempi: integrali e successioni

7. Serie di Taylor e di Fourier

8. Soluzione di ODE

9. Fast Fourier Transform (FFT)

Il corso illustra i principi della traduzione di modelli matematici in problemi aritmetici risolubili con

mezzi automatici. Argomenti trattati: aritmetica in virgola mobile e analisi dell’errore. Algebra

lineare numerica: metodi diretti e metodi iterativi per sistemi lineari. Approssimazione di soluzioni

di equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale e splines. Integrazione numerica. Cenni al

trattamento numerico di equazioni differenziali ordinarie.

La teoria dell'integrale di Lebesgue: la misura di Lebesgue in spazi euclidei, funzioni misurabili, integrazione, teoremi di convergenza, integrazione in spazi prodotto, integrali dipendenti di un parametro, cambio di variabile.
La teoria delle funzioni olomorfe: numeri complessi, forme differenziali e curve piane, logaritmo complesso e potenze con esponente complesso, funzioni olomorfe, le equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni armoniche, la formula integrale di Cauchy, sviluppo locale in serie di potenze, teorema di identità, principio del massimo, teorema dell'applicazione aperta, sviluppo in serie di Laurent, singolarità e residui, funzioni meromorfe, calcolo di integrali col metodo dei residui, funzioni biolomorfe, teorema della mappa di Riemann

TESTI CONSIGLIATI:
Dispense di C. Rea: Analisi reale e complessa,
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Marcel Dekker, 1977,
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis, Cambridge University Press, 1990
e esercizi distribuiti durante il cors

Fisica 2
prerequisiti: Campi vettoriali, tensori, quadrivettori. calcolo differenziale ed integrale in R3; teoremi di Stokes.

Il campo elettrico (leggi di Coulomb e Gauss) e magnetico (leggi di Laplace e Ampere) nel vuoto. Potenziale scalare e vettore. Le sorgenti dei campi: cariche ferme e in movimento. Correnti continue (cenni). l’equazione di continuità. Il caso non stazionario: induzione elettrica e magnetica, il campo elettromagnetico e le equazioni di Maxwell. Potenziali elettromagnetici. Onde elettromagnetiche. Richiami di Relativita' Ristretta: trasformazioni di Lorentz, spaziotempo di Minkowski, dinamica quadrivettoriale, covarianza delle equazioni di Maxwell.
Le onde elettromagnetiche: equazione di D’Alembert per i campi e per i potenziali.

Laboratorio di fisica sperimentale
Misura di una grandezza fisica: misura diretta e misura indiretta. Grandezze fondamentali e derivate. Sistemi di unità di misura. Cambiamenti di unità di misura. Incertezze casuali ed incertezze sistematiche. Errori di lettura. Cifre significative. Propagazione degli errori. Errore relativo. Stime di parametri. Verifica di ipotesi. Caratteristiche principali degli strumenti di misura. Grafici. Misure di lunghezza. Misure di massa. Pendolo semplice. Moto di un proiettile. Moti oscillatori. Legge di Boyle e seconda legge di Gay Lussac. Studio della carica e della scarica di un condensatore. Studio di fenomeni diffrattivi.
Argomenti previsti per le esercitazioni:
1. Studio del periodo di un pendolo semplice
2. Moto di un proiettile: strumento balistico.
3. Moti oscillatori con molle.
4. Studio della legge di Boyle e di Gay Lussac
5. Carica e scarica di un condensatore
6. Studio di fenomeni diffrattivi

Fisica 2
TESTI CONSIGLIATI Un qualunque manuale di Elettromagnetismo classico che tratti il potenziale vettore.
Ad esempio: Bettini: Elettromagnetismo - db Zanichelli;
Mazzoldi Nigro Voci: Fisica II (NON elementi di Fisica) - Edises;
Amaldi Bizzarri Pizzella: Fisica Generale - Zanichelli (temo non sia piu’ stampato).
Per la formulazione relativistica (non presente i tutti i testi) saranno suggeriti in aula opportuni rimedi.

laboratorio di fisica sperimentale

Bibliografia
V. Canale, “Fisica in laboratorio. Meccanica e Termodinamica, Aracne ed. (2007)
M. Severi, "Introduzione all'Esperimentazione di Fisica", Zanichelli ed. (1986).
M. Loreti, "Teoria degli errori e fondamenti di statistica", Zanichelli ed. (1998).
J.R.Taylor, " Introduzione all' analisi degli errori ", Zanichelli ed. (1982).
R. Cervellati, D. Malosti,

L’equazione di diffusione: Generalita'. Questioni di unicita'. Il principio di massimo. La soluzione fondamentale. Passeggiata aleatoria simmetrica e moto Browniano- Diffusione con trasporto e reazione. Il problema di Cauchy globale. Equazione di Laplace: Generalita'. Funzioni armoniche nel discreto e nel continuo, proprieta' di media e principio di massimo. Formula di Poisson. Diseguaglianza di Harnack e Teorema di Liouville. Soluzione fondamentale e funzione di Green. Formule di rappresentazione di Green. Cenni al problema esterno. Equazioni del primo ordine: Equazione lineare del trasporto. Modelli non lineari e metodo delle caratteristiche. Onde di shock e condizione di Rankine-Hugoniot. Problema dell’unicita' e cenni alla condizione di entropia. Trasformata di Fourier di funzioni continue. Formula di inversione. Teorema di Plancherel. Applicazioni alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Equazione delle onde: Corda vibrante - Formula di D’Alembert – Effetti di dissipazione e dispersione – Pacchetti d’onda e velocita' di gruppo – Equazione delle onde in piu' di una dimensione – Soluzione fondamentale in 3 dimensioni – Formula di Kirchoff.