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8065702 TEORIA SPETTRALE (EAM/1) in Matematica Pura e Applicata LM-40 LONGO ROBERTO
(programma)
1. Prerequisiti. Spazi di Banach, duale e topologia forte, debole e *-debole. Principio dell’uniforme limitatezza. Funzioni analitiche a valori spazi di Banach. Teorema di Tychonoff. Teorema di Alaoglu.
2. Algebre di Banach. Insieme risolvente e spettro di un elemento. Teorema di Mazur. Analicità del risolvente. Lo spettro di un elemento è compatto non-vuoto. Analiticità del risolvente e seie di Neumann. Formula del raggio spettrale.
3. Algebre di Banach commutative. Ideali massimali. Caratteri e spettro di un’algebra di Banach commutative. Caso di un’algebra con identità generata da un element o da un numero finito di elementi, spettro congiunto. Teorema dello spectral mapping per polinomi. Spettro di un elemento in una sottoalgebra abeliana massimale o minimale.
4. Calcolo funzionale analitico. Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche. Caso di spettro disconnnesso. Perturbazioni dello spettro, semicontinuità inferiore, esempi. Pertubazioni di proiettori.
5. Trasformazione di Gelfand. Elementi nilpotenti generalizzati. Caso dell’algebra l1(Z). Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche.
6. Algebre C*. Algebre involutive e norme C*. Lo spettro di un elemento autoaggiunto è reale; il raggio spettrale coincide con la norma. Lo spettro non dipende dalla sottoalgebra.
7. C*-algebre commutative. Teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. La categoria delle C*-algebre abeliane con identità è duale alla categoria degli spazi compatti di Haudorff.
8. Calcolo funzionale Boreliano. Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert. Misure basiche e calcolo funzionale L∞.
9. Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplanski. Topologia debole e forte. Compattezza debole della palla unitaria. Algebre abeliane massimali e loro caratterizzazione su uno spazio di Hilbert separabile.
10. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Elementi positive, estensione di stati. La rappresentazione GNS. Caso dell’algebra C(X). Operatori di allacciamento, sotto-rappresentzaioni, rappresentazioni equivalenti e rappresentzioni disgiunte. Caso commutativo.
11. Il teorema di molteplicità spettrale. Rappresentazioni cicliche e rappresentazioni senza molteplicità (spazio di Hilbert separabile) di una C*-algebra abeliana. Classificazione degli operatori autoggiunti (o di rappresentazioni di una C*-algebra abeliana) su uno spazio di Hilbert separabile.
12. Operatori illimitati. Operatori chiusi, chiudibili, aggiunti. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Estensione di operatori simmetrici e trasformata di Cayley. Il problema dei momenti.
 G. Pedersen, Analysis Now
W. Arveson, An Invitation to C*-Algebras
J.B. Conway - A Course in Functional Analysis
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