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FIDALEO FRANCESCO
(
programma)
1. numeri reali
– Numeri naturali, interi, razionali, costruzione dei numeri reali; principio di
induzione.
– Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà.
– Potenze, radici e logaritmi.
– Cenni di calcolo combinatorio: Permutazioni, Disposizioni, Combinazioni,binomio di Newton.
2. numeri complessi
– Definizione, rappresentazione cartesiana.
– Rappresentazione polare, esponenziale complesso: formula di Eulero, radici n–esime dell’unita.
– Formula risolvente dell’equazione di 2 grado e soluzioni di semplici equazioni algebriche e non algebriche in campo complesso.
3. funzioni reali di una variabile
– Dominio, immagine e grafico.
– Funzioni monotone e funzioni invertibili.
– Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
4. successioni
– Limite di una successione: definizione e proprietà.
– Successioni monotone, numero di Nepero.
– Limite superiore e inferiore, principali proprietà.
– Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass, successioni di Cauchy.
5. limiti di funzioni
– Richiami di topologia: intorni, intorni dei punti all'infinito, punti di accumulazioni, aperti, chiusi, chiusura, interno e frontiera di un insieme, insiemi compatti: teorema di Heine–Borel.
– Limite di una funzione: definizione e proprietà, teorema ponte.
– Infinitesimi, infiniti, confronti tra infinitesimi e infiniti, forme indeterminate,limiti notevoli, confronto all'infinito di potenze, logaritmi ed esponenziali.
– Il simbolo o.
6. funzioni continue
– Definizione, punti di discontinuità.
– Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.
– Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
– Continuità della funzione inversa.
– Uniforme continuità, teorema di Heine–Cantor.
7. calcolo differenziale per funzioni di una variabile
– Derivabilità e retta tangente, differenziale, equivalenza con il concetto di differenziabilità.
– Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
– Estremi locali e derivate.
– Teorema di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
– Derivate successive e convessità (cenni).
– Studio del grafico di funzioni.
– Teorema di de L’Hopital.
– Funzioni Lipschitziane e connessione con la derivabilità (cenni).
8. integrale di riemann
– Definizione di integrale di Riemann, proprietà, condizioni di integrabilità.
– Classi di funzioni integrabili: integrabilità di funzioni continue e monotone.
– Teorema della media e della media pesata per gli integrali.
– Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
– Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione.
– Integrazione delle funzioni razionali: fratti semplici, sostituzioni speciali.
9. integrali impropri
– Definizione di integrabilità in senso improprio.
– Integrali impropri di funzioni continue positive: teorema del confronto e del
confronto asintotico.
– Assoluta integrabilità in senso improprio.
10. polinomi di taylor
– Definizioni, teorema di Taylor per il resto.
– Formula integrale del resto e formula di Lagrange.
– Calcolo dei polinomi di Taylor di funzioni elementari.
– Applicazioni al calcolo dei limiti e ad approssimazioni di numeri irrazionali.
11. calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili
– Limiti e continuità.
– Derivate parziali e definizione di gradiente, significato geometrico.
– Derivate direzionali e derivata debole, differenziale e derivata forte, varietà tangente.
– Teorema del differenziale totale.
– Differenziabilità di funzioni composte: regola della catena.
– Funzioni a valori vettoriali, matrice Jacobiana.
– Applicazioni all’analisi vettoriale (cenni): (iper)superfici di livello, varietà normale.
– Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale.
12. introduzione alle equazioni differenziali alle derivate ordinarie
– Equazioni differenziali di ordine n risolte rispetto alla derivata di ordine più alto: trasformazione in un sistema differenziale del primo ordine, teoremi di Peano e di Cauchy (senza dimostrazione).
– Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
– L’equazione differenziale lineare del primo ordine: formula risolvente.
– Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee e non omogenee, equazione omogenea associata, polinomio caratteristico.
– Soluzioni di equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: soluzione dell’equazione omogenea associata e ricerca di una soluzione particolare dell’equazione data col metodo degli annichilatori.
Testi consigliati:
(1) M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw–
Hill, Milano.
(2) E. Callegari: Quesiti di analisi matematica, Aracne, Roma (per gli esercizi).
(3) T. M. Apostol: Calcolo, volumi I, III, Boringhieri, Torino.
(4) P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 1, Liguori, Napoli.
(5) C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1 Seconda edizione, Zanichelli,
Bologna.
