|
8037408 -
GEOMETRIA
(obiettivi)
Le nozioni di base dell'algebra lineare.
Canale: NESSUNA CANALIZZAZIONE
-
DI GENNARO VINCENZO
( programma)
Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI
1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo. 1.2 Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi geometrici, lo spazio dei polinomi. 1.3 Nozione di sottospazio, sottospazio generato, sistema di generatori. 1.4 Sistemi linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti. 1.5 Il Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. 1.6 Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann.
Capitolo 2: MATRICI
2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici. 2.2 L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e sulla trasposta di una matrice. 2.3 Operazioni e matrici elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss. 2.4 Rango di una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le operazioni elementari. 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace, proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari. 2.6 Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di una matrice. Il Teorema degli Orlati. 2.7 Calcolo esplicito dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di Gauss - Jordan.
Capitolo 3: SISTEMI LINEARI
3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale. 3.2 Il Teorema e la Regola di Cramer. 3.3 Sistemi lineari compatibili ed il Teorema di Rouche'-Capelli. 3.4 Sistemi equivalenti, operazioni elementari su un sistema lineare. 3.5 Variabili libere e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema lineare. 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione parametrica e cartesiana di un sottospazio. 3.7 Sistema lineare omogeneo associato.
Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI
4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L'applicazione delle coordinate. 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari. Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. 4.3 Struttura di un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione. 4.4 L'algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici. 4.5 Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di una matrice.
Capitolo 5: LA FORMA CANONICA DI UN OPERATORE LINEARE
5.1 Generalita' sui polinomi. Teorema fondamentale dell'Algebra. 5.2 Matrici a blocchi e proprieta' generali. Sottospazi invarianti di un operatore e matrici a blocchi. 5.3 Blocchi di Jordan. Stringhe. Il teorema di Jordan sulla forma canonica di un operatore. Operatori nilpotenti. Calcolo esplicito di una base a stringhe per un operatore. Calcolo della forma canonica senza conoscere una base a stringhe. 5.4 Polinomio minimo. Il teorema di Cayley-Hamilton. Equazioni nell'algebra delle matrici.
Capitolo 6: SISTEMI LINEARI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
6.1 Sistemi lineari di equazioni differenziali. Equazione omogenea associata. Integrale generale. Problema di Cauchy. 6.2 Calcolo esplicito dell'integrale generale con l'uso dell'esponenziale di una matrice. 6.3 Decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale. Calcolo esplicito dell'integrale generale con l'uso della Trasformata di Laplace.
Capitolo 7: FORME QUADRATICHE
7.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti. 7.2 L'algoritmo di Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo. Legge di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica. 7.3 Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite, semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il criterio di Jacobi. 7.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma euclidea. Basi ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Il gruppo $O(2)$. 7.5 Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale. Complemento ortogonale. 7.6 Il Teorema degli Assi Principali. Autovalori di una matrice simmetrica. Il Teorema Spettrale.
 Bibliografia consigliata per i primi 4 capitoli.
S. Abeasis, {{Elementi di Algebra Lineare e Geometria}}, Ed. Zanichelli
E. Ciriza, dispense sulla pagina web {{http://www.mat.uniroma2.it/$\sim$ciriza/didattica.html}}
L. Geatti, dispense sulla pagina web {{http://www.mat.uniroma2.it/$\sim$gealbis/}}
W. Keith Nicholson, Algebra lineare, Dalle applicazioni alla teoria, Editore McGraw-Hill
S. Lipschutz, {{Algebra Lineare}}, Ed. McGraw-Hill
Bibilografia consigliata per i successivi capitoli:
V. Di Gennaro, {{ Appunti del corso}}.
S. Abeasis, {{ Complementi di algebra lineare}}, Ed. Zanichelli.
N. Bakhvalov, {{ Methodes Numeriques}}, Ed. Mir.
M. Barnabei- F.Bonetti, {{ Forme quadratiche e forme bilineari simmetriche}}, Ed. Pitagora.
S. Lipschutz, {{ Algebra lineare}}, Ed. Schaum.
Mac Lane-Birkhoff, {{ Algebra}}, Ed. Mursia.
Salsa-Squellati, {{Esercizi di Analisi 2}}, Ed. Zanichelli.
V.V.Voyevodin, {{ Linear Algebra}}, Ed. Mir.
Canale: CANALE OL
-
DI GENNARO VINCENZO
( programma)
Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI
1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo. 1.2 Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi geometrici, lo spazio dei polinomi. 1.3 Nozione di sottospazio, sottospazio generato, sistema di generatori. 1.4 Sistemi linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti. 1.5 Il Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. 1.6 Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann.
Capitolo 2: MATRICI
2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici. 2.2 L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e sulla trasposta di una matrice. 2.3 Operazioni e matrici elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss. 2.4 Rango di una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le operazioni elementari. 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace, proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari. 2.6 Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di una matrice. Il Teorema degli Orlati. 2.7 Calcolo esplicito dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di Gauss - Jordan.
Capitolo 3: SISTEMI LINEARI
3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale. 3.2 Il Teorema e la Regola di Cramer. 3.3 Sistemi lineari compatibili ed il Teorema di Rouche'-Capelli. 3.4 Sistemi equivalenti, operazioni elementari su un sistema lineare. 3.5 Variabili libere e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema lineare. 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione parametrica e cartesiana di un sottospazio. 3.7 Sistema lineare omogeneo associato.
Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI
4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L'applicazione delle coordinate. 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari. Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. 4.3 Struttura di un'applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione. 4.4 L'algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici. 4.5 Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di una matrice.
Capitolo 5: LA FORMA CANONICA DI UN OPERATORE LINEARE
5.1 Generalita' sui polinomi. Teorema fondamentale dell'Algebra. 5.2 Matrici a blocchi e proprieta' generali. Sottospazi invarianti di un operatore e matrici a blocchi. 5.3 Blocchi di Jordan. Stringhe. Il teorema di Jordan sulla forma canonica di un operatore. Operatori nilpotenti. Calcolo esplicito di una base a stringhe per un operatore. Calcolo della forma canonica senza conoscere una base a stringhe. 5.4 Polinomio minimo. Il teorema di Cayley-Hamilton. Equazioni nell'algebra delle matrici.
Capitolo 6: SISTEMI LINEARI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
6.1 Sistemi lineari di equazioni differenziali. Equazione omogenea associata. Integrale generale. Problema di Cauchy. 6.2 Calcolo esplicito dell'integrale generale con l'uso dell'esponenziale di una matrice. 6.3 Decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale. Calcolo esplicito dell'integrale generale con l'uso della Trasformata di Laplace.
Capitolo 7: FORME QUADRATICHE
7.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti. 7.2 L'algoritmo di Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo. Legge di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica. 7.3 Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite, semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il criterio di Jacobi. 7.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma euclidea. Basi ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Il gruppo $O(2)$. 7.5 Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale. Complemento ortogonale. 7.6 Il Teorema degli Assi Principali. Autovalori di una matrice simmetrica. Il Teorema Spettrale.
 Bibliografia consigliata per i primi 4 capitoli.
S. Abeasis, {{Elementi di Algebra Lineare e Geometria}}, Ed. Zanichelli
E. Ciriza, dispense sulla pagina web {{http://www.mat.uniroma2.it/$\sim$ciriza/didattica.html}}
L. Geatti, dispense sulla pagina web {{http://www.mat.uniroma2.it/$\sim$gealbis/}}
W. Keith Nicholson, Algebra lineare, Dalle applicazioni alla teoria, Editore McGraw-Hill
S. Lipschutz, {{Algebra Lineare}}, Ed. McGraw-Hill
Bibilografia consigliata per i successivi capitoli:
V. Di Gennaro, {{ Appunti del corso}}.
S. Abeasis, {{ Complementi di algebra lineare}}, Ed. Zanichelli.
N. Bakhvalov, {{ Methodes Numeriques}}, Ed. Mir.
M. Barnabei- F.Bonetti, {{ Forme quadratiche e forme bilineari simmetriche}}, Ed. Pitagora.
S. Lipschutz, {{ Algebra lineare}}, Ed. Schaum.
Mac Lane-Birkhoff, {{ Algebra}}, Ed. Mursia.
Salsa-Squellati, {{Esercizi di Analisi 2}}, Ed. Zanichelli.
V.V.Voyevodin, {{ Linear Algebra}}, Ed. Mir.
|
9
|
MAT/03
|
90
|
-
|
-
|
-
|
Attività formative di base
|
ITA |
|
8037535 -
ANALISI MATEMATICA I
(obiettivi)
Padroneggiare gli argomenti contenuti nel programma del corso in modo da poter seguire il corso di Analisi Matematica 2
Canale: 3
-
BERRETTI ALBERTO
( programma)
Fondamenti
Richiami di logica e di teoria degli insiemi: i simboli della logica formale; insiemi ed operazioni sugli insiemi; insiemi complessi, relazioni, funzioni. I numeri reali: numeri naturali, interi e razionali; numeri reali; potenze, radici, logaritmi.
Funzioni di variabile reale e successioni
Funzioni reali: proprietà elementari; funzioni elementari; le funzioni in geometria. Successioni: proprietà elementari; alcune successioni notevoli; il fattoriale.
I numeri complessi
Il piano complesso: definizioni ed operazioni tra numeri complessi; il diagramma di Argand e le formule di De Moivre. Numeri complessi ed equazioni algebriche: radici di numeri complessi; equazioni algebriche.
Limiti e funzioni continue
La nozione di limite. Proprietà dei limiti: unicità del limite; teorema della permanenza del segno; teorema del confronto; operazioni algebriche sui limiti; sottosuccessioni; limite di funzioni composte; successioni e funzioni monotone; qualche disuguaglianza e alcuni limiti notevoli; il teorema “ponte”; infiniti, infinitesimi e confronti; i simboli di Landau. Limiti notevoli: potenze, esponenziali e fattoriali; limiti trigonometrici; il numero “e”; altri limiti notevoli contenenti esponenziali e logaritmi. Nozioni di topologia: punti esterni, interni, di frontiera e di accumulazione; insiemi aperti e chiusi; teorema di Bolzano-Weierstrass; compattezza; successioni fondamentali. Funzioni continue: definizioni; teorema dell’esistenza degli zeri; continuità della funzione inversa. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor.
Derivate e studio di funzioni
Definizioni: definizione ed interpretazione geometrica; derivate di ordine superiore. Proprietà elementari delle derivate: calcolo delle derivate; derivate delle funzioni elementari. Funzioni derivabili in un intervallo: teorema di Fermat; teorema di Rolle; teorema di Lagrange; teorema di Cauchy. Approssimazione di funzioni: formula di l’Hôpital; formule di Taylor con resto di Peano; formule di Taylor con resto di Lagrange. Studio di funzioni: monotonia ed estremi; convessità; asintoti; metodo generale per lo studio di una funzione; le funzioni iperboliche. Continuità, derivabilità, differenziabilità in piú variabili: definizioni ed esempi; il teorema della Derivata Totale e le sue conseguenze.
Integrali
Definizione di integrale di Riemann: somme superiori ed inferiori e loro proprietà; definizione dell’integrale di Riemann. Funzioni integrabili: un criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; integrabilità delle funzioni monotone. Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità ed additività; il teorema fondamentale del calcolo; integrazione per sostituzione; integrazione per parti. Metodi di integrazione: integrazione di funzioni razionali; integrazione di funzioni razionali di x e radicali quadratici in x; integrazione di funzioni razionali di seno e coseno; altri esempi. Integrali impropri: definizione di integrale improprio; criteri di convergenza; convergenza assoluta.
Cenni sulle equazioni differenziali
Equazioni differenziabili a variabili separabili. Uno strumento utile: esponenziale, seno e coseno nel piano complesso. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
Canale: CANALE OL
-
PERFETTI PAOLO
( programma)
Insiemi numerici (interi, interi relativi, razionali, reali, complessi)
Nozioni base di trigonometria
Nozione base di topologia dei reali
Concetto di funzione e relative proprietà
Nozione di limite, continuità.
Derivate ed integrali con teoremi di base.
Integrali impropri
Serie numeriche
Equazioni differenziali reali del primo ordine a variabili separabili
Equazioni differenziali lineari reali a coefficienti costanti del primo e secondo ordine.
Nozione base di topologia in Rn
Nozione di limite in Rn ; continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni di più variabili reali.
 Testo: Marcelli-Sbordone “Elementi di Analisi Matematica-versione semplificata per i nuovi corsi di laurea”, Masson Ed.
|
12
|
MAT/05
|
120
|
-
|
-
|
-
|
Attività formative di base
|
ITA |
|
8039351 -
ALGEBRA E LOGICA
(obiettivi)
Introduzione alle strutture matematiche discrete usate in Informatica.
Canale: NESSUNA CANALIZZAZIONE
-
SCHOOF RENATUS JOHANNES
( programma)
Linguaggio degli insiemi. Ricorrenza.
Teoria dei numeri elementare. Teoria dei gruppi, anelli, campi.
Crittografia. Algebra booleana
 S. Lipschutz, M. Lipson, Discrete Mathematics, Schaum's Outlines, McGraw-Hill 1997.
Canale: CANALE OL
-
SCHOOF RENATUS JOHANNES
( programma)
Linguaggio degli insiemi. Ricorrenza.
Teoria dei numeri elementare. Teoria dei gruppi, anelli, campi.
Crittografia. Algebra booleana
 S. Lipschutz, M. Lipson, Discrete Mathematics, Schaum's Outlines, McGraw-Hill 1997.
|
6
|
MAT/02
|
60
|
-
|
-
|
-
|
Attività formative affini ed integrative
|
ITA |