Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Il programma del corso e' il seguente: varieta' reali e complesse, sottovarieta', fibrato
tangente, fibrazioni, fibrati vettoriali e principali, algebra tensoriale di fibrati vettoriali. Fasci,
coomologia di Cech. Fibrati vettoriali e fasci localmente liberi. Successioni esatte, splitting e
connessioni su fibrati. Classi di Chern. Connessioni parziali e teorema di annullamento di Bott.

Testi consigliati: note di F. Bracci “Teoria dei Fibrati”.

1 Prima parte, funzioni olomorfe e aperti di olomorfa

Serie di potenze di piu' variabili complesse. Lemma di Abel, convergenza normale
ed assoluta, dominio di convergenza di una serie, domini di Reinhardt. Funzioni
olomorfe in piu' variabili integrale di Cauchy, sviluppo in serie di potenze di una
funzione olomorfa, disuguaglianza di Cauchy teorema di Liouvile, funzioni olomorfe
come soluzioni dell equazione _@f = 0 Teorema di inversione locale versione olomorfa
(senza dimostrazione) Teorema delle funzioni implicite versione olomorfa (senza dimostrazione)
Teorema del rango versione olomorfa (senza dimostrazione). Principio
di prolungamento analitico e principio del massimo. Teorema di Cauchy generalizzato
(per funzioni di una variabile complessa) Soluzione dell equazione _@f = g con g a supporto
compatto in Cn: Il teorema di Hartogs di estensione di funzioni olomorfe fuori
da un compatto. Convergenza uniforma sui compatti di funzioni olomorfe. Teorema
di Vitali (successioni di funzioni olomorfe equilimitate sui compatti ammettono sottosuccessioni
convergenti sui compatti). Insiemi analitici e loro dimensione(cenni),
teoremi di estensione di funzioni olomorfe fuori da insieme analitici. Cappelli di
Hartogs e loro completamenti. Aperti di olomorfa definizione e prime proprieta'.
Convessita' rispetto ad una famiglia di funzioni, aperti olomorficamente convessi Il
teorema di Cartan Thullen. Aperti di esistenza. Caratterizzazione dei domini di
convergenza di una serie come i domini di Reinhardt completi di olomor_a. Aperti a
frontiera di_erenziabile, forma di Levi e il teorema di Levi.

2 Seconda parte, aperti pseudoconvessi
Aperti pseudoconvessi, funzioni subarmoniche e plurisubarmoniche, il principio di
continuita', caratterizzazione degli aperti pseudoconvessi, caratterizzazione degli aperti
1
2 pseudconvessi a frontiera di_erenziabile, enunciazione del problema di Levi.

3 Terza parte, Stime L2 di Hormander
Forme di_erenziali di tipo (p; q) su varieta' complesse enunciato del teorema di
risolubilita' dell equazione de _@f = g su aperti pseudoconvessi. Soluzione del problema
di Levi come conseguenza del teorema di risolubilita'. Operatori chiusi densamente
de_niti su spazi di Hilbert, l operatore _@ in spazi L2 con peso, risoluzione dell
equazione _@f = g in spazi L2 con peso, regolarita' della soluzione
4 Quarta parte, teorema di Rado e automorfismi
del polidisco e della palla
Teorema di estensione di funzioni olomorfe e plurisubarmoniche attraverso insieme
pluripolari chiusi. Teorema di Rado sulle funzioni olomorfe continue al di fuori del
loro luogo di zeri. Studio del gruppo di automorfismi del disco del polidisco e della
palla.

Teoria elementare delle funzioni di piu' variabili complesse
Salvatore Coen

Holomorphic functions and integral representation in several complex variables
R. Range

Function theory of several complex variables
S. Krantz

An introduction to complex analysis in several variables
L. Hormander

Nozioni di base: Calcolo sulle varieta’, forme differenziali, coomologia di deRham.
Gruppi ed algebre di Lie. Fibrati e connessioni principali. Dfferenziazione covariante.
Varieta’ fini e Riemanniane. Connessioni invarianti. Proprieta' metriche
delle varieta’ Riemanniane. Gruppi di trasformazioni. Metriche invarianti e di
Einstein. Spazi simmetrici.

Introduzione allo studio di equazioni ellittiche e paraboliche nonlineari. Metodi di punto fisso per
l'esistenza di soluzioni. Stime a priori e compattezza. Problemi di regolarita' delle soluzioni.
Applicazioni: equazioni di Eulero di funzionali del Calcolo delle Variazioni, equazione di Fokker-
Planck. Legami con i processi di diffusione e interpretazione probabilistica.
Equazioni in forma non divergenziale: principio del massimo e soluzioni di viscosita'. Metodo di
Perron per l'esistenza di soluzioni.
Programmazione dinamica e soluzioni di viscosita' per equazioni di Hamilton-Jacobi. Applicazioni:
equazioni di Bellman e Isaacs per problemi di controllo e giochi differenziali.

Teorema di Liouville e sue conseguenze. Teorema di ricorrenza di Poincare',
Ensembles statistici. Ensembles ortodici. Equivalenza fra gli ensembles. Modello di Ising

Il corso fornisce un’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni splines con particolare
attenzione al loro utilizzo per generare e manipolare curve e superfici nell’ambito della grafica
computerizzata e del trattamento numerico di PDE (Analisi Isogeometrica)
Argomenti: limiti dell’approssimazione ed interpolazione polinomiale. Funzioni Splines e B-splines
costruzione e proprietà geometriche.
Totale positività e sue conseguenze. Curve e superfici B-spline. Raffinabilità, multirisoluzione e
suddivisione nell’ambito delle splines. Esempi ed applicazioni

Richiami di probabilita' e statistica matematica: teoremi limite, Gaussiana multivariata. Stazionarieta' debole e forte. Equazioni alle differenze finite e processi ARMA; condizioni di stazionarieta', funzioni di covarianza. Rappresentazione spettrale di processi stazionari. Periodogramma e proprieta' asintotiche. Massima verosimiglianza nel dominio delle frequenze e stime di Whittle. Cenni ai campi aleatori stazionari.

Conoscenze pre-scientifiche e scienza: cenni al problema della demarcazione. La filosofia naturale della Grecia classica. Metodo e risultati della scienza ellenistica. Il Rinascimento scientifico. L’eta' galileiana. Principali caratteristiche della scienza settecentesca. La nascita delle principali teorie dell’Ottocento: geometrie non euclidee, termodinamica, elettromagnetismo, chimica, teoria dell’evoluzione. Crisi della scienza esatta nel primo Novecento. Sviluppo dell’informatica e sue conseguenze. Mutamenti del rapporto tra scienza e tecnologia.

L'anello delle serie formali R[[x]]. L'interpretazione combinatoria delle
operazioni algebriche di R[[x]]. Coefficienti combinatori fondamentali.
Il Principio di Involuzione. Il Lemma di Gessel-Viennot. La funzione di
Mobius e l'inversione di Mobius. Funzioni generatrici razionali. Funzioni
generatrici esponenziali. Partizioni e loro funzioni generatrici. Il
Teorema della Matrice-Albero. Numeri di Catalan e loro connessioni con
cammini reticolari e polinomi ortogonali. Polinomi di Tutte. Modelli di
fisica statistica (Il problema di Ising, il ghiaccio
quadrato). Teoria di Polya. Polinomi e funzioni
simmetriche. Funzioni simmetriche monomiali ed elementari. Il teorema
fondamentale sulle funzioni simmetriche. Funzioni omogeneee e di Schur.
La corrispondenza di Schensted. Gruppi di Coxeter. Funzione lunghezza.
La rappresentazione geometrica. Sottogruppi parabolici e quozienti.
Sistemi di radici. Radici e riflessioni. La condizione di Scambio.
L'ordine di Bruhat. Il Teorema di classificazione

Prefasci e fasci su uno spazio topologico.

2) Spazio affine, Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali
radicali. Hilbert Nullstellensatz. Irriducibilita'. Varieta' affini:
esempi. Anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali di una
varieta' affine. Fascio strutturale.

3) Anelli ed ideali omogenei. Spazio proiettivo, Insiemi algebrici
proiettivi. Ideali omogenei saturati. Teorema degli zeri proiettivo.
Varieta' proiettive: anello delle coordinate omogenee, campo delle
funzioni razionali. Varieta' quasi-proiettive e localmente chiusi. Fasci
strutturali.

4) Morfismi di varieta' algebriche. Insiemi costruibili.
Esempi: morfismo di Veronese. Morfismi dominanti e morfismi finiti.
Applicazioni razionali e birazionali. Esempi: sistemi lineari di
ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni e scoppiamenti.

5) Dimensione di Krull di un anello. Grado di trascendenza. Dimensione di
una varieta' algebrica. Intersezioni complete ed intersezioni complete
insiemistiche.
Semicontinuita' della dimensione delle fibre di un morfismo dominante.

6) Spazi tangenti e non-singolarita'. Spazio tangente di Zariski. Cono
tangente.

7) Prodotti di varieta' algebriche. Varieta' di Segre. Grafico di un
morfismo. Completezza delle varieta' proiettive.

8) Funzione di Hilbert e Polinomio di Hilbert di una varieta' proiettiva.
Grado e genere aritmetico di una varieta' proiettiva. Esempi.

9) Ulteriori esempi di varieta' proiettive: Grassmanniana ed immersione di
Pluecker, curve piane, famiglie di curve piane. Scoglimento di
singolarita' di curve piane mediante scoppiamenti.

10) Divisori di Weil e divisori di Cartier su curve lisce proiettive e
gruppo di Picard. Sezioni globali. Sistemi lineari b.p.f., morfismi
composti e morfismi birazionali. Il divisore canonico, divisori speciali.
Curve razionali normali, curve canoniche. Teorema di Riemann-Roch e sua
versione geometrica. Teorema di Enriques-Babbage.

Testi seguiti/consigliati:
- C. Ciliberto, Dispense redatte a mano dal docente.
- I. Dolgachev, Introduction to Algebraic Geometry,
http://www.math.lsa.umich.edu ~idolga/631.pdf
- J. Harris, Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math.
No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52.
Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- M. Reid, Undergradutae Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student
Texts, vol. 12, 1988.
- E Sernesi, Appunti sui divisori speciali, Dispense dattiloscritte dal
docente.
- I. Shafarevich, Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New
York-Heidelberg, 1977.

Tema del corso e' il divario tra verita' e dimostrabilita'. Studieremo in un
primo tempo la cosiddetta Logica del primo ordine, e dimostreremo che in essa
i concetti di verita' e di dimostrabilita' coincidono. Affronteremo poi il
famoso teorema di Goedel secondo il quale è impossibile dimostrare tutte le
verita' dell’aritmetica (quindi a fortiori e' impossibile dimostrare tutte le
verita' matematiche). Chiudiamo esibendo due teorie nelle quali, al contrario,
esiste addirittura un algoritmo che fornisce tutte le verita': l’algebra dei
numeri reali e l’algebra dei numeri complessi.

Rappresentazioni di un gruppo finito. Sotto-rappresentazioni, somma diretta, prodotto tensoriale, potenza simmetrica ed esterna di rappresentazioni. Rappresentazione duale, rappresentazione-permutazione. Rappresentazione regolare.
Rappresentazioni irriducibili, riducibili, completamente riducibili. Teorema di Maschke. Lemma di Schur. Rappresentazioni di gruppi abeliani. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su tre elementi. Proprietà dei caratteri. Caratteri di rappresentazioni ottenute come somma diretta, prodotto tensoriale, duale, potenza simmetrica e alterna di rappresentazioni.
Caratteri lineari. Caratteri irriducibili. Tavole dei caratteri. Formula del punto fisso. Relazioni di ortogonalità. Numero delle rappresentazioni irriducibili di un gruppo. Tavola dei caratteri del gruppo diedrale di un quadrato e del gruppo dei quaternioni.
Diagrammi e tableaux di Young. Simmetrizzatori di Young. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su n elementi. Formula di Frobenius per i caratteri del gruppo simmetrico. Hook formula per le dimensioni. Regoladi Murnaghan-Nakayama.

W. Fulton-J.Harris “Representation Theory” Springer
Renata Scognamillo “Rappresentazioni di gruppi finiti e loro caratteri” Scuola Normale Superiore.

• Richiami di teoria delle equazioni differenziali: esistenza ed unicita' globale delle soluzioni per campi vettoriali C^1 e limitati. Teoria di Floquet. Sezioni di Poincare'. Teorema della dipendenza liscia dai dati iniziali e da parameteri.
• Studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di una equazione differenziale sul piano.
• Teorema della scatola del flusso. Stabilita' e funzioni di Lyapuov. Teorema di Grobman-Hartmann. Varieta' stabili e instabili: Hadamard-Perron, teorema della varieta' centrale.
• Concetto di genericità per famiglie di campi vettoriali dipendenti da parametri. Biforcazioni generiche: sella-nodo, Hopf.
• Insiemi $\omega$-limite e Teorema di Poincare'-Bendixon.
• Equazioni differenziali sul toro (bidimensionale) e riduzione allo studio dei diffeomorfismi del cerchio. Numero di rotazione. Teorema KAM.
• Sistemi Hamiltoniani e geometria simplettica. Trasformazioni canoniche. Relazione coi sistemi Lagrangiani. Sistemi completamente integrabili.
• Teoria della media. Integrale di Melnikov e ferri di cavallo.
• Sistemi dinamici misurabili (definizioni ed esempi elementari). Teorema di Krylov-Bogoliuvov. Cenni di teoria ergodica (teoremi di Birkhoff, Von Neumann, Poincarè, ergodictà, mescolamento, ..)

Aspetti teorici dell'interazione persona calcolatore. Metodologie di progetto
dell'interazione. Usabilita’. Modellamento di Sistemi Reattivi. Svolgimento di un progetto didattico

i. Recensione della Teoria dei Operatori sugli Spazi di Banach
ii. Spazi di Hilbert
iii. Operatori limitati su spazi di Hilbert
iv. Spettro di un operatore limitato
v. Operatore autoaggiunto, operatori normali e operatori unitari
vi. Gli operatori compatti e la teoria spettrale per operatori compatti
vii. Gli operatori di Hilbert-Schmidt
viii. C *-algebre ed algebre di von Neumann
ix. Struttura del commutativa C *-algebre
x. Teoria spettrale per gli operatori autoaggiunti
xi. Gli operatori nonlimitati

1. Arveson, William A short course on spectral theory. Graduate Texts in Mathematics, 209. Springer-Verlag, New York, 2002.
2. Reed, Michael; Simon, Barry Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis. Academic Press, New York-London, 1972.

i. Recensione della Teoria dei Operatori sugli Spazi di Banach
ii. Spazi di Hilbert
iii. Operatori limitati su spazi di Hilbert
iv. Spettro di un operatore limitato
v. Operatore autoaggiunto, operatori normali e operatori unitari
vi. Gli operatori compatti e la teoria spettrale per operatori compatti
vii. Gli operatori di Hilbert-Schmidt
viii. C *-algebre ed algebre di von Neumann
ix. Struttura del commutativa C *-algebre
x. Teoria spettrale per gli operatori autoaggiunti
xi. Gli operatori nonlimitati

1. Arveson, William A short course on spectral theory. Graduate Texts in Mathematics, 209. Springer-Verlag, New York, 2002.
2. Reed, Michael; Simon, Barry Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis. Academic Press, New York-London, 1972.

Si tratta di un corso di probabilita’ classico, basato sulla teoria della misura,
principalmente sulla convergenza di variabili aleatorie e leggi. In estrema sintesi:
spazi di probabilità astratti; indipendenza; legge 0-1 di Kolmogorov; lemma di Borel-Cantelli;
convergenza quasi certa; disuguaglianze di convessità; convergenza in probabilit; legge dei grandi
numeri; funzioni caratteristiche; convergenza in legge; aspettazione condizionale; martingale:
convergenza

(nota: il programma puo' subire variazioni in itinere)
La formula di quadratura dei trapezi e il metodo di estrapolazione di Romberg. Polinomi e
numeri di Bernoulli: proprieta' e applicazioni (p.es. somme delle potenze dei primi numeri naturali).
La formula di Eulero-McLaurin. Calcolo di somme di serie, della costante di Eulero-Mascaroni
e dell’errore della formula dei trapezi (i.e. giustificazione dell’efficienza del metodo di Romberg).
Stima dell’errore di una formula di quadratura. Formule di quadratura adattive.
Autovalori, principali definizioni e proprieta'. Diagonalizzazione di una matrice A simmetrica
3 × 3. Generalizzazione: matrici di Givens e il metodo di Jacobi per il calcolo degli autovalori e
degli autovettori di A simmetrica n × n (costo per passo, convergenza, variante ciclica).
Il condizionamento del problema degli autovalori di A n×n generica; Teorema di Bauer-Fike per matrici
A diagonalizzabili; il caso di matrici A normali (ovvero diagonalizzabili da unitarie). Un teorema
di localizzazione tipo Gershgorin per A normali: applicazioni. Calcolare gli autovalori di A n × n
tridiagonale o di Hessenberg con il metodo di Newton. Il caso A tridiagonale con Ai,i+1Ai+1,i 0:
localizzazione degli autovalori (che sono, in questo caso, reali e distinti) con il teorema di Sturm.
Trasformare una matrice A in una matrice di Hessenberg B mediante trasformazioni per similitu-
dine di Givens; complessita'; il caso A simmetrica. Ottimalita' delle trasformazioni di Givens: il
condizionamento di B non e' piu' grande di quello di A. Il metodo delle potenze inverse per il calcolo
dell’autovettore corrispondente ad un autovalore di cui si conosce una approssimazione.
Teoria di Perron-Frobenius per matrici A n × n non negative irriducibili. Il raggio spettrale di
A, _(A), e' un autovalore semplice di A ed esiste ed e' unico un vettore z 0 tale che Az = _(A)z,
kzk1 = 1. Se A O allora gli altri autovalori hanno modulo pi`u piccolo di _(A) (Teorema di Perron)
e il metodo delle potenze per approssimare _(A) e z `e convergente. Se A `e anche stocastica per
colonne allora _(A) = 1 e la successione di vettori generata dal metodo delle potenze zk+1 = Azk,
z0 0 kz0k = 1, converge a z. (Se A e' non negativa, irriducibile e stocastica per colonne,e' ancora
vero che _(A) = 1 e esiste ed e' unico z 0 kzk1 = 1 tale che z = Az, ma il metodo delle potenze
pu`o non convergere a z).
La matrice di transizione di Google PT del grafo associato al web. Il problema del calcolo del
vettore “page rank” p tale che p = PTp. Modifica di P per poter applicare la teoria di Perron-
Frobenius (ovvero rendere il vettore p ben definito) e per rendere convergente il metodo delle potenze
per il calcolo di p. Complessita' per passo del metodo delle potenze.
Rapporto incrementale esatto e approssimato: metodi coerenti _ per l’integrazione numerica di
problemi differenziali di Cauchy (ODE). Il metodo di Eulero; metodi di Taylor di ordine maggiore di
1. Definizione di convergenza dei metodi _; un teorema di convergenza. Apparente non convergenza
per errori di arrotondamento: scelta ottimale di h. Ulteriori importanti propriet`a su _: 1) per h
fissato 0 la soluzione discreta deve avere lo stesso andamento della soluzione esatta; 2) tale passo
h deve essere adeguato all’andamento (piccolo solo in presenza di picchi). Inefficienza, da questo
punto di vista, di Eulero su certi problemi. Rimedio: il metodo di Eulero implicito. Eulero ed
Eulero implicito per problemi di Cauchy con due equazioni; applicazione al problema di van der
Pol. Implementazione e vantaggi dei metodi impliciti. I metodi Runge Kutta come alternativa
efficiente dei metodi di Taylor.
Il metodo delle differenze finite per problemi differenziali al contorno lineari del secondo ordine.
Esistenza, unicita', convergenza quadratica e calcolo (con LLT ) della soluzione discreta.
Il metodo delle differenze finite per PDE. Equazione del calore (problema parabolico in dim
1). Schema esplicito, esistenza e unicita', calcolo (calcolare per ogni istante tj un prodotto matrice-
vettore A • z), svantaggi (per non far propagare eventuali errori, passo temporale molto piu' piccolo
di quello spaziale). Schema implicito, esistenza e unicita', calcolo (risolvere per ogni istante tj un
sistema Ax = z (LLT una sola volta)), vantaggi (passo temporale indipendente da quello spaziale).
La mezza luna metallica. Un esempio di problema parabolico (in dim 2) che diventa un problema
ellittico di cui, pur essendo nota la soluzione analitica, e' conveniente usare la soluzione discreta
proposta dal metodo delle differenze finite.
Il problema ellittico di Poisson: ben definizione della soluzione discreta alle differenze finite.
Calcolo di essa con metodi diretti e, piu' convenientemente, iterativi.
Un problema iperbolico: l’equazione della corda in R.

- Richiami di Meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche,
criteri di canonicit, parentesi di Poisson, integrali primi
- Sistemi integrabili
- Teorema di integrabilit locale
- Teorema di Arnold-Liouville e variabili azione-angolo
- Esempi di sistemi integrabili: oscillatori armonici, moto in un campo
centrale, giroscopio pesante
- Moti regolari e caotici
- Sistemi conservativi e dissipativi
- Sistemi continui e discreti, mappe di Poincar, standard map
- Gli esponenti di Lyapunov
- Il problema dei 2 corpi
- Le leggi di Keplero
- Variabili azione-angolo di Delaunay per il problema dei 3 corpi
- I punti di equilibrio Lagrangiani
- Il problema dei 3 corpi ristretto
- Dinamica rotazionale
- Risonanze spin-orbita: derivazione del modello e costruzione di
superfici invarianti
- Teoria perturbativa: teorema di Hamilton-Jacobi, teorema di Birkhoff per
gli oscillatori armonici
- Applicazione della teoria perturbativa per il calcolo della precessione
del perielio.
- Teorema KAM: dimostrazione, aritmetica degli intervalli, cenni di teoria
dei numeri e frazioni continue.
- Tecniche classiche e superconvergenti
- Cenni sul metodo di Greene
- Teorema di Nekhoroshev
- Collisioni e regolarizzazione
- Trasformazione di Levi-Civita

Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger: stati stazionari,
proprieta' nel caso 1-dimensionale, sistema a due stati, barriere e buche di potenziale, effetto tunnell.
Oscillatore armonico lineare. Momento angolare. Equazione di Schroedinger in coordinate sferiche:
moto in un campo centrale, atomo di idrogeno, formula di Bohr. Spin: matrici di Pauli, elettrone in un
campo magnetico,esperimento di Stern e Gerlach. Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale.
Struttura fine dell'atomo di idrogeno, interazione spin orbita

Scopo del corso e' il calcolo del prezzo e della copertura di opzioni europee quando il modello di mercato è scelto nella classe dei modelli continui. Sono quindi trattati argomenti propri del calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac) ed introdotti modelli di diffusione per i mercati finanziari, per lo studio dell'arbitraggio e della completezza del mercato. Particolare enfasi e' data al modello di Black e Scholes. Parte del corso e' dedicata ai metodi numerici Monte Carlo per la finanza.

•D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to stochastic calculus applied to finance. Second Edition. Chapman&Hall, 2008.
•P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni. Seconda edizione. Pitagora Editrice, 2001.
•Appunti su Calcolo stocastico applicato alla Finanza.
•Appunti su Metodi Monte Carlo in Finanza.
•P. Glasserman: Monte Carlo methods in financial engineering. Springer-Verlag, 2004.
•D. Lamberton: Optimal stopping and American options Ljubljana Summer School on Financial Mathematics, 2009

Si tratta di un corso di probabilita’ classico, basato sulla teoria della misura,
principalmente sulla convergenza di variabili aleatorie e leggi. In estrema sintesi:
spazi di probabilità astratti; indipendenza; legge 0-1 di Kolmogorov; lemma di Borel-Cantelli;
convergenza quasi certa; disuguaglianze di convessità; convergenza in probabilit; legge dei grandi
numeri; funzioni caratteristiche; convergenza in legge; aspettazione condizionale; martingale:
convergenza

(nota: il programma puo' subire variazioni in itinere)
La formula di quadratura dei trapezi e il metodo di estrapolazione di Romberg. Polinomi e
numeri di Bernoulli: proprieta' e applicazioni (p.es. somme delle potenze dei primi numeri naturali).
La formula di Eulero-McLaurin. Calcolo di somme di serie, della costante di Eulero-Mascaroni
e dell’errore della formula dei trapezi (i.e. giustificazione dell’efficienza del metodo di Romberg).
Stima dell’errore di una formula di quadratura. Formule di quadratura adattive.
Autovalori, principali definizioni e proprieta'. Diagonalizzazione di una matrice A simmetrica
3 × 3. Generalizzazione: matrici di Givens e il metodo di Jacobi per il calcolo degli autovalori e
degli autovettori di A simmetrica n × n (costo per passo, convergenza, variante ciclica).
Il condizionamento del problema degli autovalori di A n×n generica; Teorema di Bauer-Fike per matrici
A diagonalizzabili; il caso di matrici A normali (ovvero diagonalizzabili da unitarie). Un teorema
di localizzazione tipo Gershgorin per A normali: applicazioni. Calcolare gli autovalori di A n × n
tridiagonale o di Hessenberg con il metodo di Newton. Il caso A tridiagonale con Ai,i+1Ai+1,i 0:
localizzazione degli autovalori (che sono, in questo caso, reali e distinti) con il teorema di Sturm.
Trasformare una matrice A in una matrice di Hessenberg B mediante trasformazioni per similitu-
dine di Givens; complessita'; il caso A simmetrica. Ottimalita' delle trasformazioni di Givens: il
condizionamento di B non e' piu' grande di quello di A. Il metodo delle potenze inverse per il calcolo
dell’autovettore corrispondente ad un autovalore di cui si conosce una approssimazione.
Teoria di Perron-Frobenius per matrici A n × n non negative irriducibili. Il raggio spettrale di
A, _(A), e' un autovalore semplice di A ed esiste ed e' unico un vettore z 0 tale che Az = _(A)z,
kzk1 = 1. Se A O allora gli altri autovalori hanno modulo pi`u piccolo di _(A) (Teorema di Perron)
e il metodo delle potenze per approssimare _(A) e z `e convergente. Se A `e anche stocastica per
colonne allora _(A) = 1 e la successione di vettori generata dal metodo delle potenze zk+1 = Azk,
z0 0 kz0k = 1, converge a z. (Se A e' non negativa, irriducibile e stocastica per colonne,e' ancora
vero che _(A) = 1 e esiste ed e' unico z 0 kzk1 = 1 tale che z = Az, ma il metodo delle potenze
pu`o non convergere a z).
La matrice di transizione di Google PT del grafo associato al web. Il problema del calcolo del
vettore “page rank” p tale che p = PTp. Modifica di P per poter applicare la teoria di Perron-
Frobenius (ovvero rendere il vettore p ben definito) e per rendere convergente il metodo delle potenze
per il calcolo di p. Complessita' per passo del metodo delle potenze.
Rapporto incrementale esatto e approssimato: metodi coerenti _ per l’integrazione numerica di
problemi differenziali di Cauchy (ODE). Il metodo di Eulero; metodi di Taylor di ordine maggiore di
1. Definizione di convergenza dei metodi _; un teorema di convergenza. Apparente non convergenza
per errori di arrotondamento: scelta ottimale di h. Ulteriori importanti propriet`a su _: 1) per h
fissato 0 la soluzione discreta deve avere lo stesso andamento della soluzione esatta; 2) tale passo
h deve essere adeguato all’andamento (piccolo solo in presenza di picchi). Inefficienza, da questo
punto di vista, di Eulero su certi problemi. Rimedio: il metodo di Eulero implicito. Eulero ed
Eulero implicito per problemi di Cauchy con due equazioni; applicazione al problema di van der
Pol. Implementazione e vantaggi dei metodi impliciti. I metodi Runge Kutta come alternativa
efficiente dei metodi di Taylor.
Il metodo delle differenze finite per problemi differenziali al contorno lineari del secondo ordine.
Esistenza, unicita', convergenza quadratica e calcolo (con LLT ) della soluzione discreta.
Il metodo delle differenze finite per PDE. Equazione del calore (problema parabolico in dim
1). Schema esplicito, esistenza e unicita', calcolo (calcolare per ogni istante tj un prodotto matrice-
vettore A • z), svantaggi (per non far propagare eventuali errori, passo temporale molto piu' piccolo
di quello spaziale). Schema implicito, esistenza e unicita', calcolo (risolvere per ogni istante tj un
sistema Ax = z (LLT una sola volta)), vantaggi (passo temporale indipendente da quello spaziale).
La mezza luna metallica. Un esempio di problema parabolico (in dim 2) che diventa un problema
ellittico di cui, pur essendo nota la soluzione analitica, e' conveniente usare la soluzione discreta
proposta dal metodo delle differenze finite.
Il problema ellittico di Poisson: ben definizione della soluzione discreta alle differenze finite.
Calcolo di essa con metodi diretti e, piu' convenientemente, iterativi.
Un problema iperbolico: l’equazione della corda in R.

- Richiami di Meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche,
criteri di canonicit, parentesi di Poisson, integrali primi
- Sistemi integrabili
- Teorema di integrabilit locale
- Teorema di Arnold-Liouville e variabili azione-angolo
- Esempi di sistemi integrabili: oscillatori armonici, moto in un campo
centrale, giroscopio pesante
- Moti regolari e caotici
- Sistemi conservativi e dissipativi
- Sistemi continui e discreti, mappe di Poincar, standard map
- Gli esponenti di Lyapunov
- Il problema dei 2 corpi
- Le leggi di Keplero
- Variabili azione-angolo di Delaunay per il problema dei 3 corpi
- I punti di equilibrio Lagrangiani
- Il problema dei 3 corpi ristretto
- Dinamica rotazionale
- Risonanze spin-orbita: derivazione del modello e costruzione di
superfici invarianti
- Teoria perturbativa: teorema di Hamilton-Jacobi, teorema di Birkhoff per
gli oscillatori armonici
- Applicazione della teoria perturbativa per il calcolo della precessione
del perielio.
- Teorema KAM: dimostrazione, aritmetica degli intervalli, cenni di teoria
dei numeri e frazioni continue.
- Tecniche classiche e superconvergenti
- Cenni sul metodo di Greene
- Teorema di Nekhoroshev
- Collisioni e regolarizzazione
- Trasformazione di Levi-Civita

Teoremi di compattezza in spazi di funzioni continue e di Lebesgue. Spazi di Sobolev e loro proprieta'. Disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg e di Morrey, teorema di Rellich e loro conseguenze. Formulazione variazionale dei problemi ai limiti ellittici mediante gli spazi di Sobolev, esistenza e regolarita' delle soluzioni deboli. Principi di massimo. Teoria spettrale per il problema di Dirichlet. Teorema di Hille-Yosida ed equazioni di evoluzione. L'equazione del calore e delle onde, esistenza di soluzioni in spazi di Sobolev

Conoscenze pre-scientifiche e scienza: cenni al problema della demarcazione. La filosofia naturale della Grecia classica. Metodo e risultati della scienza ellenistica. Il Rinascimento scientifico. L’eta' galileiana. Principali caratteristiche della scienza settecentesca. La nascita delle principali teorie dell’Ottocento: geometrie non euclidee, termodinamica, elettromagnetismo, chimica, teoria dell’evoluzione. Crisi della scienza esatta nel primo Novecento. Sviluppo dell’informatica e sue conseguenze. Mutamenti del rapporto tra scienza e tecnologia.

Spazi lineari normati. Norma L2 e ortogonalita'. Successioni di Cauchy e completezza.
Norma uniforme. Convergenza uniforme e convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni.
Integrale di Lebesgue e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali multipli e Teorema di
Fubini. Norme Lp. Densità delle funzioni continue in Lp. Densita' delle funzioni C1 a tratti negli spazi
Lp. Inclusioni fra spazi Lp. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel. Sistemi
ortonormali completi, identita' di Parseval e sviluppi ortonormali. Proiezioni ortogonali e migliore
approssimazione nella norma hilbertiana. Serie di Fourier (trigonometriche ed in forma complessa):
convergenza L2, puntuale ed uniforme. Ordine di infinitesimo dei coefficienti di Fourier. Fenomeno di
Gibbs (tempo permettendo). Identita' approssimate. Convoluzioni e nuclei di sommabilita' (cenni)
Trasformata di Fourier in L1 ed in L2 . Trasformata di Fourier della derivata e della convoluzione.
Teorema di inversione e teorema di Plancherel. Classe di Schwartz. La trasformata di Fourier nella
classe di Schwartz. Classe di Paley-Wiener. Formula di somma di Poisson. Distribuzioni temperate e
loro trasformata di Fourier (trattazione completa o per cenni a seconda della disponibilita' di tempo).
Trasformata di Fourier di distribuzioni discrete e periodiche e relazione con la serie di Fourier.
Campionamento. Teorema di Shannon. Aliasing. Trasformata di Fourier discrete sue proprietà.
Trasformata rapida di Fourier. Trasformata discreta dei coseni.

Teoremi di compattezza in spazi di funzioni continue e di Lebesgue. Spazi di Sobolev e loro proprieta'. Disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg e di Morrey, teorema di Rellich e loro conseguenze. Formulazione variazionale dei problemi ai limiti ellittici mediante gli spazi di Sobolev, esistenza e regolarita' delle soluzioni deboli. Principi di massimo. Teoria spettrale per il problema di Dirichlet. Teorema di Hille-Yosida ed equazioni di evoluzione. L'equazione del calore e delle onde, esistenza di soluzioni in spazi di Sobolev

Conoscenze pre-scientifiche e scienza: cenni al problema della demarcazione. La filosofia naturale della Grecia classica. Metodo e risultati della scienza ellenistica. Il Rinascimento scientifico. L’eta' galileiana. Principali caratteristiche della scienza settecentesca. La nascita delle principali teorie dell’Ottocento: geometrie non euclidee, termodinamica, elettromagnetismo, chimica, teoria dell’evoluzione. Crisi della scienza esatta nel primo Novecento. Sviluppo dell’informatica e sue conseguenze. Mutamenti del rapporto tra scienza e tecnologia.

I parte (docente: Paolo Zellini)
1. Risoluzione numerica di sistemi di equazioni non lineari. Derivata direzionale.
Metodo di Newton. Teorema di Convergenza locale. Analisi critica del metodo di
Newton modificato.
2. Metodi secanti per la risoluzione numerica di sistemi di equazioni. Approssimazione
della matrice Jacobiana. Metodo di Broyden.
3. Teorema di caratterizzazione di metodi con convergenza superlineare. Condizioni
per la convergenza quadratica. Teoria della perturbazione.
4. Problemi di minimo non vincolato per funzioni reali. Metodo del gradiente.
Line search. Criterio di steepest descent (massima pendenza). Metodo di Newton
per problemi di minimo. Metodo BFGS e approssimazioni dell’Hessiano mediante
correzioni di rango 2 con trasformazioni di Givens.
5. Algoritmi newtoniani per problemi di minimo non vincolato con un costo computazionale
O(n log n) per passo. Algebre di matrici e trasformate veloci. Teorema
della proiezione di Hilbert. Algoritmi LQN.

Spazi lineari normati. Norma L2 e ortogonalita'. Successioni di Cauchy e completezza.
Norma uniforme. Convergenza uniforme e convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni.
Integrale di Lebesgue e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Integrali multipli e Teorema di
Fubini. Norme Lp. Densità delle funzioni continue in Lp. Densita' delle funzioni C1 a tratti negli spazi
Lp. Inclusioni fra spazi Lp. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel. Sistemi
ortonormali completi, identita' di Parseval e sviluppi ortonormali. Proiezioni ortogonali e migliore
approssimazione nella norma hilbertiana. Serie di Fourier (trigonometriche ed in forma complessa):
convergenza L2, puntuale ed uniforme. Ordine di infinitesimo dei coefficienti di Fourier. Fenomeno di
Gibbs (tempo permettendo). Identita' approssimate. Convoluzioni e nuclei di sommabilita' (cenni)
Trasformata di Fourier in L1 ed in L2 . Trasformata di Fourier della derivata e della convoluzione.
Teorema di inversione e teorema di Plancherel. Classe di Schwartz. La trasformata di Fourier nella
classe di Schwartz. Classe di Paley-Wiener. Formula di somma di Poisson. Distribuzioni temperate e
loro trasformata di Fourier (trattazione completa o per cenni a seconda della disponibilita' di tempo).
Trasformata di Fourier di distribuzioni discrete e periodiche e relazione con la serie di Fourier.
Campionamento. Teorema di Shannon. Aliasing. Trasformata di Fourier discrete sue proprietà.
Trasformata rapida di Fourier. Trasformata discreta dei coseni.

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- Parametri utili per la compressione
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- Proprieta' matematiche dell'entropia
- Entropia congiunta, entropia condizionata, chain rule e loro proprieta' matematiche
- Legame tra entropia e compressione
- Definizione e proprieta' matematiche della distanza di Kullback-Leibler
- Definizione e proprieta' matematiche della mutua informazione
- Codici a lunghezza variabile
- Codici non singolari, univocamente decodificabili e istantanei
- Disuguglianza di Kraft e disuguaglianza estesa di Kraft
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- Entropia differenziale e proprieta'
- Disuguaglianza di Jensen e sue conseguenze
- Bit allocation ottima con e senza trasformata
- Distorsione pesata
- Cenni sulla quantizzazione non uniforme
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- Mu-law e A-law
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- Teoremi sul legame tra il decadimento (in scala) del modulo dei coefficienti wavelet e regolarita' locale di Lipschitz
- Proprieta' di sparsita' di una base
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