Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Definizione di funzione olomorfa in più variabili complesse, Sviluppo in
serie di potenze, Formula di Cauchy, Convergenza uniforme sui compatti di
funzioni olomorfe, Preparazione di Weierstrass, Cenni sugli insiemi
analitici, Teoremi di estensione, Fenomeno di Hartogs, Domini di
olomorfia, Convessità olomorfa, Teorema di Cartan-Thullen,
Levi-convessità, Funzioni plurisubarmoniche, Pseudoconvessità, Problema di
Levi e soluzione col metodo L^2.

Demailly: Complex analytic and differential geometry
Krantz: Function theory of several complex variables
Range: Holomorphic functions and integral representations in several
complex variables
Hörmander: An introduction to complex analysis in several variables.

1) Premesse algebriche: anelli noetheriani, moduli e localizzazione.
Prefasci e fasci su uno spazio topologico.

2) Spazio affine, Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali
radicali. Hilbert Nullstellensatz. Irriducibilita'. Varieta' affini:
esempi. Anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali.
Fascio strutturale.

3) Anelli ed ideali omogenei. Spazio proiettivo, Insiemi algebrici
proiettivi. Teorema degli zeri proiettivo. Varieta' proiettive: anello
delle coordinate omogenee,
campo delle funzioni razionali. Varieta' quasi-proiettive e localmente
chiusi. Fasci
strutturali.

4) Varieta' algebriche. Morfismi di varieta' algebriche. Insiemi
costruibili. Esempi: morfismo di Veronese. Morfismi dominanti.
Applicazioni razionali e birazionali. Esempi: sistemi lineari di
ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni, scoppiamenti.
Scoglimento di singolarita' di curve piane mediante scoppiamenti.


5) Prodotti. Varieta' di Segre. Grafico di un morfismo. Completezza delle
varieta' proiettive.

6) Grado di trascendenza di un'estensione di campi. Dimensione di una
varieta' algebrica.

7) Spazi tangenti e non-singolarita'. Spazio tangente di Zariski. Cono
tangente.


Miscellanea eventuali argomenti ulteriori (tempo permettendo):

- Funzione di Hilbert e Polinomio di Hilbert di una varieta' proiettiva.
Grado e genere aritmetico di una varieta' proiettiva. Esempi.

- Morfismi finiti e ramificazione

- Semicontinuita' della dimensione delle fibre di un morfismo
dominante.

- Ulteriori esempi di varieta' proiettive: Grassmanniana ed immersione di
Pluecker, curve piane proiettive, famiglie di curve piane proiettive.

Dispense online scritte dal docente F. Flamini, scaricabili dalla pagina
web del docente.

Ulteriori testi consigliati
- I. Dolgachev, Introduction to Algebraic Geometry, reperibile
all'indirizzo http://www.math.lsa.umich.edu ~idolga/631.pdf
- J. Harris, Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math.
No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52.
Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- M. Reid, Undergradutae Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student
Texts, vol. 12, 1988.
- I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New
York-Heidelberg, 1977.

Richiami sull'omologia; coomologia, gruppi di omotopia, spazi di
Eilenberg-MacLane, fibrazioni, spazi dei lacci, omotopia razionale,
applicazioni geometriche.

C*-algebre, W*-algebre, algebre di von Neumann
Classificazione delle algebre di von Neumann (tipo I, II,III)
Esempi dei fattori II_1. Prodotto incrociato
Azione ergodica di un gruppo numerabile discreto
Algebre di Cartan
Fenomeno di solidità di Ozia
Unicità dell’ algebra di Cartan,
Rigidità von Neumann (Popa, Vaes)

Prerequisiti. Teoria spettrale

Testi consigliati: M.Takesaki “Operator Algebras”, V. Sunder Introduction to von Neumann algebras, G. Pedersen C*-algebras and their automorphism groups
Articoli recenti di S. Vaes

Argomenti di Geometria differenziale: varieta’ differenziabili reali, varietà' complesse, varietà' algebriche, esempi (sfere, spazi proiettivi, grassmanniane, gruppi di Lie classici, etc..), partizione unita’, fatti elementari sui fibrati vettoriali , fibrato tangente e cotangente, differenziale, campi vettoriali, gruppi ad un parametro, sottovarieta’, immersioni, immersioni omeomorfe, teorema dell'applicazione inversa, diffeomorfismi.

Algebra multilineare: applicazioni multilineari, algebra tensoriale, esterna, simmetrica e relativi prodotti. Isomorfismi canonici, tensori di applicazioni lineari, contrazioni.
Forme differenziali, pull-back, differenziale esterno, integrazione su varieta’ e su sottovarieta’, teoremi di Stokes e Frobenius. Coomologia di de Rham
(indicazione che si tratta di una nozione topologica, riferendosi a quanto eventualmente visto a topologia algebrica).

Argomenti di Geometria Riemanniana: Metriche Riemanniane, connessioni, geodetiche, curvature. Cenni ai teoremi di Hopf-Rinow, Hadamard (curvature vs. topology).

Cenni sui gruppi di Lie: enunciati dei tre teoremi fondamentali: corrispondenza gruppo & algebra, sottogruppi & sottoalgebre, omomorfismi di gruppi & di algebre. Azioni di gruppi, rivestimenti vs. gruppo fondamentale.

Possibili testi di riferimento:
W. Boothby, Introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Cap. I-VII
Abate &Tovena, Geometria differenziale???
F. Warner, Foundations of differential geometry e and Lie groups, Cap. I-IV + ???
N. Hicks, Notes on Differential Geometry, Cap. 1,2, 4,5,6,7, 9

Il tema del corso sara' la differenza tra le
varieta' differenziali; le varieta'-PL (PL=piecewise
linear); e le varieta'-topologiche. Il teorema
principale e il teorema di h-cobordismo di Smale,

https://en.wikipedia.org/wiki/H-cobordism

e la sua dimostrazione e i suoi corollari saranno
l'oggetto prinicipale del corso. Saranno inoltre considerati altri
fenomeni particolari alle varieta' differenziali, ad esempio la teoria di Morse,
e il teorema di trasversalita' di Thom.

Testi Consigliati:

-Milnor, John, Lectures on the h-cobordism theorem, notes by L.
Siebenmann and J. Sondow.

-Milnor, John Morse theory.

- Milnor, John Differentil topology.

-Hirsch, W & Mazur B Smoothings of Piecewise Linear Manifolds

Non sono previsti particolari prerequisiti, oltre ad una conoscenza della
matematica di base insegnata ai corsi del primo anno della laurea
triennale.

Teoria degli insiemi. Trattazione intuitiva. Linguaggio della teoria degli
insiemi. Assiomatizzazioni. Classi. Insiemi bene ordinati. Numeri ordinali
e cardinali. La gerarchia cumulativa degli insiemi. Induzione
transfinita. Aritmetica ordinale e cardinale. L'Assioma di Scelta e forme
equivalenti e deboli. Cenni ai risultati di indipendenza e di relativa non
contraddittorietà. Cenni su alcuni tipi di grandi cardinali. Cardinali
misurabili e conseguenze della loro esistenza in algebra, analisi e
topologia.

Algebra universale. Strutture algebriche. Esempi. Reticoli, semireticoli,
algebre di Boole. Sottostrutture, prodotti, prodotti sottodiretti,
omomorfismi. Congruenze. Algebre libere. Il Teorema di Birkhoff. Varietà.
Varietà distributive, permutabili, modulari. Condizioni di Mal'cev. Cenni
alle varietà dei reticoli di congruenze. Cenni alla teoria del
commutatore.

Variazioni del programma potranno essere concordate con gli studenti
all'inizio del corso. Sempre in base alle esigenze degli studenti, potrà
essere dato più spazio alla parte di teoria degli Insiemi oppure alla
parte di Algebra Universale.

Possibili testi di riferimento (dei quali non è assolutamente
necessario l'acquisto) sono:
- T. Jech, Set Theory, qualunque edizione.
- Frank R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, 1974. -
G. Grätzer, Universal algebra, qualunque edizione.
- H. P. Sankappanavar, S. Burris, A Course in Universal Algebra,
reperibile liberamente in rete.

Verranno eventualmente rese disponibili dispense, con l'indicazione di
altro materiale consultabile online.

Computer graphics is widely used in the video game and movie industry. The
goal of this course is to provide some basic techniques in computer graphics, and to give an
introduction to the programming language Java. Part 1. Introduction to Java as an object-oriented
programming language. Part 2. Principles of computer graphics, the basic rendering pipeline and photorealistic
rendering by ray-tracing. Part 3. Numerical modelling techniques based on Bezier and spline
curves.

Definizione di funzione olomorfa in più variabili complesse, Sviluppo in
serie di potenze, Formula di Cauchy, Convergenza uniforme sui compatti di
funzioni olomorfe, Preparazione di Weierstrass, Cenni sugli insiemi
analitici, Teoremi di estensione, Fenomeno di Hartogs, Domini di
olomorfia, Convessità olomorfa, Teorema di Cartan-Thullen,
Levi-convessità, Funzioni plurisubarmoniche, Pseudoconvessità, Problema di
Levi e soluzione col metodo L^2.

Demailly: Complex analytic and differential geometry
Krantz: Function theory of several complex variables
Range: Holomorphic functions and integral representations in several
complex variables
Hörmander: An introduction to complex analysis in several variables.

Il corso si propone di fornire una introduzione all’analisi dei processi stocastici
stazionari, con particolare riferimento ai metodi di analisi spettrale. Richiami di probabilità e statistica
matematica: teoremi limite, Gaussiana multivariata. Stazionarieta' debole e forte. Equazioni alle
differenze finite e processi ARMA; condizioni di stazionarietà, funzioni di covarianza.
Rappresentazione spettrale di processi stazionari. Periodogramma e proprieta' asintotiche. Massima
verosimiglianza nel dominio delle frequenze e stime di Whittle. Cenni ai campi aleatori stazionari.

Fibrati topologici. Definizioni generali ed esempi.
Richiami sui CW-complessi.
Prolungamento di sezioni. Condizioni di Serre.
Richiami sulla teoria dell’omotopia.
Successione esatta di omotopia dei fibrati di Serre.
Azioni di gruppo. Gruppi topologici e spazi omogenei.
Fibrati principali e fibrati di Steenrod topologici.
Invarianza omotopica dei fibrati di Steenrod.
Fibrati universali e costruzione di Milnor (giunti topologici).
Richiami di geometria differenziale. Spazi tangenti e fibrati vettoriali
differenziabili.
Gruppi e algebre di Lie.
Strutture differenziali di alcuni gruppi e spazi omogenei.
Variet`a di Stiefell e di Grassmann e loro fibrazioni canoniche.
Fibrati universali differenziabili.
Fibrati di Steenrod e principali differenziabili.
Superalgebre e algebre di Clifford. Gruppi eccezionali.
Campi di vettori tangenti sulle sfere.
Classi caratteristiche.

Testi consigliati. D. Husemoller: Fibre Bundles, (Third edition) New York, 1994

rappresentazioni di un gruppo finito. Sotto-rappresentazioni, somma diretta, prodotto
tensoriale, potenza simmetrica ed esterna di rappresentazioni. Rappresentazione duale,
rappresentazione-permutazione. Rappresentazione regolare. Rappresentazioni irriducibili, riducibili,
completamente riducibili. Teorema di Maschke. Lemma di Schur. Rappresentazioni di gruppi abeliani.
Rappresentazioni del gruppo simmetrico su tre elementi. Proprietà dei caratteri. Caratteri di
rappresentazioni ottenute come somma diretta, prodotto tensoriale, duale, potenza simmetrica e alterna
di rappresentazioni. Caratteri lineari. Caratteri irriducibili. Tavole dei caratteri. Formula del punto fisso.
Relazioni di ortogonalità. Numero delle rappresentazioni irriducibili di un gruppo. Tavola dei caratteri
del gruppo diedrale di un quadrato e del gruppo dei quaternioni. Diagrammi e tableaux di Young.
Simmetrizzatori di Young. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su n elementi. Formula di
Frobenius per i caratteri del gruppo simmetrico. Hook formula per le dimensioni. Regoladi Murnaghan-
Nakayama.

W.Fulton-J.Harris “Representation Theory” Springer
Renata Scognamillo “Rappresentazioni di gruppi finiti e loro caratteri” Scuola Normale Superiore.

testi adottati:

L.C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd edition, AMS (2010)
D. Gilbarg-N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second
order, 2nd ed. Springer (1998)
W. Fleming, H.M. Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity
Solutions, Springer 2006

oltre dispense fornite dal docente.

Richiami di funzioni olomorfe. Definizione di superfici di Riemann. Esempi. Funzioni olomorfe e funzioni meromorfe su superfici di Riemann. Fibrati lineari complessi. Campi di vettori su superfici di Riemann. Divisori e fibrati lineari. Forme olomorfe. Residui. (prima) classe di Chern. Teoria del potenziale e del-bar. Forme armoniche. Teorema di uniformizzazione. Il teorema di Riemann-Roch. Il teorema di Abel.

Testi consigliati:
- Varolin “Riemann Surfaces by way of complex analytic geometry” GSM 125, American Math. Soc.
- Raghavan Narasimhan “Compact Riemann surfaces” Lectures in Math. ETH Zurich
- H. M. Farkas, I. Kra “Riemann surfaces” GTM Springer-Verlag

alcolo combinatorio ( principio fondamentale del calcolo combinatorio, permutazioni, combinazioni semplici e disposizioni semplici e con ripetizione; binomio di Newton) .
Definizione di evento aleatorio e di spazio campionario. Introduzione alla probabilità (approccio classico, frequentista, soggettivo ed assiomatico). Legge delle probabilità totali, diseguaglianza di Boole. Probabilità condizionata Legge delle probabilità composte. Legge di disintegrazione, Teorema di Bayes (con dimostrazione). Indipendenza tra due eventi ed indipendenza tra n eventi. Indipendenza condizionata. (Cap 3 tutto)
Variabili aleatorie monovariate : definizione di variabile aleatoria (v.a.), funzione di ripartizione (f.r.) e sue proprietà; distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta (funzione massa di probabilità) e distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria assolutamente continua (funzione densità di probabilità);. Variabili aleatorie multivariate discrete ed assolutamente continue (con particolare attenzione al caso di vettori bidimensionali); distribuzioni marginali; distribuzioni condizionate nel caso bidimensionale: caso discreto e assolutamente continuo. Funzione di una variabile aleatoria e calcolo della sua distribuzione di probabilità ; funzione di due v.a. e calcolo della sua distribuzione di probabilità (metodo della funzione di ripartizione); Valor medio, varianza e covarianza; indipendenza tra variabili aleatorie;definizione di valore medio e sue proprietà; definizione di varianza e sue proprietà; disuguaglianza di Markov con dimostrazione, disuguaglianza di Chebishev con dimostrazione; La legge debole dei grandi numeri per v.a. indipendenti e somiglianti con dimostrazione. (paragrafi 4.1 -4.2 -4.3- 4.4- 4.5- 4.6- 4.7- 4.9)
Modelli più comuni di v.a. discreta ( bernoulliana, binomiale, degenere, geometrica, ipergeometrica e di Poisson); modelli di v.a. continua (uniforme, esponenziale, gaussiana, chi2 e student). ( dal Capitolo 5)
Concetti di base dell'inferenza statistica: popolazione, campione aleatorio e campione asservato; definizione di statistica; media e varianza campionaria e loro distribuzione di probabilità; Teorema del limite centrale;(paragrafi: 6.1-6.2-6.3-6.4-6.5)
Stimatori puntuali: stimatori di massima verosimiglianza (per il parametro di una Bernulli, di una Poisson, di una esponenziale e per la media e la varianza di una gaussiana); stimatori intervallari: intervalli di confidenza bilaterali e unilaterali per la media di una popolazione normale (caso varianza nota e non nota) e per la varianza di una popolazione normale. Accenno agli intervalli di confidenza approssimati. (paragrafi: 7.1-7.2-7.3)
Test d’ipotesi: definizione di ipotesi semplice e composta, livello di significatività di un test, p-value dei dati; verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale (caso varianza nota e non nota); (paragrafi: 8.1-8.2-8.3)

S. Ross “Probabilità e Statistica per l’ingegneria e le scienze”, Apogeo 2008.

Aspetti teorici dell'interazione persona calcolatore. Metodologie di progetto
dell'interazione. Usabilità. Modellamento di Sistemi Reattivi. Svolgimento di un progetto didattico

Spazi di probabilita' astratti. Indipendenza. Legge 0-1 di Kolmogorov. Lemma di Borel-Cantelli.
Convergenza quasi certa. Disuguaglianze di convessità. Convergenza in probabilita'.
Legge dei grandi numeri. Funzioni caratteristiche. Convergenza in legge.
Aspettazione condizionale. Martingale a tempo discreto.

Probability with martingales, D.Williams
Probability and measure, P.Billingsley

la formula di quadratura dei trapezi e il metodo di estrapolazione di Romberg. Polinomi e numeri di Bernoulli: proprietà e applicazioni (p.es. somme delle potenze dei primi numeri naturali). La formula di Eulero-McLaurin. Calcolo di somme di serie, della costante di Eulero-Mascaroni e dell’errore della formula dei trapezi (i.e. giustificazione dell’efficienza del metodo di Romberg). Stima dell’errore di una formula di quadratura. Formule di quadratura adattive. Autovalori, principali definizioni e proprietà. Diagonalizzazione di una matrice A simmetrica 3 × 3. Generalizzazione: matrici di Givens e il metodo di Jacobi per il calcolo degli autovalori e degli autovettori di A simmetrica n × n (costo per passo, convergenza, variante ciclica). Il con-dizionamento del problema degli autovalori di A n×n generica; Teorema di Bauer-Fike per matrici A diagonalizzabili; il caso di matrici A normali (ovvero diagonalizzabili da unitarie). Un teorema di localizzazione tipo Gershgorin per A normali: applicazioni. Calcolare gli autovalori di A n × n tridiagonale o di Hessenberg con il metodo di Newton. Il caso A tridiagonale con Ai,i+1Ai+1,i 0: localizzazione degli autovalori (che sono, in questo caso, reali e distinti) con il teorema di Sturm. Trasformare una matrice A in una matrice di Hessenberg B mediante trasformazioni per similitu-dine di Givens; complessità; il caso A simmetrica. Ottimalità delle trasformazioni di Givens: il condizionamento di B non è più grande di quello di A. Il metodo delle potenze inverse per il calcolo dell’autovettore corrispondente ad un autovalore di cui si conosce una approssimazione.
Teoria di Perron-Frobenius per matrici A n × n non negative irriducibili. Il raggio spettrale di A, _(A), è un autovalore semplice di A ed esiste ed è unico un vettore z 0 tale che Az = _(A)z, kzk1 = 1. Se A O allora gli altri autovalori hanno modulo più piccolo di _(A) (Teorema di Perron) e il metodo delle potenze per approssimare _(A) e z è convergente. Se A è anche stocastica per colonne allora _(A) = 1 e la successione di vettori generata dal metodo delle potenze zk+1 = Azk, z0 0 kz0k = 1, converge a z. (Se A è non negativa, irriducibile e stocastica per colonne, è ancora vero che _(A) = 1 e esiste ed è unico z 0 kzk1 = 1 tale che z = Az, ma il metodo delle potenze può non convergere a z).
La matrice di transizione di Google PT del grafo associato al web. Il problema del calcolo del vettore “page rank” p tale che p = PTp. Modifica di P per poter applicare la teoria di Perron- Frobenius (ovvero rendere il vettore p ben definito) e per rendere convergente il metodo delle potenze per il calcolo di p. Complessità per passo del metodo delle potenze.
Rapporto incrementale esatto e approssimato: metodi coerenti _ per l’integrazione numerica di problemi differenziali di Cauchy (ODE). Il metodo di Eulero; metodi di Taylor di ordine maggiore di 1. Definizione di convergenza dei metodi; un teorema di convergenza. Apparente non convergenza per errori di arrotondamento: scelta ottimale di h. Ulteriori importanti proprietà su _: 1) per h fissato 0 la soluzione discreta deve avere lo stesso andamento della soluzione esatta; 2) tale passo h deve essere adeguato all’andamento (piccolo solo in presenza di picchi). Inefficienza, da questo punto di vista, di Eulero su certi problemi. Rimedio: il metodo di Eulero implicito. Eulero ed Eulero implicito per problemi di Cauchy con due equazioni; applicazione al problema di van der Pol. Implementazione e vantaggi dei metodi impliciti. I metodi Runge Kutta come alternativa efficiente dei metodi di Taylor. Il metodo delle differenze finite per problemi differenziali al contorno lineari del secondo ordine. Esistenza, unicità, convergenza quadratica e calcolo (con LLT ) della soluzione discreta. Il metodo delle differenze finite per PDE. Equazione del calore (problema parabolico in dim1). Schema esplicito, esistenza e unicità, calcolo (calcolare per ogni istante tj un prodotto matrice- vettore A • z), svantaggi (per non far propagare eventuali errori, passo temporale molto più piccolo di quello spaziale). Schema implicito, esistenza e unicità, calcolo (risolvere per ogni istante tj un sistema Ax = z (LLT una sola volta)), vantaggi (passo temporale indipendente da quello spaziale). La mezza luna metallica. Un esempio di problema parabolico (in dim 2) che diventa un problema ellittico di cui, pur essendo nota la soluzione analitica, è conveniente usare la soluzione discreta proposta dal metodo delle differenze finite. Il problema ellittico di Poisson: ben definizione della soluzione discreta alle differenze finite. Calcolo di essa con metodi diretti e, più convenientemente, iterativi.
Un problema iperbolico: l’equazione della corda in R.

: il corso verte su un’ introduzione alla Meccanica Celeste, cioè allo studio del moto di pianeti e satelliti (sia naturali, che artificiali) del sistema solare. Si intendono affrontare gli argomenti principali della Meccanica Celeste, quali ad esempio la stabilità del sistema solare (che fine faranno la Terra e gli altri pianeti?), il motivo per il quale la Luna rivolge sempre la stessa faccia verso la Terra (e quindi vediamo solo un emisfero della Luna), le collisioni passate e future che caratterizzano il sistema solare (dalla scomparsa dei dinosauri alla previsione di impatti asteroidali). Il programma analitico del corso e il seguente:
- richiami di Meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche, criteri di canonicità, parentesi di Poisson, integrali primi
- Sistemi integrabili
- Teorema di integrabilità locale
- Teorema di Arnold-Liouville e variabili azione-angolo
- Esempi di sistemi integrabili: oscillatori armonici, moto in un campo centrale, giroscopio pesante
- Moti regolari e caotici
- Sistemi conservativi e dissipativi
- Sistemi continui e discreti, mappe di Poincarè, standard map
- Gli esponenti di Lyapunov
- Il problema dei 2 corpi
- Le leggi di Keplero
- Variabili azione-angolo di Delaunay per il problema dei 3 corpi
- I punti di equilibrio Lagrangiani
- Il problema dei 3 corpi ristretto
- Dinamica rotazionale
- Risonanze spin-orbita: derivazione del modello e costruzione di superfici invarianti
- Teoria perturbativa: teorema di Hamilton-Jacobi, teorema di Birkhoff per gli oscillatori armonici
- Applicazione della teoria perturbativa per il calcolo della precessione del perielio.
- Teorema KAM: dimostrazione, aritmetica degli intervalli, cenni di teoria dei numeri e frazioni continue.
- Tecniche classiche e superconvergenti
- Cenni sul metodo di Greene
- Teorema di Nekhoroshev
- Collisioni e regolarizzazione
- Trasformazione di Levi-Civita

Programma : prerequisiti: corso di Analisi Numerica/Calcolo Numerico; calcolo differenziale in più variabili. Introduzione all'approssimazione mediante differenze finite ed elementi finiti. Metodi per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni: i BVP di equazioni differenziali ordinarie. Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche. Problemi ai valori iniziali per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni. Zero-Stabilità e convergenza per problemi ai valori iniziali A- e L-stabilità e metodi per problemi stiff. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche, iperboliche. Derivazione delle PDE dalle leggi di conservazione e trasporto, diffusione, reazione-diffusione, trasporto-diffusione, trasporto-reazione-diffusione. Analisi di Fourier delle PDE lineari. Equazione di diffusione. Equazione del trasporto e cenni ai metodi per sistemi iperbolici. Cenni ai metodi di ordine alto. Leggi di conservazione non lineari. Soluzione sistemi lineari sparsi di grandi dimensioni generati di volta in volta dai modelli discreti e semidiscreti visti. Note sulla soluzione di alcuni sistemi lineari strutturati. Metodi agli elementi finiti e formulazione debole. Applicazione al caso lineare ellittico e parabolico 1D, cenni al caso 2D. Applicazione a problemi modello lineari e nonlineari.

Testi consigliati: R. J. LeVeque, “Finite Difference Methods for ODEs and PDEs”, Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, 2007; Alfio Quarteroni, “Modellistica Numerica per Problemi differenziali”, Springer editore, 2008; Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, 1996, 2000; Dispense, articoli e appunti del corso.

Spazi di probabilita' astratti. Indipendenza. Legge 0-1 di Kolmogorov. Lemma di Borel-Cantelli.
Convergenza quasi certa. Disuguaglianze di convessità. Convergenza in probabilita'.
Legge dei grandi numeri. Funzioni caratteristiche. Convergenza in legge.
Aspettazione condizionale. Martingale a tempo discreto.

Probability with martingales, D.Williams
Probability and measure, P.Billingsley

Programma : prerequisiti: corso di Analisi Numerica/Calcolo Numerico; calcolo differenziale in più variabili. Introduzione all'approssimazione mediante differenze finite ed elementi finiti. Metodi per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni: i BVP di equazioni differenziali ordinarie. Metodi alle differenze finite per equazioni ellittiche. Problemi ai valori iniziali per equazioni alle derivate parziali in zero dimensioni. Zero-Stabilità e convergenza per problemi ai valori iniziali A- e L-stabilità e metodi per problemi stiff. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche, iperboliche. Derivazione delle PDE dalle leggi di conservazione e trasporto, diffusione, reazione-diffusione, trasporto-diffusione, trasporto-reazione-diffusione. Analisi di Fourier delle PDE lineari. Equazione di diffusione. Equazione del trasporto e cenni ai metodi per sistemi iperbolici. Cenni ai metodi di ordine alto. Leggi di conservazione non lineari. Soluzione sistemi lineari sparsi di grandi dimensioni generati di volta in volta dai modelli discreti e semidiscreti visti. Note sulla soluzione di alcuni sistemi lineari strutturati. Metodi agli elementi finiti e formulazione debole. Applicazione al caso lineare ellittico e parabolico 1D, cenni al caso 2D. Applicazione a problemi modello lineari e nonlineari.

Testi consigliati: R. J. LeVeque, “Finite Difference Methods for ODEs and PDEs”, Steady State and Time Dependent Problems. SIAM, Philadelphia, 2007; Alfio Quarteroni, “Modellistica Numerica per Problemi differenziali”, Springer editore, 2008; Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS, 1996, 2000; Dispense, articoli e appunti del corso.

Prerequisiti: E' auspicabile una conoscenza di base di meccanica analitica (formalismo lagrangiano e hamiltoniano) e di meccanica statistica classica.

Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger: stati stazionari, proprietà nel caso 1-dimensionale, sistema a due stati, barriere e buche di potenziale, effetto tunnell. Oscillatore armonico lineare. Momento angolare. Equazione di Schroedinger in coordinate sferiche: moto in un campo centrale, atomo di idrogeno, formula di Bohr. Spin: matrici di Pauli, elettrone in un campo magnetico,esperimento di Stern e Gerlach. Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale. Struttura fine dell'atomo di idrogeno, interazione spin orbita.

Prerequisiti.
Un corso di calcolo stocastico

Si introduce la teoria moderna della finanza matematica usando modelli continui, con l'obiettivo di risolvere il problema del calcolo del prezzo e della copertura di opzioni europee. Sono quindi trattati argomenti propri del calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac) ed introdotti modelli di Ito e di diffusione per i mercati finanziari, per lo studio dell'arbitraggio e della completezza del mercato. Particolare enfasi e` data al modello di Black e Scholes. Parte del corso dedicata ai metodi numerici Monte Carlo per la finanza.

- D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to stochastic calculus applied to finance.Second Edition. Chapman&Hall, 2008.
- P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni. Appunti recenti oppure la seconda edizione edita da Pitagora Editrice, 2001.
- Appunti del docente su Calcolo stocastico applicato alla Finanza e su Metodi Monte Carlo in Finanza.

1. Prerequisiti. Spazi di Banach, duale e topologia forte, debole e *-debole. Principio dell’uniforme limitatezza. Funzioni analitiche a valori spazi di Banach. Teorema di Tychonoff. Teorema di Alaoglu.
2. Algebre di Banach. Insieme risolvente e spettro di un elemento. Teorema di Mazur. Analicità del risolvente. Lo spettro di un elemento è compatto non-vuoto. Analiticità del risolvente e seie di Neumann. Formula del raggio spettrale.
3. Algebre di Banach commutative. Ideali massimali. Caratteri e spettro di un’algebra di Banach commutative. Caso di un’algebra con identità generata da un element o da un numero finito di elementi, spettro congiunto. Teorema dello spectral mapping per polinomi. Spettro di un elemento in una sottoalgebra abeliana massimale o minimale.
4. Calcolo funzionale analitico. Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche. Caso di spettro disconnnesso. Perturbazioni dello spettro, semicontinuità inferiore, esempi. Pertubazioni di proiettori.
5. Trasformazione di Gelfand. Elementi nilpotenti generalizzati. Caso dell’algebra l1(Z). Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche.
6. Algebre C*. Algebre involutive e norme C*. Lo spettro di un elemento autoaggiunto è reale; il raggio spettrale coincide con la norma. Lo spettro non dipende dalla sottoalgebra.
7. C*-algebre commutative. Teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. La categoria delle C*-algebre abeliane con identità è duale alla categoria degli spazi compatti di Haudorff.
8. Calcolo funzionale Boreliano. Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert. Misure basiche e calcolo funzionale L∞.
9. Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplanski. Topologia debole e forte. Compattezza debole della palla unitaria. Algebre abeliane massimali e loro caratterizzazione su uno spazio di Hilbert separabile.
10. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Elementi positive, estensione di stati. La rappresentazione GNS. Caso dell’algebra C(X). Operatori di allacciamento, sotto-rappresentzaioni, rappresentazioni equivalenti e rappresentzioni disgiunte. Caso commutativo.
11. Il teorema di molteplicità spettrale. Rappresentazioni cicliche e rappresentazioni senza molteplicità (spazio di Hilbert separabile) di una C*-algebra abeliana. Classificazione degli operatori autoggiunti (o di rappresentazioni di una C*-algebra abeliana) su uno spazio di Hilbert separabile.
12. Operatori illimitati. Operatori chiusi, chiudibili, aggiunti. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Estensione di operatori simmetrici e trasformata di Cayley. Il problema dei momenti.

Libri di testo consigliati: G. Pedersen, Analysis Now
W. Arveson, An Invitation to C*-Algebras
J.B. Conway - A Course in Functional Analysis

rappresentazioni di un gruppo finito. Sotto-rappresentazioni, somma diretta, prodotto
tensoriale, potenza simmetrica ed esterna di rappresentazioni. Rappresentazione duale,
rappresentazione-permutazione. Rappresentazione regolare. Rappresentazioni irriducibili, riducibili,
completamente riducibili. Teorema di Maschke. Lemma di Schur. Rappresentazioni di gruppi abeliani.
Rappresentazioni del gruppo simmetrico su tre elementi. Proprietà dei caratteri. Caratteri di
rappresentazioni ottenute come somma diretta, prodotto tensoriale, duale, potenza simmetrica e alterna
di rappresentazioni. Caratteri lineari. Caratteri irriducibili. Tavole dei caratteri. Formula del punto fisso.
Relazioni di ortogonalità. Numero delle rappresentazioni irriducibili di un gruppo. Tavola dei caratteri
del gruppo diedrale di un quadrato e del gruppo dei quaternioni. Diagrammi e tableaux di Young.
Simmetrizzatori di Young. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su n elementi. Formula di
Frobenius per i caratteri del gruppo simmetrico. Hook formula per le dimensioni. Regoladi Murnaghan-
Nakayama.

W.Fulton-J.Harris “Representation Theory” Springer
Renata Scognamillo “Rappresentazioni di gruppi finiti e loro caratteri” Scuola Normale Superiore.

Teoremi di compattezza in spazi di funzioni continue e di Lebesgue. Spazi di Sobolev e loro proprietà. Disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg e di Morrey, teorema di Rellich e loro conseguenze. Formulazione variazionale dei problemi ai limiti ellittici mediante gli spazi di Sobolev, esistenza e regolarità delle soluzioni deboli. Principi di massimo. Teoria spettrale per il problema di Dirichlet. Teorema di Hille-Yosida ed equazioni di evoluzione. L'equazione del calore e delle onde, esistenza di soluzioni in spazi di Sobolev.

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, New York, 2011. L.C. Evans, Partial differential equations. Second edition. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.

Prerequisiti. Il corso presuppone la conoscenza delle nozioni di base sviluppate nel corso di CPComplementi
di Probabilità. Questo corso propedeutico a quello di MMMF-Metodi e Modelli dei
Mercati Finanziari.
Il Moto Browniano, definizioni e generalità; principali proprietà: regolarità delle
traiettorie, comportamento asintotico, proprietà d'invarianza. Martingale a tempo continuo (quelle a
tempo discreto e le speranze condizionali, che fanno parte del programma di CP verranno richiamate
brevemente). Processi di Markov, processi di Diffusione. L'integrale Stocastico: definizioni, principali
proprietà. La formula di Ito, applicazioni. Il teorema di Girsanov. Equazioni Differenziali Stocastiche:
esistenza e unicità delle soluzioni, proprietà di Markov, diffusioni, rappresentazione probabilistica delle
soluzioni delle Equazioni alle Derivate Parziali.

1. Prerequisiti. Spazi di Banach, duale e topologia forte, debole e *-debole. Principio dell’uniforme limitatezza. Funzioni analitiche a valori spazi di Banach. Teorema di Tychonoff. Teorema di Alaoglu.
2. Algebre di Banach. Insieme risolvente e spettro di un elemento. Teorema di Mazur. Analicità del risolvente. Lo spettro di un elemento è compatto non-vuoto. Analiticità del risolvente e seie di Neumann. Formula del raggio spettrale.
3. Algebre di Banach commutative. Ideali massimali. Caratteri e spettro di un’algebra di Banach commutative. Caso di un’algebra con identità generata da un element o da un numero finito di elementi, spettro congiunto. Teorema dello spectral mapping per polinomi. Spettro di un elemento in una sottoalgebra abeliana massimale o minimale.
4. Calcolo funzionale analitico. Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche. Caso di spettro disconnnesso. Perturbazioni dello spettro, semicontinuità inferiore, esempi. Pertubazioni di proiettori.
5. Trasformazione di Gelfand. Elementi nilpotenti generalizzati. Caso dell’algebra l1(Z). Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche.
6. Algebre C*. Algebre involutive e norme C*. Lo spettro di un elemento autoaggiunto è reale; il raggio spettrale coincide con la norma. Lo spettro non dipende dalla sottoalgebra.
7. C*-algebre commutative. Teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. La categoria delle C*-algebre abeliane con identità è duale alla categoria degli spazi compatti di Haudorff.
8. Calcolo funzionale Boreliano. Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert. Misure basiche e calcolo funzionale L∞.
9. Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplanski. Topologia debole e forte. Compattezza debole della palla unitaria. Algebre abeliane massimali e loro caratterizzazione su uno spazio di Hilbert separabile.
10. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Elementi positive, estensione di stati. La rappresentazione GNS. Caso dell’algebra C(X). Operatori di allacciamento, sotto-rappresentzaioni, rappresentazioni equivalenti e rappresentzioni disgiunte. Caso commutativo.
11. Il teorema di molteplicità spettrale. Rappresentazioni cicliche e rappresentazioni senza molteplicità (spazio di Hilbert separabile) di una C*-algebra abeliana. Classificazione degli operatori autoggiunti (o di rappresentazioni di una C*-algebra abeliana) su uno spazio di Hilbert separabile.
12. Operatori illimitati. Operatori chiusi, chiudibili, aggiunti. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Estensione di operatori simmetrici e trasformata di Cayley. Il problema dei momenti.

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- D. Salomon, Data Compression: The Complete Reference, Springer, 4th ed. 2007.
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999.

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