Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Superfice complesse compatte, ma soprattuto
superfice algebrici di tipo generale, stabilita
di Bogomolov, e la disuguaglianza di Bogomolov-Miyaoka-Yau.

Compact complex surfaces, Barth, Peters Van der Ven.
Chapters on algebraic surfaces, M. Reid.
Differential geometry of complex vector bundles,
S. Kobayashi.

Varietà topologiche e differenziabili. Funzioni e mappe lisce su varietà. Vettori tangenti, fibrato tangente e differenziale di mappe. Sommersioni, immersioni, embedding, sottovarietà. Teorema di Whitney (caso compatto). Gruppi di Lie, azioni e quozienti, spazi omogenei. Campi vettoriali, parentesi di Lie, algebre di Lie. Flussi di campi vettoriali, derivate di Lie, campi che commutano. Tensori, forme differenziali, differenziale esterno, orientazione di varietà, integrazione di forme differenziali, Teorema di Stokes. Teorema di Frobenius e applicazioni.

John M. Lee, Introduction to smooth manifolds (Second edition), Graduate Texts in Mathematics, Springer 2013

Marco Abate, Francesca Tovena, Geometria differenziale, Springer-Verlag Italia 2011

Nozioni di base. Generalità sugli insiemi. Operazioni. Strutture algebriche.
Reticoli. Semireticoli, quasigruppi. Sottoalgebre, reticolo
delle sottoalgebre. Congruenze; algebre quozienti; reticolo
delle congruenze. Morfismi; isomorfismi. Prodotti.
Termini. Algebre libere. Teorema di Birkhoff. Varieta'.
Congruenze permutabili e classi di algebre a congruenze permutabili.
Teorema di Mal'cev e alcune conseguenze.

Argomenti avanzati. Reticoli
arguesiani. Un reticolo di relazioni di equivalenza (in particolare, di
congruenze) permutabili e' modulare e arguesiano.
Termini-maggioranza e caratterizzazione delle varieta' con un
termine-maggioranza. Condizione di
Mal'cev per le varieta' a congruenze distribuitve
La "term condition" e il "Lemma di Lampe".
Esistenza e proprieta' del commutatore di congruenze in un'algebra in
una varieta' a congruenze modulari.
Termini-differenza e applicazioni.
Termini differenza-deboli e
conseguenze della loro esistenza. Ad esempio, se M_3 e' uno
0-1-sottoreticolo del reticolo delle congruenze di A e A ha un
termine-differenza debole allora A soddisfa alla term condition.

Dispense rese disponibili online.

Come possibile testo ausiliario, Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, CRC Press, 2012,

Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso.

FONDAMENTI di TEORIA degli ANELLI (commutativi unitari):
- richiami di teoria degli anelli: anelli (commutativi unitari), ideali, quozienti, morfismi, Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo, prodotti diretti;
- operazioni sugli ideali, ideali massimali, radicale di Jacobson, radicale nilpotente; anelli locali, anelli semilocali; ideali primi, dimensione di Krull di un anello;
- estensione e contrazione di ideali tramite un morfismo.

MODULI (su anelli commutativi unitari):
- moduli, sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; successioni esatte, moduli di morfismi, modulo duale;
- moduli liberi, basi di un modulo; i moduli su un campo sono tutti liberi, dimensione di un modulo su un campo; rango di un modulo libero; Lemma di Nakayama;
- elementi di torsione; proprietà notevoli dei moduli su un D.I.P.;
- prodotto tensoriale tra moduli; cambiamenti di anello di base, restrizione ed estensione di scalari; anelli e moduli di frazioni; algebre su un anello.

NOETHERIANITA` e ARTINIANITA`:
- condizioni sulle catene per moduli e anelli, noetherianità e artinianità, serie di composizione, lunghezza di un anello;
- anelli notheriani e anelli artiniani, proprietà fondamentali; Teorema della Base di Hilbert, Teorema degli Zeri di Hilbert; decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano; caratterizzazione degli anelli artiniani; teorema di struttura per gli anelli artiniani.

SPETTRO PRIMO di un ANELLO:
- lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski; funtorialità dello spettro primo;
- relazioni tra proprietà algebriche di un anello e proprietà topologiche del suo spettro primo;
- spazi topologici noetheriani, caratterizzazione degli anelli il cui spettro primo sia noetheriano.

TEORIA delle CATEGORIE:
- categorie, funtori, trasformazioni naturali; equivalenze tra categorie; aggiunzione tra funtori;
- funtori rappresentabili e loro rappresentazioni; Lemma di Yoneda;
- oggetti finali e oggetti iniziali; prodotti e coprodotti; diagrammi, coni e coconi, limiti e colimiti; limiti diretti e limiti inversi.

[1] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduzione a l'algebra commutativa”, Feltrinelli, Milano, 1981
[2] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduction to Commutative Algebra”,
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969.
[3] - C. A. Finocchiaro, “"Lo spettro primo di un anello”, dispense disponibili sul sito del docente.
[4] - J. Goedecke, “"Category Theory”" - https://www.dpmms.cam.ac.uk/~jg352/pdf/CategoryTheoryNotes.pdf
[5] - S. Lang, "Algebra”, revised Third Edition, Graduate Texts in Mathema-tics 211, Springer-Verlag New York, Inc, 2002.
[6] - M. Lanini, "Appunti Corso Algebra 3 a.a. 2017-2018” -
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYXJ0aW5hbGFuaW5pNXxneDozMTgwNjgwZjgwNTNmZGJh

A partire dallo studio di testi di matematica classica si propongono attivita' laboratoriali in
cui si valorizza il legame tra aritmetica e geometria e si pone l'attenzione sugli aspetti didattici, con speciale attenzione alle indicazioni nazionali per la matematica relative alla scuola secondaria di primo e secondo grado e alle informazioni fornite dai recenti studi in neuroscienze.
Si tratteranno, tra l'altro: la nozione di numero, il concetto di commensurabilita' e gli insiemi numerici; la radice quadrata; applicazioni del teorema di Pitagora; stime delle aree; applicazioni fisico-matematiche.

Dispense messe a disposizione dai docenti
L. Russo, G. Pirro, E. Salciccia: Euclide, il I libro degli Elementi, Carocci Editore;
M. Montessori, Psicogeometria, edito da Opera Nazionale Montessori.

A partire dallo studio di testi di matematica classica si propongono attivita' laboratoriali in
cui si valorizza il legame tra aritmetica e geometria e si pone l'attenzione sugli aspetti didattici, con speciale attenzione alle indicazioni nazionali per la matematica relative alla scuola secondaria di primo e secondo grado e alle informazioni fornite dai recenti studi in neuroscienze.
Si tratteranno, tra l'altro: la nozione di numero, il concetto di commensurabilita' e gli insiemi numerici; la radice quadrata; applicazioni del teorema di Pitagora; stime delle aree; applicazioni fisico-matematiche.

Dispense messe a disposizione dai docenti
L. Russo, G. Pirro, E. Salciccia: Euclide, il I libro degli Elementi, Carocci Editore;
M. Montessori, Psicogeometria, edito da Opera Nazionale Montessori.

A partire dallo studio di testi di matematica classica si propongono attivita' laboratoriali in
cui si valorizza il legame tra aritmetica e geometria e si pone l'attenzione sugli aspetti didattici, con speciale attenzione alle indicazioni nazionali per la matematica relative alla scuola secondaria di primo e secondo grado e alle informazioni fornite dai recenti studi in neuroscienze.
Si tratteranno, tra l'altro: la nozione di numero, il concetto di commensurabilita' e gli insiemi numerici; la radice quadrata; applicazioni del teorema di Pitagora; stime delle aree; applicazioni fisico-matematiche.

Dispense messe a disposizione dai docenti
L. Russo, G. Pirro, E. Salciccia: Euclide, il I libro degli Elementi, Carocci Editore;
M. Montessori, Psicogeometria, edito da Opera Nazionale Montessori.

Ensemble statistici
Sistemi di spin e modello di Ising.
Espansioni di alta e bassa temperatura per il modello di Ising, assenza di transizioni di fase in una dimensione, esistenza di una transizione di fase in due dimensioni
Richiami di teoria delle catene di Markov finite a tempo discreto e sua applicazione alla teoria dei sistemi di spin. Markov chain Montecarlo per il modello di Ising

Appunti del corso
Haggstrom, finite Markov chain and algorithmic applications

La computer graphics e' largamente utilizzata nell'industria cinematografica e dei video giochi. Il corso ha lo scopo di fornire le techniche di base per la computer graphics ed una introduzione alla programmazione in Java. Il corso e' formato da due parti.
Parte 1: Introduzione a Java e alla programmazione orientata agli oggetti.
Parte 2: Principi della computer graphics, fondamenti del rendering pipeline e rendering foto-realistico tramite ray-tracing.

- Thinking in JAVA, by Bruce Eckel.
- Computer Graphics Using OpenGL, by Francis S. Hill and Stephen M. Kelley.

Il corso fornisce un ’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Polinomi di Bernstein e curve di Bézier (8 ore).
B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche (24 ore).
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS (12 ore).
Proprietà di approssimazione di spazi spline (8 ore).
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica (12 ore).

C. Manni, H. Speleers: Standard and Non-standard CAGD Tools for Isogeometric Analysis: A Tutorial, Springer Lecture Notes in Mathematics 2161 (2016), 1-69.

T. Lyche, C. Manni, H. Speleers (eds.): Splines and PDEs: from Approximation Theory to Numerical Linear Algebra, Springer Lecture Notes in Mathematics 2219 (2018).

Il corso fornisce un ’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Polinomi di Bernstein e curve di Bézier (8 ore).
B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche (24 ore).
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS (12 ore).
Proprietà di approssimazione di spazi spline (8 ore).
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica (12 ore).

C. Manni, H. Speleers: Standard and Non-standard CAGD Tools for Isogeometric Analysis: A Tutorial, Springer Lecture Notes in Mathematics 2161 (2016), 1-69.

T. Lyche, C. Manni, H. Speleers (eds.): Splines and PDEs: from Approximation Theory to Numerical Linear Algebra, Springer Lecture Notes in Mathematics 2219 (2018).

Vengono studiati in dettaglio i seguenti argomenti: ray casting, modelli d'illuminazione diretta e globale, ray tracing(ricorsivo), radiosità, metodi di Monte Carlo.

- C. Garoni, "Metodi e Modelli Matematici in Computer Graphics: Rendering 3D Fotorealistico" (libro di testo fornito durante il corso).
- M. Picardello, "Rendering tridimensionale: metodi numerici, analitici e probabilistici" (libro di testo disponibile online).
- P. Dutré, K. Bala, P. Bekaert, "Advanced Global Illumination", 2nd edition, Taylor & Francis, 2006.

Introduzione - stazionarietà debole e forte. Richiami di spazi di Hilbert. Processi ARMA - condizioni di esistenza e stazionarietà, proprietà funzioni di covarianza. Teorema di Herglotz-Bochner; densità e distribuzione spettrale. Filtri lineari; densità spettrale processi ARMA. Costruzione degli integrali stocastici; teorema di rappresentazione spettrale. Stima della densità spettrale: il periodogramma e le sue proprietà asintotiche. Whittle likelihood. Processi nonstazionari: convergenza debole in spazi di funzioni, processi a radici unitarie, tests. Campi aleatori isotropi sulla sfera: rappresentazione spettrale.

Brockwell and Davis - Time Series Models, Springer

Argomenti scelti di astronomia, meccanica, scienze naturali e matematica

Lucio Russo, Stelle atomi e velieri

Si tratta di un'introduzione alla geometria algebrica con enfasi sugli aspetti aritmetici (punti razionali di varietà algebriche). In particolare, verranno trattate le curve ellittiche e, tempo permettendo, le varietà abeliane.

J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1986
A. Knapp, Elliptic curves, Princeton University Press, 1992
J. S. Milne, Elliptic curves, World Scientific, Booksurge Publishing, 2006
J.P. Serre, Lectures on the Mordell-Weil Theorem, 3rd edition, Vieweg 1997
M. Hindry, J. Silverman, Diophantine Geometry: an introduction, Springer-Verlag, 2000

Proposta A:
Gruppi liberi e presentazione di un gruppo per generatori e relazioni.
Algebra multilineare: prodotto tensoriale, simmetrico, alterno.
La categoria G-mod e l'algebra gruppo KG; sottomoduli, quozienti, somma diretta, prodotto tensoriale, duale, End, Hom, restrizione e induzione.
Moduli ciclici e quozienti di KG; moduli irriducibili e lemma di Schur; irriducibili di G X H; moduli completamente riducibili e teorema di Maschke; moduli indecomponibili (caratteristica p0 oppure gruppi infiniti - cenni e confronto con la teoria degli A-moduli).
Teoria dei caratteri.
Rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico.
Teorema del doppio centralizzatore.
Rappresentazioni polinomiali e razionali del gruppo generale lineare.

Proposta B:
Elementi di geometria algebrica: topologia di Zariski e varietà algebriche; dimensione; spazio tangente.
Introduzione ai gruppi algebrici: gruppi algebrici lineari; spazi omogenei; l'algebra di Lie di un gruppo algebrico.
Gruppi algebrici commutativi: i tori.
Gruppi algebrici risolubili.
Gruppi algebrici riduttivi: gruppo di Weyl e sistema di radici; decomposizione di Bruhat; teorema di struttura.

Proposta A:
Fulton W., Harris J., Representation Theory: a first course - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Gaiffi G., Appunti rivisitati di Teoria delle rappresentazio ( a cura di Sacco E.)
Lang S., Algebra - 3rd Edition - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Serre J.P., Linear reoresentations of finite groups - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Proposta B:
Borel A., Linear algebraic groups, second enlarged edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991
Springer T.A., Linear algebraic groups, second edition, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1998

Proposta A:
Gruppi liberi e presentazione di un gruppo per generatori e relazioni.
Algebra multilineare: prodotto tensoriale, simmetrico, alterno.
La categoria G-mod e l'algebra gruppo KG; sottomoduli, quozienti, somma diretta, prodotto tensoriale, duale, End, Hom, restrizione e induzione.
Moduli ciclici e quozienti di KG; moduli irriducibili e lemma di Schur; irriducibili di G X H; moduli completamente riducibili e teorema di Maschke; moduli indecomponibili (caratteristica p0 oppure gruppi infiniti - cenni e confronto con la teoria degli A-moduli).
Teoria dei caratteri.
Rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico.
Teorema del doppio centralizzatore.
Rappresentazioni polinomiali e razionali del gruppo generale lineare.

Proposta B:
Elementi di geometria algebrica: topologia di Zariski e varietà algebriche; dimensione; spazio tangente.
Introduzione ai gruppi algebrici: gruppi algebrici lineari; spazi omogenei; l'algebra di Lie di un gruppo algebrico.
Gruppi algebrici commutativi: i tori.
Gruppi algebrici risolubili.
Gruppi algebrici riduttivi: gruppo di Weyl e sistema di radici; decomposizione di Bruhat; teorema di struttura.

Proposta A:
Fulton W., Harris J., Representation Theory: a first course - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Gaiffi G., Appunti rivisitati di Teoria delle rappresentazio ( a cura di Sacco E.)
Lang S., Algebra - 3rd Edition - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Serre J.P., Linear reoresentations of finite groups - Graduate Texts in Mathematics, Springer
Proposta B:
Borel A., Linear algebraic groups, second enlarged edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991
Springer T.A., Linear algebraic groups, second edition, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1998

"Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali: motivazioni,
esempi e strategie risolutive delle equazioni di Poisson, del calore e delle onde.
Formulazione debole della soluzione di problemi ellittici.
Teorema di Lax-Milgram, problemi lineari, autovalori.
Problemi ellittici semilineari, metodi risolutivi variazionali e non variazionali."

L. C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010
A. Ambrosetti, G. Prodi: A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, 1995

Metriche Riemanniane su una varietà differenziabile, esempi, sottovarietà, rivestimenti, tori. Connessioni, derivata covariante, teorema di esistenza e unicità della connessione di Levi Civita, derivata covariante lungo una curva, spostamento parallelo, esempi. Geodetiche, teorema di esistenza ed unicità esempi. Mappa esponenziale, coordinate normali geodetiche intorno ad un punto dato. Geodetiche minimali locali, distanza indotta da una metrica Riemanniana.
Completezza, teorema di Hopf-Rinow. Isometrie locali e rivestimenti, completezza, sommersioni isometriche. Tensore di curvatura, curvatura sezionale. Teorema Egregium di Gauss. Forme di connessione, equazioni di struttura. Esempi. Spazio delle curve, variazione prima e seconda dell'energia. Campi di Jacobi. Teorema di Cartan–Hadamard, curvatura di Ricci, teorema di Mayer.
Gruppi di Lie, prime proprietà ed esempi. Algebre di Lie, mappa esponenziale, sottogruppi di Lie: i tre teoremi fondamentali. Metriche biinvarianti su gruppi di Lie compatti: geodetiche, curvatura, mappa esponenziale.

Do Carmo, M. P. Riemannian Geometry.
Boothby W. M. An introduction to differentiable manifold and Riemannian Geometry.
Gallot S., Hulin D., Lafontaine J.. Riemannian Geometry.
Varadarajan V. S., Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations.

Complessi simpliciali. Complessi di catene. Gruppi di omologia. Sequenze esatte. Omologia persistente. Applicazioni all'analisi dati.

Edelsbrunner, Harer. Computational topology, an introduction. Duke University.

Moto Browniano. Martingale a tempo continuo. Integrale stocastico, calcolo stocastico.
Equazioni differenziali stocastiche.

P. Baldi, Stochastic calculus, Springer, 2017

Definizioni base: Loss function, Risk function, Bias e Varianza. La regressione lineare da
un punto di vista algebrico e da un punto di vista geometrico. Proprietà distribuzionali dello stimatore
ai minimi quadrati e loro utilizzo per la costruzione di test di ipotesi e di intervalli di confidenza e di
predizione. Il teorema di Gauss-Markov. I Generalized Linear Models (GLM): exponential dispersion
family distribution e link function. L’algoritmo Iterative Reweighted Least Square (I.R.L.S.) per il calcolo
dello stimatore di Massima Verosimiglianza per un GLM. Tecniche per il trattamento di dati ad alta dimensione. Il metodo della Best Subset Selection, il metodo della Forward Stepwise Selection, il metodo
della PC regression e della supervised PC regression, i Partial Least Square, la penalizzazione Ridge e la
penalizzazione LASSO. L’algoritmo Pathwise coordinate descendent. Proprietà teoriche dello stimatore
lasso nel caso di modello lineare. Possibili miglioramenti del metodo Lasso: elastic net, relaxed lasso,
adaptive lasso. Le penalty SCAD e MCP. Utilizzo del modello lineare per lavorare con modelli non lineari sia parametrici che non parametrici. La regressione polinomiale a tratti: le regression splines e le
smoothing splines.

T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman: The Elements of Statistical Learning, Springer, 2009

Nozioni di analisi dell’errore. Matrici sparse, calcolo parallelo e acceleratori hardware. Tecniche di proiezione. Algoritmi di proiezione in sottospazi di Krylov: CG and GMRES. BiCG, CGS, BiCGStab. Flexible GMRES (FGMRES).
Precondizionatori a fattorizzatione incompleta. Precondizionatori per alcuni sistemi strutturati. Nozioni di funzioni di matrici.
Calcolo efficiente di funzioni di matrici. Applicazione all’integrazione di modelli di PDE e big data.
Grafi e matrici nella complex network analysis.
Matrici di adiacenza, laplaciana, di incidenza.
Misure di centralità e importanza dei dati. Cenni all'evoluzione e alla robustezza di una rete complessa con applicazioni alla social network analysis, reti biologiche, in finanza,nelle reti di comunicazione, internet e trasporti, negli algoritmi
di consenso.

D. Bertaccini, F. Durastante
Iterative Methods and Preconditioning for Large and Sparse Linear Systems with Applications
Chapman and Hall/CRC, 2018.

Richiami di teoria delle equazioni differenziali: esistenza ed unicità globale delle soluzioni per campi vettoriali C^1 e limitati. Teoria di Floquet. Sezioni di Poincarè. Teorema della dipendenza liscia dai dati iniziali e da parameteri.
Studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di una equazione differenziale sul piano.
Teorema della scatola del flusso. Stabilità e funzioni di Lyapuov. Teorema di Grobman-Hartmann. Varietà stabili e instabili: Hadamard-Perron, teorema della varietà centrale.
Concetto di genericità per famiglie di campi vettoriali dipendenti da parametri. Biforcazioni generiche: sella-nodo, Hopf.
Insiemi $\omega$-limite e Teorema di Poincarè-Bendixon.
Equazioni differenziali sul toro (bidimensionale) e riduzione allo studio dei diffeomorfismi del cerchio. Numero di rotazione. Teorema KAM.
Sistemi Hamiltoniani e geometria simplettica. Trasformazioni canoniche. Relazione coi sistemi Lagrangiani. Sistemi completamente integrabili.
Teoria della media. Integrale di Melnikov e ferri di cavallo.
Sistemi dinamici misurabili (definizioni ed esempi elementari). Teorema di Krylov-Bogoliuvov. Cenni di teoria ergodica (teoremi di Birkhoff, Von Neumann, Poincarè, ergodicità, mescolamento, ..).

HIRSCH Morris W., SMALE Stephen, DIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMICAL SYSTEMS, AND LINEAR ALGEBRA
Katok Hasselblatt INTRODUCTION TO MODERN DYNAMICAL SYSTEMS, Cambridge University Press.
Inoltre saranno messe in rete le note delle lezioni

Verranno trattati argomenti scelti di probabilità e statistica in alta dimensione. Verrà dato particolare risalto all'applicazione di tecniche avanzate a problemi applicati in diversi campi.
Gli argomenti principali del corso includono: disuguglianze di concentrazione; vettori aleatori in alta dimensione; applicazioni ai grafi aleatori; matrici aleatorie; applicazioni a problemi in computer e data science; processi stocastici gaussiani e subgaussiani; chaining; applicazioni allo statistical learning; metric entropy; principal component analysis in alta dimensione.

- Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science;
- Martin J. Wainwright, High-Dimensional Statistics: A Non-Asymptotic Viewpoint.

test driven design
statecharts
basi di dati

Lasse Koskela
Test Driven
Manning

David Harel, Michael Politi
Modeling Reactive Systems with Statecharts: the STATEMATE approach
McGraw Hill

P.Atzeni et al.
Basi di Dati
McGraw Hill

Polinomi di Bernoulli, formula di Eulero-Maclaurin, metodi numerici per il calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici, metodo delle potenze, teoria di Perron-Frobenius, l'importanza dei nodi nei grafi orientati (page-rank), metodi di tipo differenze finite per la risoluzione di problemi differenziali e/o migliore approssimazione di una matrice in algebre di bassa complessita'.

appunti del docente e di ex-studenti

Fondamenti della meccanica statistica classica. Teoria degli
ensemble,funzioni termodinamiche, applicazioni elementari.
Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger,
barriere e buche di potenziale, effetto tunnell. Oscillatore
armonico lineare. Momento angolare. Atomo di idrogeno.Spin.
Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale.Struttura fine.
Particelle identiche. Gas quantistici di Fermi-Dirac e Bose-
Einstein. Gas di Fermi. Corpo nero, condensazione di Bose.

I testi saranno comunicati dal docente all'inizio del corso.

Il corso si propone lo studio dei modelli continui in tempo e in spazio per la descrizione dei mercati finanziari e, in particolare, dei due problemi fondamentali in finanza: valutazione del prezzo e calcolo della copertura di opzioni. La prima parte del corso è dedicata a richiami ed approfondimenti di calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac). Successivamente vengo introdotti i modelli continui (modelli di Itô, processi di diffusione) per la finanza, le strategie di gestione, l'arbitraggio e la completezza del mercato. Particolare enfasi è data al modello di Black e Scholes. La parte finale del corso è dedicata ai metodi numerici Monte Carlo in finanza. Saranno infine proposti alcuni approfondimenti a scelta dello studente (tassi di interesse, opzioni americane, applicazioni del calcolo di Malliavin alla finanza).

- P. Baldi: Stochastic Calculus. An Introduction Through Theory and Exercises. Springer, 2017.
- D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to stochastic calculus applied to finance. Second Edition. Chapman&Hall, 2008.
- Lecture Notes on Monte Carlo methods in Finance.
- P. Glasserman: Monte Carlo methods in financial engineering. Springer-Verlag, 2004.
- D. Lamberton: Optimal stopping and American options Ljubljana Summer School on Financial Mathematics, 2009.
- D. Brigo, A. Dalessandro, M. Neugebauer, F. Triki: A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, Journal of Risk Management in Financial Institutions, 2(4), 2008-2009.

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

- C. K. Chui : An Introduction to wavelets, Academic Press, 1992
- I. Daubechies: Ten lectures on wavelets, SIAM 1992
- Y. Katznelson: An introduction to harmonic Analysis, Cambridge University Press 2004
- M. Picardello: Analisi armonica: aspetti classici e numerici (disponibile online a http://
www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/home_materiali_STM.html)
- E. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press 2007

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

- C. K. Chui : An Introduction to wavelets, Academic Press, 1992
- I. Daubechies: Ten lectures on wavelets, SIAM 1992
- Y. Katznelson: An introduction to harmonic Analysis, Cambridge University Press 2004
- M. Picardello: Analisi armonica: aspetti classici e numerici (disponibile online a http://
www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/home_materiali_STM.html)
- E. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press 2007

CONTROLLO DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Osservabilità, controllabilità e stabilizzabilità di processi di controllo lineari a coefficienti costanti su spazi euclidei. Cotrollo ottimo: risultati di esistenza per i problemi di Mayer e Bolza con vincoli di stato. Condizioni necessarie di ottimalità per i problemi di Mayer e Bolza in tempo libero con bersaglio.

EQUAZIONI DI EVOLUZIONE
1. Semigruppi di operatori lineari e continui su spazi di Banach. Generatore infinitesimale. Teorema di Hille-Yosida. Comportamento asintotico. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni paraboliche del secondo ordine.
2. Operatori dissipativi e massimali dissipativi. Teoremi di Lumer-Phillips. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni iperboliche del secondo ordine.
3. Aggiunto di un operatore lineare nel caso Hilbertiano. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Teorema di Stone. Applicazione all’equazione di Schrödinger.
4. Il problema di Cauchy non omogeneo. Il caso degli operatori autoaggiunti e dissipativi.

CONTROLLO DI EQUAZIONI PARABOLICHE DEL SECONDO ORDINE
1. Il problema della controllabilità per equazioni di evoluzioni. Nozioni di osservabilità.
2. Controllabilità a zero con il metodo dei momenti.
3. Stime di Carleman per equazioni ellittiche e paraboliche del secondo ordine. Applicazione all’ osservabilità.
4. Il modello di Budyko-Sellers in climatologia.

CONTROLLO DI EQUAZIONI IPERBOLICHE DEL SECONDO ORDINE
1. Osservabilità e controllabilità dell’equazione delle corde vibranti con la formula di d’Alembert.
2. Studio delle equazioni di evoluzione del secondo ordine con il metodo di Fourier.
3. Osservabilità di modelli elastici con il metodo dei moltiplicatori.
4. Controllabilità di modelli elastici con il metodo HUM.
5. Stabilizzazione di modelli elastici.

APPENDICE: RICHIAMI SUGLI SPAZI DI SOBOLEV
1. Spazi di Sobolev su domini limitati nel caso hilbertiano.
2. Duali di spazi di Sobolev.

P. Cannarsa - F. Gazzola, Dynamic Optimization for Beginners, with prerequisites and applications, EMS Publishing House

P. Cannarsa, Lecture notes on evolution equations, http://www.mat.uniroma2.it/~cannarsa/EAM2_2019.pdf

P. Cannarsa – V. Komornik, Lecture notes on observability and control for evolution equations, in preparation

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

- C. K. Chui : An Introduction to wavelets, Academic Press, 1992
- I. Daubechies: Ten lectures on wavelets, SIAM 1992
- Y. Katznelson: An introduction to harmonic Analysis, Cambridge University Press 2004
- M. Picardello: Analisi armonica: aspetti classici e numerici (disponibile online a http://
www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/home_materiali_STM.html)
- E. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press 2007

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

- C. K. Chui : An Introduction to wavelets, Academic Press, 1992
- I. Daubechies: Ten lectures on wavelets, SIAM 1992
- Y. Katznelson: An introduction to harmonic Analysis, Cambridge University Press 2004
- M. Picardello: Analisi armonica: aspetti classici e numerici (disponibile online a http://
www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/home_materiali_STM.html)
- E. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis, Princeton University Press 2007

Teoremi di compattezza in spazi di funzioni. Derivate deboli e distribuzioni. Spazi di Sobolev e loro proprietà. Teoremi di immersione. Formulazione debole delle equazioni ellittiche e teoremi di esistenza in spazi di Sobolev. Applicazioni della teoria di Fredholm e della teoria spettrale degli operatori compatti. Regolarità delle soluzioni. Principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche. Semigruppi di operatori ed esistenza di soluzioni deboli per equazioni di evoluzione. Esempi di problemi non lineari.

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010

H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2010)