Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Definizione di funzione olomorfa in più variabili complesse, Sviluppo in
serie di potenze, Formula di Cauchy, Convergenza uniforme sui compatti di
funzioni olomorfe, Preparazione di Weierstrass, Cenni sugli insiemi
analitici, Teoremi di estensione, Fenomeno di Hartogs, Domini di
olomorfia, Convessità olomorfa, Teorema di Cartan-Thullen,
Levi-convessità, Funzioni plurisubarmoniche, Pseudoconvessità, Problema di
Levi e soluzione col metodo L^2.

Demailly: Complex analytic and differential geometry
Krantz: Function theory of several complex variables
Range: Holomorphic functions and integral representations in several
complex variables
Hörmander: An introduction to complex analysis in several variables.

1) Premesse algebriche: anelli noetheriani, nozioni di finitezza di K-algebre,
moduli e localizzazione. Anelli graduati ed ideali omogenei.

2) Spazio affine. Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali
radicali. Hilbert Nullstellensatz. Irriducibilita'. Varieta' affini:
anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali.
Fascio strutturale.

3) Spazio proiettivo, Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri proiettivo. Varieta' proiettive: anello
delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali. Varieta' quasi-proiettive e localmente
chiusi. Fasci strutturali.

4) Varieta' algebriche. Funzioni regolari e funzioni razionali.
Morfismi di varieta' algebriche. Insiemi
costruibili. Esempi: morfismo di Veronese. Morfismi dominanti.
Applicazioni razionali e birazionali. Varieta' razionali.
Esempi: sistemi lineari di ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni, proiezione stereografica di una quadrica,
scoppiamenti. Scoglimento di singolarita' di curve piane mediante scoppiamenti.


5) Prodotti. Varieta' di Segre. Grafico di un morfismo. Completezza delle
varieta' proiettive.

6) Grado di trascendenza di un'estensione di campi. Dimensione di una
varieta' algebrica.

7) Spazi tangenti e non-singolarita'. Spazio tangente di Zariski.

8) Miscellanea eventuali argomenti ulteriori (tempo permettendo):

- Funzione di Hilbert e Polinomio di Hilbert di una varieta' proiettiva.
Grado e genere aritmetico di una varieta' proiettiva. Esempi.

- Morfismi finiti e ramificazione

- Semicontinuita' della dimensione delle fibre di un morfismo
dominante.

- Ulteriori esempi di varieta' proiettive: Grassmanniana ed immersione di
Pluecker, curve piane proiettive, famiglie di curve piane proiettive.

Dispense online scritte dal docente F. Flamini, scaricabili dalla pagina
web del docente.

Ulteriori testi consigliati
- I. Dolgachev, Introduction to Algebraic Geometry, reperibile
all'indirizzo http://www.math.lsa.umich.edu ~idolga/631.pdf
- J. Harris, Algebraic geometry (a first course) Graduate Texts in Math.
No. 133. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52.
Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
- M. Reid, Undergradutae Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student
Texts, vol. 12, 1988.
- I. Shafarevich Basic algebraic geometry vol. 1 Springer-Verlag, New
York-Heidelberg, 1977.

Questo e' un programma provvisorio; il programma effettivo verra' concordato con gli studenti all'inizio del corso.
Non sono previsti particolari prerequisiti.

Teoria degli insiemi. Trattazione intuitiva. Linguaggio della teoria degli insiemi. Assiomatizzazioni. Classi. Insiemi bene ordinati. Numeri ordinali e cardinali. La gerarchia cumulativa degli insiemi. Induzione transfinita. Aritmetica ordinale e cardinale. L'Assioma di Scelta e forme equivalenti e deboli. Cenni ai risultati di indipendenza e di relativa non contraddittorieta'. Cenni su alcuni tipi di grandi cardinali e conseguenze della loro esistenza in algebra, analisi e topologia.

Testo di riferimento (non e' assolutamente necessario l'acquisto) T. Jech, Set Theory, qualunque edizione

Richiami sull'omologia; coomologia, gruppi di omotopia, spazi di Eilenberg-MacLane, fibrazioni, spazi dei lacci, omotopia razionale, applicazioni geometriche.

Griffiths e Morgan, Rational homotopy theory and differential forms.

-Algebre di Banach e C*-algebre.
-Spettro e calcolo funzionale.
-Funzionali lineari positivi, stati e rappresentazioni; rappresentazione di Gelfand-Naimark-Segal (GNS).
-Struttura delle C*-algebre finito-dimensionali.
-Algebre concrete di operatori su spazi di Hilbert: il teorema del bicommutante di J. von Neumann e le algebre di von Neumann (AvN).
-W*-algebre: caratterizzazione in termine del preduale, identificazione delle algebre di von Neumann come W*-algebre concrete.
-Algebre di operatori abeliane.

CLASSIFICAZIONE delle W*-algebre
-Geometria delle proiezioni.
-Tracce normali semifinite fedeli.
-Classificazione delle W*-algebre.

TEORIA MODULARE di TOMITA
-Stati normali e fedeli, e vettori ciclici e separanti su una AvN: operatore S di Tomita.
-Operatore Delta e coniugazione J di Tomita.
-Gruppi a un parametro di automorfismi normali e condizione di Kubo-Martin-Schwinger (KMS), Teorema di Tomita.
-Pesi normali semifiniti fedeli: generalizzazione al caso non sigma-finito (cenni).
_Rappresentazione standard di una W*-algebra, esempi: algebre di matrici, algebra di tutti gli operatori limitati B(H) agenti sullo spazio di Hilbert H, prodotti tensoriali infiniti.

APPLICAZIONI
-Applicazioni della condizione di KMS alla Meccanica Statistica Quantistica.
-Applicazioni alla classificazione di Connes dei fattori di tipo III (cenni).
-Attese condizionate normali e fedeli, teorema di esistenza di Takesaki, generalizzazione di Accardi-Cecchini e applicazioni alla Probabilita’ Quantistica (cenni).

(1) O. Bratteli, D. W. Robinson: Operator algebras and quantum statistical mechanics I,II,
Springer (paragrafi 2.1-2.5, 5.3.1).
(2) M. Takesaki: Theory of operator algebras I, Springer (paragrafi I.1-5, I.9, I11, II.1-4, III.1-3, V.1-2).
S. Stratila, L. Zsido: Lectures on von Neumann algebras, Abacus press (paragrafi 1, 3, 4, 5 e parte del 10).
(4) S. Stratila: Modular theory in operator algebras, Abacus press (paragrafi 1, 2, 9, 10).
(5) L. Accardi, C. Cecchini: Conditional expectations in von Neumann algebras and a theorem of Takesaki, J. Funct. Anal. 45 (1982), 245-273.

Richiami di funzioni differenziabili su aperti di dello spazio eudlideo, teorema delle
funzioni implicite, teorema di inversione locale, teorema del rango. Nozione di varieta'
differenziabile, esempi, aperti di dello spazio euclideo, sfere, grasmanniana, spazio
proiettivo. Mappe C infinito, diffeomorfismi, immersioni, embeddings, sottovarieta'
embedded ed immerse. Varieta' embedded come luoghi di zeri. Partizione dell'unita'.
Spazi tangenti, fibrato tangente e cotangente, nozione di fibrato vettoriale. Azioni di
gruppi su varieta'. Campi vettoriali, integrazione dei campi vettoriali,
flussi locali e gruppi ad un parametro di diffeomorfismi, bracket, teorema di Frobenius, foliazioni.
Algebra multi lineare, prodotto tensoriale, prodotto esterno, forme differenziali, dif-
ferenziale esterno. Varieta' orientabili, metriche Riemanniane forma volume. Varieta'
con bordo teorema di Stokes, corollari noti in aperti dello spazio euclideo. Cenni sulla
cosmologia di De Rham. Se resta tempo rivestimenti, e a seconda degli interessi degli
studenti, geometria Riemanniana oppure Gruppi di Lie.

W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry

F. Warner, Foundations of differential Manifolds e and Lie groups

Il tema del corso sara' la differenza tra le
varieta' differenziali; le varieta'-PL (PL=piecewise
linear); e le varieta'-topologiche. Il teorema
principale e il teorema di h-cobordismo di Smale,

https://en.wikipedia.org/wiki/H-cobordism

e la sua dimostrazione e i suoi corollari saranno
l'oggetto prinicipale del corso. Saranno inoltre considerati altri
fenomeni particolari alle varieta' differenziali, ad esempio la teoria di Morse,
e il teorema di trasversalita' di Thom.

Testi Consigliati:

-Milnor, John, Lectures on the h-cobordism theorem, notes by L.
Siebenmann and J. Sondow.

-Milnor, John Morse theory.

- Milnor, John Differentil topology.

-Hirsch, W & Mazur B Smoothings of Piecewise Linear Manifolds

La computer graphics e' largamente utilizzata nell'industria cinematografica e dei video giochi. Il corso ha lo scopo di fornire le techniche di base per la computer graphics ed una introduzione alla programmazione in Java. Il corso e' formato da due parti.
Parte 1: Introduzione a Java e alla programmazione orientata agli oggetti.
Parte 2: Principi della computer graphics, fondamenti del rendering pipeline e rendering foto-realistico tramite ray-tracing.

Thinking in JAVA, by Bruce Eckel
- Computer Graphics Using OpenGL, by Francis S. Hill and Stephen M. Kelley

Il corso fornisce un’introduzione alla costruzione ed alle proprieta' delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento
numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Argomenti: Polinomi di Bernstein e curve di
Bézier. B-spline: costruzione, proprieta' analitiche e geometriche. Totale positività e sue conseguenze.
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS. Proprietà di approssimazione di spazi spline.
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e
dell'analisi isogeometrica

saranno distribuite dispense complete redatte dal docente.
- C. de Boor, A practical Guide to Splines, Springer 2001

Il corso fornisce un’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento
numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Argomenti: Polinomi di Bernstein e curve di
Bézier. B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche. Totale positività e sue conseguenze.
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS. Proprietà di approssimazione di spazi spline.
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica

-saranno distribuite dispense complete redatte dal docente.
- C. de Boor, A practical Guide to Splines, Springer 2001

Ensembles in meccanica statistica, limite termodinamico,
equivalenza degli ensembles.
Ensemble gran canonico, potenziali stabili e temperati,
proprieta' analitiche della pressione nell'ensemble gran
canonico.
Espansioni convergenti in meccanica statistica, serie di Mayer
e cluster expansion.
Sistemi di spin discreti, espansione in polimeri, lattice gas.
Modello di Ising, espansioni a alta e bassa temperatura, assenza di
transizioni di fase in una dimensione, transizione di fase in
due dimensioni. Coesistenza di fasi e superficie di separazione.
Approccio dinamico alla meccanica statistica per sistemi di
spin, dinamica di Glauber, Montecarlo Markov Chain.
Tecniche di coupling per la stima del tempo di mixing.
Cenni sul problema della metastabilita' e l'approccio pathwise.

A. Procacci: cluster expansion methods in rigorous statistical
mechanics
O. Haggstrom: Discrete time Markov Chain and algorithmic applications
C. Thompson: Mathematical statistical mechanics

Processi stazionari - generalità. Condizioni di esistenza, funzione di
autocovarianza, filtri lineari, processi ARMA. Teorema di
Herglotz-Bochner, costruzione dell'integrale stocastico, teorema di
rappresentazione spettrale. Periodogramma - proprietà asintotiche, stima
della funzione di densità spettrale, stime di Whittle. Cenni ai processi
nonstazionari ed ai campi aleatori

P.Brockwell e R.Davis, Time Series Models, 1991 Springer

Il corso fornisce un’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento
numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Argomenti: Polinomi di Bernstein e curve di
Bézier. B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche. Totale positività e sue conseguenze.
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS. Proprietà di approssimazione di spazi spline.
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica

-saranno distribuite dispense complete redatte dal docente.
- C. de Boor, A practical Guide to Splines, Springer 2001

: Funzioni Algebriche, Superfici di Riemann, Fascio delle funzioni olomorfe, Superficie di Riemann di una funzione algebrica, Fasci, Fibrati lineari e divisori, teoremi di finitezza, isomorfismo di Dolbeault, lemma di Weyl e dualità di Serre, il teorema di Riemann-Roch, teorema di uniformizzazione, superfici di Riemann iperboliche

R. Narasimhan “Compact Riemann Surfaces”
- D. Varolin “Riemann surfaces by way of complex analytic geometry”
- H. M. Farkas, I. Kra “Riemann surfaces

Introduzione ai problemi di controllo ottimo: esistenza delle soluzioni, principio del massimo di Pontriagin e programmazione dinamica. Equazioni di Hamilton-Jacobi: metodo delle caratteristiche, soluzioni semiconcave e soluzioni di viscosità. Teoremi di confronto. Teoria KAM debole. Studio dell’insieme singolare: teoremi di rettificabilità e risultati di propagazione. Applicazione all’equivalenza omotopica

L.C. Evans, Partial differential equations. Second edition. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. P. Cannarsa & C. Sinestrari, Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations, and optimal control. Birkhäuser, Boston, 2004. A. Fathi, Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics (in press).

Algebre di Lie. Ideali. Rappresentazione aggiunta. Algebre risolubili e nilpotenti. Teoremi di Lie e Engel. Forma di Killing. Criterio di Cartan. Algebre semisemplici. Sottoalgebre di Cartan. Decomposizione di Cartan. Sistemi di radici. Radici semplici. Sistemi di radici di rango 2. Grafi di Coxeter. Diagramma di Dynkin. Classificazione delle algebre di Lie semisemplici. Rappresentazioni e loro classificazione. Teorema di PBW.

Humphreys J., “Introduction to Lie algebras and representation theory.” Springer-Verlag, New York-Berlin

Il piano complesso e la sfera di Riemann. Geometrie piane elementari.
Richiami sulla teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
Rappresentazioni conformi.
La nozione di superficie di Riemann. Analisi sulle superfici di Riemann.
Il teorema di uniformizzazione.
Superifici paraboliche.
Gruppo di Moebius e suoi sottogruppi. Superfici di Riemann iperboliche.
Curve algebriche.
Divisori e teorema di Riemann-Roch.
Differenziali abeliani. Teorema di Abel e problema di Jacobi.
Superfici iperellittiche, Varietà di Jacobi. Teorema di Torelli.
Automorfismi e teorema di Hurwitz.

Hershel M. Farkas, Irwin Kra, “Riemann Surfaces” Springer-Verlag, NY USA , Graduate Texts in Mathematics 71,II ed., 1991,
pp. XIII+363,
Olli Lehto, “Univalent functions and Teichmuller spaces” Springer-Verlag NY USA, Graduate Texts in Mathematics 109, 1987, pp. XII+257

Anelli, ideali, morfismi; nozioni e proprieta` fondamentali. Moduli su un anello, morfismi (di moduli), moduli liberi; prodotto tensoriale di moduli; algebre su un anello. Anelli e moduli di frazioni. Moduli e anelli notheriani o artiniani. Moduli sui domini a ideali principali. Lo spettro primo di un anello

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, "Introduzione a l'algebra commutativa", Feltrinelli, Milano, 1981
*** or the original english version ***
M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, "Introduction to Commutative Algebra",
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969 (also available on-line)
C. A. Finocchiaro, "Lo spettro primo di un anello", available on-line
S. Lang, "Algebra", revised Third Edition, Graduate Texts in Mathematics 211, Springer-Verlag New York, Inc, 2002.
J. S. Milne, "A Primer of Commutative Algebra", freely available at http://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html (2009)

Richiami di algebra lineare.
Note storiche sui metodi per la soluzione di sistemi di equazioni lineari.
Le matrici sparse. Memorizzazione di matrici sparse e calcolo parallelo.
Metodi diretti per matrici sparse. Metodi iterativi di tipo stazionario.
I metodi di tipo proiettivo: descrizione, analisi, prestazioni e algoritmi CG, GMRES, BiCGstab(l).
Tecniche di precondizionamento. Precondizionamento con fattorizzazioni incomplete.
Cenno alle fattorizzazioni inverse incomplete e agli aggiornamenti.
Precondizionamento con algebre di matrici.
Metodi per problemi agli autovalori di grande dimensione con matrici sparsa.
Applicazioni a problemi di fluidodinamica, image restoration, finanza matematica

D. Bertaccini, C. Di Fiore, P. Zellini, Complessità e Iterazione, Boringhieri, 2013

alcolo combinatorio ( principio fondamentale del calcolo combinatorio, permutazioni, combinazioni semplici e disposizioni semplici e con ripetizione; binomio di Newton) .
Definizione di evento aleatorio e di spazio campionario. Introduzione alla probabilità (approccio classico, frequentista, soggettivo ed assiomatico). Legge delle probabilità totali, diseguaglianza di Boole. Probabilità condizionata Legge delle probabilità composte. Legge di disintegrazione, Teorema di Bayes (con dimostrazione). Indipendenza tra due eventi ed indipendenza tra n eventi. Indipendenza condizionata. (Cap 3 tutto)
Variabili aleatorie monovariate : definizione di variabile aleatoria (v.a.), funzione di ripartizione (f.r.) e sue proprietà; distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta (funzione massa di probabilità) e distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria assolutamente continua (funzione densità di probabilità);. Variabili aleatorie multivariate discrete ed assolutamente continue (con particolare attenzione al caso di vettori bidimensionali); distribuzioni marginali; distribuzioni condizionate nel caso bidimensionale: caso discreto e assolutamente continuo. Funzione di una variabile aleatoria e calcolo della sua distribuzione di probabilità ; funzione di due v.a. e calcolo della sua distribuzione di probabilità (metodo della funzione di ripartizione); Valor medio, varianza e covarianza; indipendenza tra variabili aleatorie;definizione di valore medio e sue proprietà; definizione di varianza e sue proprietà; disuguaglianza di Markov con dimostrazione, disuguaglianza di Chebishev con dimostrazione; La legge debole dei grandi numeri per v.a. indipendenti e somiglianti con dimostrazione. (paragrafi 4.1 -4.2 -4.3- 4.4- 4.5- 4.6- 4.7- 4.9)
Modelli più comuni di v.a. discreta ( bernoulliana, binomiale, degenere, geometrica, ipergeometrica e di Poisson); modelli di v.a. continua (uniforme, esponenziale, gaussiana, chi2 e student). ( dal Capitolo 5)
Concetti di base dell'inferenza statistica: popolazione, campione aleatorio e campione asservato; definizione di statistica; media e varianza campionaria e loro distribuzione di probabilità; Teorema del limite centrale;(paragrafi: 6.1-6.2-6.3-6.4-6.5)
Stimatori puntuali: stimatori di massima verosimiglianza (per il parametro di una Bernulli, di una Poisson, di una esponenziale e per la media e la varianza di una gaussiana); stimatori intervallari: intervalli di confidenza bilaterali e unilaterali per la media di una popolazione normale (caso varianza nota e non nota) e per la varianza di una popolazione normale. Accenno agli intervalli di confidenza approssimati. (paragrafi: 7.1-7.2-7.3)
Test d’ipotesi: definizione di ipotesi semplice e composta, livello di significatività di un test, p-value dei dati; verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale (caso varianza nota e non nota); (paragrafi: 8.1-8.2-8.3)

The Elements of Statistical Learning T. Hastie, R. Tibshirani & J. Friedman. Springer Series in Statistics (second edition) http://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/printings/ESLII_print10.pdf
Pattern Classification R. O. Duda, P. E. Hart, D.G. Stork. John Wiley & Sons, 2000

Richiami di teoria delle equazioni differenziali: esistenza ed unicità globale delle soluzioni per campi vettoriali C^1 e limitati. Teoria di Floquet. Sezioni di Poincarè. Teorema della dipendenza liscia dai dati iniziali e da parameteri.
Studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di una equazione differenziale sul piano.
Teorema della scatola del flusso. Stabilità e funzioni di Lyapuov. Teorema di Grobman-Hartmann. Varietà stabili e instabili: Hadamard-Perron, teorema della varietà centrale.
Concetto di genericità per famiglie di campi vettoriali dipendenti da parametri. Biforcazioni generiche: sella-nodo, Hopf.
Insiemi omega-limite e Teorema di Poincarè-Bendixon.
Equazioni differenziali sul toro (bidimensionale) e riduzione allo studio dei diffeomorfismi del cerchio. Numero di rotazione. Teorema KAM.
Sistemi Hamiltoniani e geometria simplettica. Trasformazioni canoniche. Relazione coi sistemi Lagrangiani. Sistemi completamente integrabili.
Teoria della media. Integrale di Melnikov e ferri di cavallo.
Sistemi dinamici misurabili (definizioni ed esempi elementari). Teorema di Krylov-Bogoliuvov. Cenni di teoria ergodica (teoremi di Birkhoff, Von Neumann, Poincarè, ergodicità, mescolamento, ..).

HIRSCH Morris W., SMALE Stephen, DIFFERENTIAL EQUATIONS, DYNAMICAL SYSTEMS, AND LINEAR ALGEBRA
Inoltre saranno messe in rete le note delle lezioni

Fondamenti dell'interazione persona-calcolatore
Fondamenti delle basi di dati
Fondamenti dello sviluppo basato su test
Fondamenti della realizzazione guidata da modelli
Svolgimento di un progetto didattico

Appunti del docente

Spazi di probabilita' astratti. Indipendenza. Legge 0-1 di Kolmogorov. Lemma di Borel-Cantelli.
Convergenza quasi certa e in probabilita'. Legge dei grandi numeri. Funzioni caratteristiche. Convergenza debole. Aspettazione condizionale. Martingale a tempo discreto.

Probability with martingales, D.Williams
Probability and measure, P.Billingsley

Polinomi e numeri di Bernoulli, la formula di Eulero-Mclaurin, tecniche di estrapolazione di Romberg. Metodi per il calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice, la teoria di Perron-Frobenius per le matrici non negative, il problema del calcolo dell'autovettore pagerank, il metodo delle potenze. Algebre di matrici di bassa complessita' e applicazioni.
Risoluzione numerica di problemi differenziali ordinari e a derivate parziali, il metodo delle differenze finite.
Per tutti questi argomenti si approfondiscono sia gli aspetti matematici
che quelli algoritmici.
(Per un programma piu' dettagliato si veda www.mat.uniroma2.it/~difiore)

D. Bertaccini, C. Di Fiore, P. Zellini,
Complessita' e Iterazione - percorsi, matrici e algoritmi veloci
nel calcolo numerico, Bollati Boringhieri, Torino, 2013

: il corso verte su un’ introduzione alla Meccanica Celeste, cioè allo studio del moto di pianeti e satelliti (sia naturali, che artificiali) del sistema solare. Si intendono affrontare gli argomenti principali della Meccanica Celeste, quali ad esempio la stabilità del sistema solare (che fine faranno la Terra e gli altri pianeti?), il motivo per il quale la Luna rivolge sempre la stessa faccia verso la Terra (e quindi vediamo solo un emisfero della Luna), le collisioni passate e future che caratterizzano il sistema solare (dalla scomparsa dei dinosauri alla previsione di impatti asteroidali). Il programma analitico del corso e il seguente:
- richiami di Meccanica Hamiltoniana: trasformazioni canoniche, criteri di canonicità, parentesi di Poisson, integrali primi
- Sistemi integrabili
- Teorema di integrabilità locale
- Teorema di Arnold-Liouville e variabili azione-angolo
- Esempi di sistemi integrabili: oscillatori armonici, moto in un campo centrale, giroscopio pesante
- Moti regolari e caotici
- Sistemi conservativi e dissipativi
- Sistemi continui e discreti, mappe di Poincarè, standard map
- Gli esponenti di Lyapunov
- Il problema dei 2 corpi
- Le leggi di Keplero
- Variabili azione-angolo di Delaunay per il problema dei 3 corpi
- I punti di equilibrio Lagrangiani
- Il problema dei 3 corpi ristretto
- Dinamica rotazionale
- Risonanze spin-orbita: derivazione del modello e costruzione di superfici invarianti
- Teoria perturbativa: teorema di Hamilton-Jacobi, teorema di Birkhoff per gli oscillatori armonici
- Applicazione della teoria perturbativa per il calcolo della precessione del perielio.
- Teorema KAM: dimostrazione, aritmetica degli intervalli, cenni di teoria dei numeri e frazioni continue.
- Tecniche classiche e superconvergenti
- Cenni sul metodo di Greene
- Teorema di Nekhoroshev
- Collisioni e regolarizzazione
- Trasformazione di Levi-Civita

V.I. Arnold, “Metodi Matematici della Meccanica Classica”, Editori Riuniti (1979)
A. Celletti, "Stability and Chaos in Celestial Mechanics", Springer-Praxis, XVI, 264 p., Hardcover ISBN: 978-3-540-85145-5 (2010)
H. Goldstein - Meccanica Classica, Zanichelli (2005)

Fondamenti della meccanica statistica classica. Teoria degli ensemble, teorema di Liouville.
Ensemble microcanonico, funzioni termodinamiche,gas perfetto, paradosso di Gibbs. Ensemble canonico e gran canonico, funzioni di partizione,applicazioni elementari; gas perfetto, fluttuazioni dell'energia, equipartizione, paramagnetismo classico, gas di Van der Waals
Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger, proprietà generali: stati stazionari, proprieta' nel caso 1-dimensionale, sistema a due stati, barriere e buche di potenziale, effetto tunnell.
Oscillatore armonico lineare. Momento angolare. Equazione di Schroedinger in coordinate sferiche:
moto in un campo centrale, atomo di idrogeno, formula di Bohr. Spin: matrici di Pauli, elettrone
in un campo magnetico,esperimento di Stern e Gerlach. Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale. Struttura fine dell'atomo di idrogeno,interazione spin orbita. Particelle identiche.
Gas quantistici e loro proprietà; statistica di Fermi-Dirac e Bose-Einstein. Gas di Fermi degenere e quasi-degenere, funzioni termodinamiche. Gas di Bose: radiazione di corpo nero, condensazione di Bose

I testi saranno comunicati dal docente all'inizio del corso

Prerequisiti.
Un corso di calcolo stocastico

Si introduce la teoria moderna della finanza matematica usando modelli continui, con l'obiettivo di risolvere il problema del calcolo del prezzo e della copertura di opzioni europee. Sono quindi trattati argomenti propri del calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac) ed introdotti modelli di Ito e di diffusione per i mercati finanziari, per lo studio dell'arbitraggio e della completezza del mercato. Particolare enfasi e` data al modello di Black e Scholes. Parte del corso dedicata ai metodi numerici Monte Carlo per la finanza.

- D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to stochastic calculus applied to finance.Second Edition. Chapman&Hall, 2008.
- P. Baldi: Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni. Appunti recenti oppure la seconda edizione edita da Pitagora Editrice, 2001.
- Appunti del docente su Calcolo stocastico applicato alla Finanza e su Metodi Monte Carlo in Finanza.

1. Prerequisiti. Spazi di Banach, duale e topologia forte, debole e *-debole. Principio dell’uniforme limitatezza. Funzioni analitiche a valori spazi di Banach. Teorema di Tychonoff. Teorema di Alaoglu.
2. Algebre di Banach. Insieme risolvente e spettro di un elemento. Teorema di Mazur. Analicità del risolvente. Lo spettro di un elemento è compatto non-vuoto. Analiticità del risolvente e seie di Neumann. Formula del raggio spettrale.
3. Algebre di Banach commutative. Ideali massimali. Caratteri e spettro di un’algebra di Banach commutative. Caso di un’algebra con identità generata da un element o da un numero finito di elementi, spettro congiunto. Teorema dello spectral mapping per polinomi. Spettro di un elemento in una sottoalgebra abeliana massimale o minimale.
4. Calcolo funzionale analitico. Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche. Caso di spettro disconnnesso. Perturbazioni dello spettro, semicontinuità inferiore, esempi. Pertubazioni di proiettori.
5. Trasformazione di Gelfand. Elementi nilpotenti generalizzati. Caso dell’algebra l1(Z). Teorema dello spectral mapping per funzioni analitiche.
6. Algebre C*. Algebre involutive e norme C*. Lo spettro di un elemento autoaggiunto è reale; il raggio spettrale coincide con la norma. Lo spettro non dipende dalla sottoalgebra.
7. C*-algebre commutative. Teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. La categoria delle C*-algebre abeliane con identità è duale alla categoria degli spazi compatti di Haudorff.
8. Calcolo funzionale Boreliano. Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert. Misure basiche e calcolo funzionale L∞.
9. Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplanski. Topologia debole e forte. Compattezza debole della palla unitaria. Algebre abeliane massimali e loro caratterizzazione su uno spazio di Hilbert separabile.
10. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Elementi positive, estensione di stati. La rappresentazione GNS. Caso dell’algebra C(X). Operatori di allacciamento, sotto-rappresentzaioni, rappresentazioni equivalenti e rappresentzioni disgiunte. Caso commutativo.
11. Il teorema di molteplicità spettrale. Rappresentazioni cicliche e rappresentazioni senza molteplicità (spazio di Hilbert separabile) di una C*-algebra abeliana. Classificazione degli operatori autoggiunti (o di rappresentazioni di una C*-algebra abeliana) su uno spazio di Hilbert separabile.
12. Operatori illimitati. Operatori chiusi, chiudibili, aggiunti. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Estensione di operatori simmetrici e trasformata di Cayley. Il problema dei momenti.

G. Pedersen, Analysis Now
W. Arveson, An Invitation to C*-Algebras
J.B. Conway - A Course in Functional Analysis

Serie di Fourier (trigonometriche ed in forma complessa): convergenza L2, puntuale ed uniforme. Ordine di infinitesimo dei coefficienti di Fourier. Fenomeno di Gibbs (tempo permettendo). Identità approssimate. Convoluzioni e nuclei di sommabilità (cenni). Trasformata di Fourier in L1. ed in L2 . Trasformata di Fourier della derivata e della convoluzione. Teorema di inversione e teorema di Plancherel. Classe di Schwartz. La trasformata di Fourier nella classe di Schwartz. Classe di Paley-Wiener. Formula di somma di Poisson. Distribuzioni temperate e loro trasformata di Fourier (trattazione completa o per cenni a seconda della disponibilità di tempo). Trasformata di Fourier di distribuzioni discrete e periodiche e relazione con la serie di Fourier. Campionamento. Teorema di Shannon. Aliasing. Trasformata di Fourier discreta e sue proprietà. Trasformata rapida di Fourier. Trasformata discreta dei coseni.

M. Picardello, “Analisi armonica: aspetti classici e numerici” (disponibile online a http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/didattica/materiali_did/home_materiali_STM.html)

Distribuzioni. Spazi di Sobolev. Disuguaglianze di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg e di Morrey. Teorema di Rellich. Disuguaglianze di Poincaré. Lemma di Lax-Milgram. Formulazione variazionale dei problemi ai limiti ellittici mediante gli spazi di Sobolev: esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni deboli. Principi di massimo. Teoria spettrale per il problema di Dirichlet. Semigruppi di operatori lineari e continui su spazi di Banach. Generatore infinitesimale. Teorema di Hille-Yosida. Semigruppi di contrazione e semigruppi compatti. Teoremi di perturbazione. Comportamento asintotico. Problema di Cauchy. Regolarità massimale. Applicazione alle equazioni del calore, delle onde e di Schrodinger

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, New York, 2011. L.C. Evans, Partial differential equations. Second edition. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer-Verlag, New York, 1983

Moto Browniano. Martingale a tempo continuo. Integrale stocastico, calcolo stocastico. Equazioni differenziali stocastiche e processi di Markov

Appunti (del Prof. Baldi) distribuiti a lezione

- Motivazione e richiami storici sulla compressione
- Classificazione delle tecniche di compressione
- Parametri utili per la compressione
- Concetto di entropia e definizione di entropia in Teoria dell'informazione
- Proprieta' matematiche dell'entropia
- Entropia congiunta, entropia condizionata, chain rule e loro proprieta' matematiche
- Legame tra entropia e compressione
- Definizione e proprieta' matematiche della distanza di Kullback-Leibler
- Definizione e proprieta' matematiche della mutua informazione
- Codici a lunghezza variabile
- Codici non singolari, univocamente decodificabili e istantanei
- Disuguglianza di Kraft e disuguaglianza estesa di Kraft
- Cenni sui moltiplicatori di Lagrange
- Primo teorema di Shannon (Noiseless source coding theorem)
- Definizione di distribuzione di probabilita' diadica
- Primo teorema di Shannon per un processo stocastico stazionario
- Teorema di McMillan
- Ottimalità del codice di Shannon e teoremi annessi
- Definizione di efficienza e ridondanza di un codice
- Codice di Fano-Shannon ed esempi
- Relazione tra entropia di una sorgente e il suo alfabeto
- Teorema dell'independence bound dell'entropia
- Codice di Huffman, esempi, proprieta' e implementazione in matlab
- Alberi a minima varianza
- Ottimalita': Huffman versus Shannon
- Ottimalita' del codice di Huffman
- Varianti al codice di Huffman: Huffman troncato
- Binary shift code, Huffman shift
- Arithmetic coding: definizione, proprieta', ottimalita' ed esempi
- Cenni sull'implementazione dell'arithmetic coding a precisione finita
- Cenni sulla codifica universale: codice FGK
- Proprieta' di sibling di un albero e Teorema di Gallager
- Conseguenze del teorema di Gallager
- Huffman adativo a tabella
- Cenni sul codice di Vitter
- Dictionary coding
- LZ77, ottimalita' di LZ77, LZ78 e LZW
- Teoria della complessita' di Kolmogorov
- Teoremi sul legame tra la complessita' di Kolmogorov e entropia
- Definizione e teoremi sulla probabilita' universale
- Teoremi sul legame tra probabilita' universale e complessita' di Kolmogorov
- Cenni su trasformate tempo-frequenza e loro applicazioni nella elaborazione di segnali e immagini
- Cenni su: Trasformata di Fourier, Short time Fourier Transform, Trasformata wavelet continua, Trasformata Wavelet discreta,
- Trasformata wavelet 2D, e loro applicazioni con esempi in matlab
- Codifica irreversibile per trasformata
- Quantizzazione scalare e vettoriale
- Definizione, proprieta' ed esempi di quantizzazione scalare
- Teoria dell'high bit rate coding
- Entropia differenziale e proprieta'
- Disuguaglianza di Jensen e sue conseguenze
- Bit allocation ottima con e senza trasformata
- Distorsione pesata
- Cenni sulla quantizzazione non uniforme
- Compandor e teorema di esistenza di un compandor
- Mu-law e A-law
- Cenni sullo standard G-711
- Definizione di significance map
- Definizione di space filling curve: Peano e Hilbert
- Run-length 1-D e 2-D
- Curva rate-distortion in ipotesi di alta risoluzione
- Teoria della low bit rate coding
- Teorema sul legame tra il decadimento dello spettro di Fourier e regolarita' di Lipschitz
- Teoremi sul legame tra il decadimento (in scala) del modulo dei coefficienti wavelet e regolarita' locale di Lipschitz
- Proprieta' di sparsita' di una base
- Soft e hard thresholding
- Curva rate-distortion per funzioni in spazi di Besov
- Teorema di Falzon-Mallat
- Cenni sulle basi adattive
- Matching pursuit
- Base di Karhunen-Loeve e diagonalizzazione della matrice di covarianza
- Codifica JPEG e implementazione in matlab
- Codifica zero-tree
- Codifica JPEG2000
- Metodo dei minimi quadrati: caso lineare, caso generale (metodo di Gauss) ed esempi in matlab
- Cenni su spazi metrici e funzioni contrattive
- Teorema delle contrazioni
- Definizione e proprieta' della distanza di Haussdorf e dello spazio dei frattali
- Teorema sulla completezza dello spazio dei frattali
- Teoria dei sistemi di funzioni iterate: teoremi, esempi e prove in matlab di funzioni frattali
- Teoria dei partitioned iterated functions systems
- Codifica frattale
- Cenni sulla codifica video
- Codifica MPEG1
- Cenni sulla stima del movimento
- Block matching ed esempi in matlab
- Phase correlation ed esempi in matlab
- Linear prediction coding: codifica losseless, lossy e delta modulation

Testi Consigliati:
- Thomas M. Cover, Joy A. Thomas (Author), Elements of Information Theory, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, Hardcover – August 26, 1991.
- D. Salomon, Data Compression: The Complete Reference, Springer, 4th ed. 2007.
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999.