Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso.

FONDAMENTI di TEORIA degli ANELLI (commutativi unitari):
- richiami di teoria degli anelli: anelli (commutativi unitari), ideali, quozienti, morfismi, Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo, prodotti diretti;
- operazioni sugli ideali, ideali massimali, radicale di Jacobson, radicale nilpotente; anelli locali, anelli semilocali; ideali primi, dimensione di Krull di un anello;
- estensione e contrazione di ideali tramite un morfismo.

MODULI (su anelli commutativi unitari):
- moduli, sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; successioni esatte, moduli di morfismi, modulo duale;
- moduli liberi, basi di un modulo; i moduli su un campo sono tutti liberi, dimensione di un modulo su un campo; rango di un modulo libero; Lemma di Nakayama;
- elementi di torsione; sottomodulo di torsione (su un dominio);
- prodotto tensoriale tra moduli; cambiamenti di anello di base, restrizione ed estensione di scalari; anelli e moduli di frazioni; algebre su un anello.

NOETHERIANITA` e ARTINIANITA`:
- condizioni sulle catene per moduli e anelli, noetherianità e artinianità, serie di composizione, lunghezza di un anello;
- anelli notheriani e anelli artiniani, proprietà fondamentali; Teorema della Base di Hilbert, Teorema degli Zeri di Hilbert; decomposizione primaria degli ideali in un anello noetheriano; caratterizzazione degli anelli artiniani; teorema di struttura per gli anelli artiniani.

MODULI su DOMINI a IDEALI PRINCIPALI (=DIP):
- moduli liberi su un DIP, e loro sottomoduli;
- esponenti e ordini per un modulo e i suoi elementi; elementi indipendenti;
- p-(sotto)moduli, decomposizione di un modulo finitamente generato (=f.g.) in somma diretta di parte libera e p-sottomoduli;
- decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e divisori elementari; decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e invarianti; relazione tra le due decomposizioni cicliche;
- applicazione allo studio dei gruppi abeliani e delle forme canoniche di matrici.

SPETTRO PRIMO di un ANELLO:
- lo spettro primo di un anello, topologia di Zariski; funtorialità dello spettro primo;
- relazioni tra proprietà algebriche di un anello e proprietà topologiche del suo spettro primo;
- spazi topologici noetheriani, caratterizzazione degli anelli il cui spettro primo sia noetheriano.

[1] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduzione a l'algebra commutativa”, Feltrinelli, Milano, 1981
[2] - M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “"Introduction to Commutative Algebra”,
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1969.
[3] - C. A. Finocchiaro, “"Lo spettro primo di un anello”, dispense disponibili sul sito del docente.
[4] - S. Lang, "Algebra”, revised Third Edition, Graduate Texts in Mathema-tics 211, Springer-Verlag New York, Inc, 2002.

-Elementi basilari della teoria delle distribuzioni in R^n, trasformata di Fourier.
-Gruppi abeliani localmente compatti e dualità di Pontryagin,
-Convoluzione, analisi di Fourier.
-Elementi di teoria delle rappresentazioni per gruppi abeliani localmente compatti, e gruppi compatti.
-Teorema di Peter-Weyl.
-Teorema di Stone-von Neumann e Teorema SNAG.
-Cenni alla teoria delle rappresentazioni indotte per gruppi localmente compatti separabili e per gruppi polacchi non localmente compatti.

-M. Reed, B. Simon: Methods of modern mathematical physics I,II,
Academic Press.
-R. Lipsman: Group representations: A survey of some current topics,
Springer.
-Materiale messo a disposizione del docente.

Varietà topologiche e differenziabili. Funzioni e mappe lisce su varietà. Vettori tangenti, fibrato tangente e differenziale di mappe. Sommersioni, immersioni, embedding, sottovarietà. Teorema di Whitney (caso compatto). Gruppi di Lie, azioni e quozienti, spazi omogenei. Campi vettoriali, parentesi di Lie, algebra di Lie. Flussi di campi vettoriali, derivate di Lie, campi che commutano. Teorema di Frobenius e applicazioni. Tensori, forme differenziali, differenziale esterno, orientazione di varietà, integrazione di forme differenziali, Teorema di Stokes.
Fanno parte integrante del programma anche gli esercizi assegnati settimanalmente.

J. M. Lee: Introduction to smooth manifolds, GTM, Springer, 2013

M. Abate, F. Tovena, Geometria differenziale, Unitext, Springer, 2011

Varietà topologiche e differenziabili. Funzioni e mappe lisce su varietà. Vettori tangenti, fibrato tangente e differenziale di mappe. Sommersioni, immersioni, embedding, sottovarietà. Teorema di Whitney (caso compatto). Gruppi di Lie, azioni e quozienti, spazi omogenei. Campi vettoriali, parentesi di Lie, algebra di Lie. Flussi di campi vettoriali, derivate di Lie, campi che commutano. Teorema di Frobenius e applicazioni. Tensori, forme differenziali, differenziale esterno, orientazione di varietà, integrazione di forme differenziali, Teorema di Stokes.
Fanno parte integrante del programma anche gli esercizi assegnati settimanalmente.

J. M. Lee: Introduction to smooth manifolds, GTM, Springer, 2013

M. Abate, F. Tovena, Geometria differenziale, Unitext, Springer, 2011

A partire dallo studio di testi di matematica classica si propongono attivita' laboratoriali in
cui si valorizza il legame tra aritmetica e geometria e si pone l'attenzione sugli aspetti didattici, con speciale attenzione alle indicazioni nazionali per la matematica relative alla scuola secondaria di primo e secondo grado e alle informazioni fornite dai recenti studi in neuroscienze.
Si tratteranno, tra l'altro: la nozione di numero, il concetto di commensurabilita' e gli insiemi numerici; la radice quadrata; applicazioni del teorema di Pitagora; stime delle aree; applicazioni fisico-matematiche.
Gli studenti interessati possono svolgere 3CFU di tirocinio scolastico all'interno dell'insegnamento. Il docente è disponibile a erogare l'insegnamento in lingua inglese, qualora richiesto dagli studenti

Dispense messe a disposizione dai docenti
L. Russo, G. Pirro, E. Salciccia: Euclide, il I libro degli Elementi, Carocci Editore;
M. Montessori, Psicogeometria, edito da Opera Nazionale Montessori.

Paradossi. Sistemi formali. Linguaggi. Formule ben formate. Assiomi. Dimostrazioni in senso formale. Calcolo delle proposizioni. Calcolo dei predicati del primo ordine. Modelli. Soddisfacibilità. Teorie del primo ordine. Teoremi di completezza e compattezza. Applicazioni. Modelli non standard. Teoremi di incompletezza. Conseguenze. Costruzioni di modelli. Teoremi di Lowenheim Skolem. Assiomi della teoria degli insiemi e loro formalizzazione. Analisi non standard.

Verranno rese disponibili dispense, con altro materiale consultabile online.

Il docente non ha inviato la scheda

Il docente non ha inviato la scheda

l corso fornisce un ’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Polinomi di Bernstein e curve di Bézier (8 ore).
B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche (24 ore).
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS (12 ore).
Proprietà di approssimazione di spazi spline (8 ore).
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica (12 ore).

C. Manni, H. Speleers: Standard and Non-standard CAGD Tools for Isogeometric Analysis: A Tutorial, Springer Lecture Notes in Mathematics 2161 (2016), 1-69.

T. Lyche, C. Manni, H. Speleers (eds.): Splines and PDEs: from Approximation Theory to Numerical Linear Algebra, Springer Lecture Notes in Mathematics 2219 (2018).

l corso fornisce un ’introduzione alla costruzione ed alle proprietà delle funzioni spline
nonché al loro utilizzo nell’ambito della grafica computerizzata, della progettazione del trattamento numerico di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Polinomi di Bernstein e curve di Bézier (8 ore).
B-spline: costruzione, proprietà analitiche e geometriche (24 ore).
Curve e superfici B-spline. Curve e superfici NURBS (12 ore).
Proprietà di approssimazione di spazi spline (8 ore).
Trattamento di problemi ellittici multidimensionali: fondamenti del metodo degli elementi finiti e dell'analisi isogeometrica (12 ore).

C. Manni, H. Speleers: Standard and Non-standard CAGD Tools for Isogeometric Analysis: A Tutorial, Springer Lecture Notes in Mathematics 2161 (2016), 1-69.

T. Lyche, C. Manni, H. Speleers (eds.): Splines and PDEs: from Approximation Theory to Numerical Linear Algebra, Springer Lecture Notes in Mathematics 2219 (2018).

Richiami di teoria della misura. Spazi di probabilità astratti. Indipendenza. Legge 0-1 di Kolmogorov. Lemma di Borel-Cantelli.
Convergenza quasi certa e in probabilità.Legge dei grandi numeri. Funzioni caratteristiche. Convergenza in legge. Aspettazione condizionale. Martingale a tempo discreto.

Verranno distribuiti appunti

Vengono studiati in dettaglio i seguenti argomenti:
- ray casting
- modelli d'illuminazione diretta e globale
- ray tracing (ricorsivo)
- radiosità.
Vengono inoltre ripassati e integrati i seguenti argomenti:
- metodi iterativi (stazionari e non stazionari) per sistemi lineari
- superfici e integrali di superficie.
Il programma del corso prevede anche l'apprendimento del software di calcolo simbolico Maple, necessario per risolvere esercizi e problemi inerenti il corso nonché per sostenere l'esame finale.

- C. Garoni, "Metodi e Modelli Matematici in Computer Graphics: Rendering 3D Fotorealistico" (libro di testo fornito durante il corso).
- M. Picardello, "Rendering tridimensionale: metodi numerici, analitici e probabilistici" (libro di testo disponibile online).

Introduzione - stazionarietà debole e forte. Richiami di spazi di Hilbert. Processi ARMA - condizioni di esistenza e stazionarietà, proprietà funzioni di covarianza. Teorema di Herglotz-Bochner; densità e distribuzione spettrale. Filtri lineari; densità spettrale processi ARMA. Costruzione degli integrali stocastici; teorema di rappresentazione spettrale. Stima della densità spettrale: il periodogramma e le sue proprietà asintotiche. Whittle likelihood. Processi nonstazionari: convergenza debole in spazi di funzioni, processi a radici unitarie, tests. Campi aleatori isotropi sulla sfera: rappresentazione spettrale.

Brockwell and Davis - Time Series Models, Springer

Richiami su varieta' differenziabili e geometria Riemanniana, richiami su coomologia di De Rham, forme armoniche, teorema di Hodge su varieta' differenziabili, varieta' complesse, varieta' di Kahler. Richiami sul teorema di Dolbeau, coomologia delle (p,q) forme e decomposizione di Hodge per le varieta' di Kahler. Fibrati in rette e teorema di immersione di Kodaira.

Demailly “complex analytic and differential geometry “

Voisin “Hodge theory and complex algebraic geometry”

Richiami su varieta' differenziabili e geometria Riemanniana, richiami su coomologia di De Rham, forme armoniche, teorema di Hodge su varieta' differenziabili, varieta' complesse, varieta' di Kahler. Richiami sul teorema di Dolbeau, coomologia delle (p,q) forme e decomposizione di Hodge per le varieta' di Kahler. Fibrati in rette e teorema di immersione di Kodaira.

Demailly “complex analytic and differential geometry “

Voisin “Hodge theory and complex algebraic geometry”

Proposta A:
Gruppi di Lie e algebre di Lie; la categoria delle algebre di Lie.
Algebre di Lie e algebre associative: l'algebra inviluppante di un'algebra di Lie e il teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt.
Algebre di Lie nilpotenti e algebre di Lie risolubili.
Algebre di Lie semisemplici di dimensione finita: sistemi di radici e classificazione.
Rappresentazioni delle algebre di Lie semplici di dimensione finita; caratteri; il teorema di Harish-Chandra.
Il teorema di Kostant e il gruppo di Chevalley.
Proposta B:
Elementi di geometria algebrica: topologia di Zariski e varietà algebriche; dimensione; spazio tangente.
Introduzione ai gruppi algebrici: gruppi algebrici lineari; spazi omogenei; l'algebra di Lie di un gruppo algebrico.
Gruppi algebrici commutativi: i tori.
Gruppi algebrici risolubili.
Gruppi algebrici riduttivi: gruppo di Weyl e sistema di radici; decomposizione di Bruhat; teorema di struttura.

Proposta A:
Humphreys, J. E. - Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1972
Proposta B:
Borel A., Linear algebraic groups, second enlarged edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991
Springer T.A., Linear algebraic groups, second edition, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1998

C*-algebre commutative di operatori lineari. Trasformazione di Gelfand. Teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. Calcolo funzionale Boreliano. Operatori lineari illimitati, aggiunto e chiudibilità. Proiettore caratteristico sul grafico. Operatori Hermitiani e autoaggiunti, criterio base di autoaggiunzione. Il teorema spettrale. Decomposizione polare di operatori chiusi. Operatori di Hilbert-Schmidt e di classe traccia. Gruppi a un parametro di unitari, il teorema di Stone. Convergenza nel senso del risolvente. C*-algebre e Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplansky. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Elementi positivi, rappresentazione GNS. Equivalenza e quasi-equivalenza di rappresentazioni. Preduale di un’algebra di von Neumann. Funzionali normali e loro decomposizione polare. Elementi di teoria modulare. Spazi standard e rapresentazioni di gruppi. Aspetti algebrici delle teorie conformi.

J. Dixmier, “von Neumann algebras”
O. Bratteli, S.W. Robinson, “Operator algebras and quantun statistcal mechanics”
M. Takesaki, “Theory of Operator Algebras”, vol. I
R. Longo, Note private

Complessi simpliciali. Complessi di catene. Gruppi di omologia. Sequenze esatte. Omologia persistente. Applicazioni all'analisi dati.

Testo consigliato.
Edelsbrunner, Harer. Computational topology, an introduction. Duke University.

Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali: equazioni di Poisson, del calore e delle onde. Cenni alla formulazione debole della soluzione di problemi ellittici, al Teorema di Lax-Milgram e ai problemi agli autovalori. Applicazioni: problemi di curvatura prescritta e meccanica statistica dei vortici in dimensione 2. Problemi ellittici semilineari, metodi variazionali (metodo diretto, Lemma di passo montano) e
e non variazionali (punto fisso, sopra-sotto soluzioni). Equazioni di campo medio. Curve di soluzioni minimali e non minimali. Diagramma di biforcazione e bending.

A. Ambrosetti, G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press 1993.
D. Bartolucci, Lecture notes of the course.
L.C. Evans, Partial Differential Equations. Second Edition. A M S 2010.
M. Struwe, Variational methods, Springer 1990.

Gruppi topologici. Elementi della teoria di Lie, mappa esponenziale, rappresentazioni aggiunte. Varieta' Riemanniane. Connessioni affini, connessione di Levi Civita. Geodetich e mappa esponenziale riemanniana. Nozioni di curvature. Campi di Jacobi. Varietà Riemanniane complete, teoremi di Hopf e di Hadamard. Spazi a curvatura sezionale costante. Teorema di Bonnet-Myers: la topologia dei gruppi di Lie con metrica bi-invariante.

Manfredo P. do Carmo. Riemannian Geometry.
Sylvester Gallot, Dominique Hulin, Jacques LaFontaine. Riemannian Geometry.
Note di Mauro Nacinovich.
William Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.
Marco Abate, Francesca Tovena. Geometria differenziale.

Gruppi topologici. Elementi della teoria di Lie, mappa esponenziale, rappresentazioni aggiunte. Varieta' Riemanniane. Connessioni affini, connessione di Levi Civita. Geodetich e mappa esponenziale riemanniana. Nozioni di curvature. Campi di Jacobi. Varietà Riemanniane complete, teoremi di Hopf e di Hadamard. Spazi a curvatura sezionale costante. Teorema di Bonnet-Myers: la topologia dei gruppi di Lie con metrica bi-invariante.

Manfredo P. do Carmo. Riemannian Geometry.
Sylvester Gallot, Dominique Hulin, Jacques LaFontaine. Riemannian Geometry.
Note di Mauro Nacinovich.
William Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.
Marco Abate, Francesca Tovena. Geometria differenziale.

Si tratta di un'introduzione alla Geometria Algebrica basata sulla teoria delle curve. Consiste di:
(1) una parte iniziale sulle superfici di Riemann compatte/curve proiettive lisce complesse
(comprendente una trattazione delle 1-forme olomorfe e meromorfe e del Teorema di Riemann-Roch)
(2) trattazione degli stessi argomenti della parte (1) nel contesto delle curve su un campo qualsiasi (algebricamente chiuso e succesivamente non-algebricamente chiuso)
(3) speciale attenzione verra’ dedicata ai tori complessi/curve ellittiche, e agli aspetti aritmetici

R. Miranda, Algebraic curves and Riemann Surfaces, American Mathematical Society
J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1986
W. Fulton, Algebraic Curves, https://dept.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
W. Fulton, Introduction to Algebriac Topology, Springer-Verlag

Ripercorrere l'evoluzione della scienza sottolineando i legami tra la scienza ellenistica e la rinascita della scienza in eta' moderna.
Lista degli argomenti:
Geometria
Forma e dimensioni della Terra
Geografia matematica
Gravitazione
Scienza e navigazione
Teoria atomico-molecolare
Evoluzione biologica
Studio del sistema nervoso

L. Russo, Stelle, atomi e velieri, Mondadori
Appunti del corso

Programma: Nozioni di analisi dell’errore. Matrici sparse, calcolo parallelo e acceleratori hardware. Tecniche
di proiezione. Algoritmi di proiezione in sottospazi di Krylov: CG and GMRES. BiCG, CGS, BiCGStab. Flexible GMRES (FGMRES). Precondizionatori a fattorizzatione incompleta. Precondizionatori per alcuni sistemi strutturati. Nozioni di funzioni di matrici.
Calcolo efficiente di funzioni di matrici. Applicazione all’integrazione di modelli di PDE e big data.
Grafi e matrici nella complex network analysis. Matrici di adiacenza, laplaciana, di incidenza.
Misure di centralità e importanza dei dati. Cenni all'evoluzione e alla robustezza di una rete complessa con applicazioni alla social network analysis, reti biologiche, in finanza,
nelle reti di comunicazione, internet e trasporti, negli algoritmi di consenso.

D. Bertaccini, F. Durastante: Iterative Methods and Preconditioning for Large and Sparse Linear Systems with Applications, Chapman and Hall/CRC, 2018

Dispense e appunti

Si tratta di un corso di calcolo stocastico. In estrema sintesi:
moto Browniano; martingale a tempo continuo; integrali stocastici; formula di Ito;
equazioni differenziali stocastiche e processi di Markov.

P. Baldi, Stochastic calculus, Springer, 2017

Verranno trattati argomenti scelti di probabilità e statistica in alta dimensione. Verrà dato particolare risalto all'applicazione di tecniche avanzate a problemi applicati in diversi campi.
Gli argomenti principali del corso includono: disuguglianze di concentrazione; vettori aleatori in alta dimensione; applicazioni ai grafi aleatori; matrici aleatorie; applicazioni a problemi in computer e data science; processi stocastici gaussiani e subgaussiani; chaining; applicazioni allo statistical learning; metric entropy; principal component analysis in alta dimensione.

- Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science;
- Martin J. Wainwright, High-Dimensional Statistics: A Non-Asymptotic Viewpoint.

Verranno trattati argomenti scelti di probabilità e statistica in alta dimensione. Verrà dato particolare risalto all'applicazione di tecniche avanzate a problemi applicati in diversi campi.
Gli argomenti principali del corso includono: disuguglianze di concentrazione; vettori aleatori in alta dimensione; applicazioni ai grafi aleatori; matrici aleatorie; applicazioni a problemi in computer e data science; processi stocastici gaussiani e subgaussiani; chaining; applicazioni allo statistical learning; metric entropy; principal component analysis in alta dimensione.

- Roman Vershynin, High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science;
- Martin J. Wainwright, High-Dimensional Statistics: A Non-Asymptotic Viewpoint.

INTRODUZIONE GENERALE: Problemi supervised e problemi unsupervised. Il workflow di un problema di analisi dati. Esempi vari tratti dal Cap 1.
LA REGRESSIONE: Cosa è la regressione e perché usarla. La definizione di Loss function e di Risk function. Analisi delle Loss function più comuni: L1, L2, quantile, Vapkin’s e Huber. Definizione di Bias e Varianza, discussione e primi esempi di compromesso tra Bias e Varianza (il metodo dei vicini più vicini e il metodo lineare). La maledizione della dimensionalità. (Cap 2)
LA REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA: Interpretazione algebrica ed interpretazione geometrica della soluzione ai minimi quadrati. Sotto l’ipotesi di rumore bianco dimostrazione delle proprietà distribuzionali dello stimatore ai minimi. (Par 3.2) Utilizzo delle proprietà distribuzionali dello stimatore ai minimi quadrati per la costruzione di test di ipotesi e di intervalli di confidenza e di predizione. Il teorema di Gauss-Markov (Par. 3.2.2) Dalla regressione semplice alla regressione multipla, interpretazione dei coefficienti (Par. 3.2.3) Implementazione dell’algoritmo 3.1 di pag 54.
TECNICHE PER IL TRATTAMENTO DI DATI AD ALTA DIMENSIONE:
Discussione delle problematiche in caso di collinearità e/o nel caso pn. Discussione generale sulle possibili tecniche da adottare nel caso di dati ad alta dimensione, specializzazione di queste tecniche al caso del modello lineare con funzione perdita L2. Discussione generale sulle possibili tecniche per fare selezione del modello, studio della Cross Validation. (Par 7.1-7.2-7.10) Accenno ai seguenti criteri di selezione del modello: C_p (Mallow’s), AIC (Akaike Information Criterion), BIC (Bayeisan Informaion Criteiron), MDL (Minimum Description Lenght). Il metodo della Best Subset Selection, vantaggi e svantaggi. Su un data set sintetico verifica della sua forte variabilità. Il metodo della Forward Stepwise Selection, vantaggi e svantaggi. Confronto con la Best Subset Selection su un data set sintetico, il comando stepwiselm di matlab. Il metodo della Forward Stagewise Regression, vantaggi e svantaggi.La tecnica della PCA (Principal Component Analysis) per la riduzione della dimensionalità di un set di dati qualsiasi. Il metodo della PC regression, vantaggi e svantaggi. I Partial Least Square, e loro confronto con la PC regression. La tecnica della supervised PC regression. La Ridge regression come metodo di penalizzazione e dal punto di vista geometrico. Il concetto generale di degree of fredom per un metodo di supervised learning. Il calcolo del df nel caso della ridge regression. Equivalenza tra la scelta del parametro di penalizzazione della Ridge e la regolarizzazione iterativa ad arresto precoce. La penalizzazione LASSO. Giustificazione numerica e geometrica della scelta della norma l_1 per avere soluzioni sparse. Soluzione esplicita del problema di regressione lineare con penalizzazione LASSO nel caso di matrice design ortonormale. Algoritmo Pathwise coordinate optimization per la soluzione del problema di regressione lineare con penalizzazione LASSO nel caso di matrice design generale. Nota sulla normalizzazione delle colonne della matrice design e commenti sulla routine di matlab ‘lasso.m’. Interpretazione bayesiana della penalty lasso. La scelta del parametro di regolarizzazione e possibile stima dl degree of fredom per il problema di regressione lineare con penalty lasso. Proprietà teoriche dello stimatore lasso nel caso di modello lineare. Dimostrazione della slow e della fast convergence rate del prediction error. Analisi della subroutine lasso di matlab esempio di applicazione del metodo al dataset prostate cancer data e ricostruzione completa della tavola 3.3 del libro di testo. Possibili miglioramenti del metodo Lasso: elastic net, relaxed lasso, adaptive lasso. Le penalty SCAD e MCP. Commenti ed esempio sintetico per un confronto tra le possibili penalty diverse. Come utilizzare il modello lineare per lavorare con modelli non lineari sia parametrici che non parametrici. La regressione polinomiale a tratti: le regression splines e le smoothing splines.

“1) The Elements of Statistical Learning” T. Hastie, R. Tibshirani & J. Friedman. Springer Series in Statistics (second edition)
“2) Foundations of linear and generalized linear models” A. Agresti . John Wiley & Sons Inc (2015)

Richiami di formalismo Hamiltoniano: parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche. I sistemi integrabili: teorema di Liouville; cenni al teorema di Arnold-Jost.
Trasformazioni canoniche prossime all'identità: serie di Lie.
Introduzione ai metodi simplettici di integrazione numerica dei sistemi Hamiltoniani [*].
I sistemi quasi integrabili: la dinamica nell'intorno di un punto di equilibrio. Studio di alcuni esempi fondamentali: problema ristretto dei 3 corpi nei pressi dei punti Lagrangiani equilateri [*], modello di Henon-Heiles [*].
Forma normale di Birkhoff [*] e stabilità effettiva alla Nekhoroshev. Cenni al teorema KAM sulla persistenza dei moti quasi periodici.
A seconda del tempo a disposizione, l'ultima parte del corso tratterà uno dei due seguenti argomenti oppure entrambi.
(1) Il teorema della varietà stabile. Visualizzazione grafica delle varietà stabili/instabili [*]. Origine del caos e esponenti di Lyapunov [*].
(2) Studio della dinamica Hamiltoniana quasi-integrabile con il metodo dell'analisi in frequenza [*].

[*] = argomento che sarà trattato anche durante alcune speciali sessioni di attività laboratoriali ad esso dedicate.

A. Giorgilli: "Notes on Hamiltonian Dynamical Systems", London Mathematical Society Student Texts, ISBN: 9781009151139;
U. Locatelli: "Metodi numerici di studio dei sistemi dinamici Hamiltoniani".

Fondamenti della meccanica quantistica
Lo spazio di Hilbert e la formulazione algebrica
Le equazioni di Schrodinger and Heisenberg
Analisi di sistemi elementari
Simmetrie in meccanica quantistica
Rappresentazione di SU(2) e lo spin
Teoria spettrale di operatori di Schrodinger
Teoria delle perturbazioni
Applicazioni ad atomi e molecole

M. Reed B. Simon - Methods of Modern Mathematical Physics - Volumi I e IV - Academic Press

A. Galindo, P. Pasqual - Quantum Mechanics I - Springer

test driven design
statecharts
basi di dati

Lasse Koskela
Test Driven
Manning

David Harel, Michael Politi
Modeling Reactive Systems with Statecharts: the STATEMATE approach
McGraw Hill

P.Atzeni et al.
Basi di Dati
McGraw Hill

Polinomi di Bernoulli, formula di Eulero-Maclaurin, metodi numerici per il calcolo degli autovalori e degli autovettori di matrici, metodo delle potenze, teoria di Perron-Frobenius, l'importanza dei nodi nei grafi orientati (page-rank), metodi di tipo differenze finite per la risoluzione di problemi differenziali e/o migliore approssimazione di una matrice in algebre di bassa complessita'.

appunti del docente e di ex-studenti

Fondamenti della meccanica statistica classica. Teoria degli ensemble, funzioni termodinamiche, applicazioni elementari. Postulati della meccanica quantistica. Equazione di Schroedinger, buche e barriere di potenziale, effetto tunnell. Oscillatore armonico lineare. Momento angolare. Atomo di idrogeno. Spin. Teoria delle perturbazioni. Metodo variazionale. Struttura fine. Particelle identiche. Particelle identiche. Gas quantistici di Fermi-Dirac e Bose-Einstein e loro proprietà: gas di Fermi degenere, corpo nero, condensazione di Bose.

I testi saranno comunicati dal docente all'inizio del corso.

Il corso si propone lo studio dei modelli continui in tempo e in spazio per la descrizione dei mercati finanziari, con particolare riferimento ai due problemi fondamentali in finanza: prezzo e copertura di opzioni. La prima parte del corso è dedicata a richiami ed approfondimenti di calcolo stocastico (processi di Markov, teorema di Girsanov, teoremi di rappresentazione delle martingale browniane, diffusioni e formule di rappresentazione alla Feymnan-Kac). Successivamente vengo introdotti i modelli continui (modelli di Itô, processi di diffusione) per la finanza, le strategie di gestione, l'arbitraggio e la completezza del mercato. Particolare enfasi è data al modello di Black e Scholes. La parte finale del corso è dedicata ai metodi numerici Monte Carlo in finanza. L'ultima parte del corso sarà scelta, sulla base degli interessi degli studenti, tra i seguenti argomenti: tassi di interesse, opzioni americane, calcolo di Malliavin e applicazioni in finanza.

- P. Baldi: Stochastic Calculus. An Introduction Through Theory and Exercises. Springer, 2017.
- D. Lamberton, B. Lapeyre: Introduction to stochastic calculus applied to finance. Second Edition. Chapman&Hall, 2008.
- Lecture Notes on Monte Carlo methods in Finance.
- Lecture Notes on Malliavin calculus and applications to Finance.
- P. Glasserman: Monte Carlo methods in financial engineering. Springer-Verlag, 2004.
- D. Lamberton: Optimal stopping and American options Ljubljana Summer School on Financial Mathematics, 2009.
- D. Brigo, A. Dalessandro, M. Neugebauer, F. Triki: A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, Journal of Risk Management in Financial Institutions, 2(4), 2008-2009.

Spazi metrici e normati e le loro proprietà topologiche. Completezza, connessione e compattezza e proprietà relative. Teorema delle contrazioni in uno spazio metrico completo. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Teorema di Ascoli-Arzelà.
Serie di funzioni. Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Convergenza totale. Criterio di Cauchy sulla convergenza uniforme di successioni e di serie di funzioni. Serie di potenze, insieme di convergenza e raggio di convergenza. Teorema di Abel. Funzioni analitiche.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali scalari e vettoriali: derivate parziali e direzionali, differenziabilità, condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Gradiente e matrice jacobiana. Differenziale delle funzioni composte. Derivate successive, teorema di Schwarz. Richiami sulle forme quadratiche in R^N. Formula di Taylor per funzioni di più variabili con resto in forma di Peano o di Lagrange. Massimi e minimi liberi per funzioni scalari di più variabili, criteri basati sul segno della matrice Hessiana.
Curve in R^N, lunghezza di una curva, parametrizzazione naturale. Integrali curvilinei di prima specie o rispetto alla lunghezza d’ arco. Cenni sulla curvatura con e senza segno di curve piane e nello spazio. Campi vettoriali, forme differenziali e loro integrali curvilinei di seconda specie. Forme chiuse ed esatte e loro relazioni, insiemi semplicemente connessi, invarianza per omotopia degli integrali curvilinei di forme chiuse.
Introduzione alle superfici in R^N. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici cartesiane e superfici di rotazione.
Teorema di Dini della funzioni implicite in due dimensioni. Teorema delle funzioni implicite nel caso generale. Teorema della funzione inversa, invertibilità locale e globale. Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile in R^N, equivalenza delle diverse definizioni, spazio tangente e normale. Punti di estremo vincolato di una funzione. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, “Lezioni di Analisi matematica due”, ed. Zanichelli

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

non indicati

CONTROLLODIEQUAZIONIDIFFERENZIALIORDINARIE.Osservabilità,controllabilitàestabi- lizzabilità di processi di controllo lineari a coefficienti costanti su spazi euclidei. EQUAZIONI DI EVOLUZIO- NE. 1. Semigruppi di operatori lineari e continui su spazi di Banach. Generatore infinitesimale. Teorema di Hille-Yosida. Comportamento asintotico. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni paraboliche del secondo ordine. 2. Operatori dissipativi e massimali dissipativi. Teoremi di Lumer- Phillips. Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per equazioni iperboliche del secondo ordine. 3. Aggiunto di un operatore lineare nel caso Hilbertiano. Operatori simmetrici e autoaggiunti. Teorema di Stone. Applicazione all’equazione di Schr􏰃odinger. 4. Il problema di Cauchy non omogeneo. Il caso degli operatori autoaggiunti e dissipativi. CONTROLLO DI EQUAZIONI PARABOLICHE DEL SECONDO ORDINE. 1. Il problema della controllabilità per equazioni di evoluzione. Nozioni di osservabilità. 2. Controllabilità a

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zero con il metodo dei momenti. 3. Stime di Carleman per equazioni ellittiche e paraboliche del secondo ordine. Applicazione all’osservabilità. 4. Il modello di Budyko-Sellers in climatologia. CONTROLLO DI EQUAZIONI IPERBOLICHE DEL SECONDO ORDINE. 1. Osservabilità e controllabilità dell’equazione delle corde vibranti con la formula di d’Alembert. 2. Studio delle equazioni di evoluzione del secondo or- dine con il metodo di Fourier. 3. Osservabilità di modelli elastici con il metodo dei moltiplicatori. 4. Controllabilità di modelli elastici con il metodo HUM. 5. Stabilizzazione di modelli elastici. APPENDICE: RICHIAMI SUGLI SPAZI DI SOBOLEV. 1. Spazi di Sobolev su domini limitati nel caso hilbertiano. 2. Duali di spazi di Sobolev.

P. Cannarsa - F. Gazzola, Dynamic Optimization for Beginners, with prerequisites and applications, EMS Publishing House

P. Cannarsa, Lecture notes on evolution equations, http://www.mat.uniroma2.it/~cannarsa/EAM2_2019.pdf

Algebre di Banach. Ideali massimali. Calcolo funzionale analitico. Algebre di Banach commutative e trasformazione di Gelfand.
C*-algebre. Elementi positivi, e funzionali positivi. C*-algebre commutative e teorema di Gelfand-Naimark. Calcolo funzionale continuo. Stati e rappresentazioni di una C*-algebra. Rappresentazione GNS.
Algebre di von Neumann. Teoremi di densità di von Neumann e di Kaplanski. Algebre abeliane massimali. Calcolo funzionale Boreliano. Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti, limitati e illimitati.

Conway - A course in functional analysis.
Pedersen - Analysis now.
Kadison, Ringrose - Fundamentals of the theory of operator algebras, 1.

Spazi metrici e normati e le loro proprietà topologiche. Completezza, connessione e compattezza e proprietà relative. Teorema delle contrazioni in uno spazio metrico completo. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Teorema di Ascoli-Arzelà.
Serie di funzioni. Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza puntuale, convergenza uniforme e relazioni con continuità, derivata e integrale. Convergenza totale. Criterio di Cauchy sulla convergenza uniforme di successioni e di serie di funzioni. Serie di potenze, insieme di convergenza e raggio di convergenza. Teorema di Abel. Funzioni analitiche.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali scalari e vettoriali: derivate parziali e direzionali, differenziabilità, condizioni necessarie e condizioni sufficienti di differenziabiltà. Gradiente e matrice jacobiana. Differenziale delle funzioni composte. Derivate successive, teorema di Schwarz. Richiami sulle forme quadratiche in R^N. Formula di Taylor per funzioni di più variabili con resto in forma di Peano o di Lagrange. Massimi e minimi liberi per funzioni scalari di più variabili, criteri basati sul segno della matrice Hessiana.
Curve in R^N, lunghezza di una curva, parametrizzazione naturale. Integrali curvilinei di prima specie o rispetto alla lunghezza d’ arco. Cenni sulla curvatura con e senza segno di curve piane e nello spazio. Campi vettoriali, forme differenziali e loro integrali curvilinei di seconda specie. Forme chiuse ed esatte e loro relazioni, insiemi semplicemente connessi, invarianza per omotopia degli integrali curvilinei di forme chiuse.
Introduzione alle superfici in R^N. Porzioni di superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici cartesiane e superfici di rotazione.
Teorema di Dini della funzioni implicite in due dimensioni. Teorema delle funzioni implicite nel caso generale. Teorema della funzione inversa, invertibilità locale e globale. Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile in R^N, equivalenza delle diverse definizioni, spazio tangente e normale. Punti di estremo vincolato di una funzione. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei punti di estremo vincolato.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, “Lezioni di Analisi matematica due”, ed. Zanichelli

Introduzione all'analisi armonica classica: serie di Fourier e loro convervenza, Trasformata di Fourier, applicazioni, analisi di Fourier su gruppi, etc...
Introduzione alle funzioni wavelets e alla Trasformata wavelet. Cenni alle applicazioni nell’ambito dell’elaborazione di immagini.

non indicati

Teoremi di compattezza in spazi di funzioni. Derivate deboli e distribuzioni. Spazi di Sobolev e loro proprietà. Teoremi di immersione. Formulazione debole delle equazioni ellittiche e teoremi di esistenza in spazi di Sobolev. Applicazioni della teoria di Fredholm e della teoria spettrale degli operatori compatti. Regolarità delle soluzioni. Principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche. Semigruppi di operatori ed esistenza di soluzioni deboli per equazioni di evoluzione.

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010

H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer (2010)